高等數(shù)學第一章習題答案

習題1-99-1

（2）y=arcsin(x-2)- 解 x-1?0x? x-2x-2?0x?且9-x2?0-3￡x￡ 且arcsin(x-2)-1￡x-2 1￡x￡\2￡x￡（3）y=ln(-x2+3x-2)； （4）y=2x3-x； -x2+3x-2>1<x<sin1

x?

x3-x=x(x2-1)?x0且xsinsin（5）y=

x

；（6）y=

2 -解 解1-x2?0x? 且sinxsinx?2kp￡x￡(2k已知f(x定義域為[0,1]，求f(x2),f(sinx),fxa),fxaf(xa0)的定義域．解:(1)f(x20￡x2￡1-1￡xf(sin0￡sinx￡12kp￡x￡(2kf(x+

0￡x+a￡1-a￡x￡1-f(x+a)+f(x-

0￡x-a￡1a￡x￡1+且0￡xa￡1-a￡x￡1a>2x?當1aa,即a1時2x=122a￡x￡1- a- 設f(x)=2 ,a>0,求函數(shù)值f(),f(2a)x 當xa時2 \fa( 2

a- =f(2a)=1 1=

a- )=a2-a2-4a2f(x)

x<x=1x>

gx)2x，求f(g(x))g(f(x))f

當g(x)<1時 2x<1x0,當g(x)=1時 2x=1x0,當g(x)>1時 2x>1x1,g(x) 故f(g(x))0,g(x)

f(g(x))=0,x=0-1,g(x) g(f

21=2,xg(f(x))=2f(x)=20=1,x=12-1

1,x2

x<

2+

f(x

x0ff(x

當f(x0時有f(x=1x0xfx x?-1,( 下列各組函數(shù)中，f(xg(x

f

x2,g(x)

x+ x

f

=

,g(x)= 3x5-3x5-f(x)的定義域為x? f(x)和g(x)的定義域都為x?而g(x)的定義域為xf(x)和g(x)不是同一函數(shù)

且f(x) =x3x2-2=3x5-3x5-（3）f(x)=2,g(x)=sec2x-tan2x；（4）f(x)=2lgx,g(x)=lgx2； tanxx?kp+p2可知f(x)和g(x)不是同一函數(shù)

f(x)和g(x)不是同一函x+1,x￡ （5）f(x)=2x+1,x>0,g(x)=2(3x )+1當x0時g(x)1(3x+x2+11(3xx+12x 當x￡0時g(x)1(3xx2+11(3xx+1x （1）y （2）y1x答案有錯 令f(x) 令f(x)= "x2"x2?x1顯然:f(x1)?f "x?x>1或x￡xx2-x2-f(x2)-f(x1) x2-(x2-x2-1x1-x2-(x2-x2-1x1-

x-

+

13（3）y=3

（4）y=1-sinx 令f(x)1)3定義域為:x?1"x2?1f(x)-f(x)=

令f(x)=1sin11 ()2-()

x?[2kpp2kpp),f(x)=()x+(x-x)-() 2

11 11 x-

f(x)=()1(()21-1)< f(x)在R上為減函數(shù)33(1+（1）y=lg(x+x2+1) （2）y

令f(xlg(x+x23(1-+3(1+則f(-x)=lg(-x+3(1-+3(1+3(1+ )=-lg(x+x2 f(-x) +3(1-x)23(1+f f(x)為偶函數(shù)f(x)（3）y=sinx+2cosx-1 （4）y

a-+.+2

ax+a-令f(xsinx2cosx-f(-x)=sin(-x)+2cos(-x)-

令f(x) a-x+f(-x)=-sinx+2cosx-1?–f

=f\f(x)既非偶函數(shù)也非奇函數(shù) \f(x)為偶函數(shù)f(x)是定義在[-ll（1）f(xf(-x是偶函數(shù)，f(xf(-x

令F(x)=f(xf(-則F(-x)=f(-xf(x)令G(x)=f(xf(-則G(-x)=f(-xf(xf(x證:由(1)

f(x)=1F(x)+1 其中F(x)為偶函數(shù)

依題意有$M0,使得函數(shù)在I上有f(x)￡M,則M即為f(x)的上下界依題意有在I上,M1￡f(x￡M取Mmax(M1M2),則有

f

￡M（1）y=|sinx|； （2）y=1+sinπx；

（3）y=xtanx； （4）y=cos2x. cos2x=1(1+cos2x), 且cos2x的周期為y為周期函數(shù),l y

2x

（2）y

(a2?；解:由原式解得 解:由原式解得x= 21-即:f-1(x)= 21-

x=ay+即:f-1(xax由1-

由cx-a?0,x?a,a2?x? （3）y=lg(x+x2- （4）y=3cos x￡π - 解:由原式解有y=lg(x+x2+1)10y=xx2y=- -x)10x2

當p￡x￡p時x2-x2 arccos10y-10-y= x=arccos 解得:x=1(10y-10-y 即: (x)=2arccos3即f-1(x1(10x-10-x2

x?值x1和x2的函數(shù)值：（1）y=eu,u=x2,x=0,x=2（2）y=u2+1,u=ev-1,v=x+1,x=1,x=- 2解:(1)依題意有:yeuexx10時2y=eu=e0x22時2y=e2=(2)依題意有:yu2+1(ev-1)2+1(ex+1-1)2x1=1時y(e1+1-1)2+1e42e22(答案出錯21 cosx；(2)y=3,x<2y + y=-2x+x -2x+1,0￡x (4)y=sin 2 液面的高度為hV．試把hV的函數(shù)，并指出其定義區(qū)間．h=VV?[0,pr2H分別為3.5t、4.5t、5.5t的用水費用．x,f(x,依題意有f(x)=0.64x,x?[0,4.5·0.64+(x-4.5)·5·0.64,x?(4.5,+￥f(3.50.64·3.52.24f(4.5)0.64·4.52.88f(5.50.64·4.5(5.54.5)·5·0.646.08px

p(x)=

30x,x?L(x)=x(p(x)-60)=(30-0.01x)x,x?習題1-

=3n+2(n=1,2,3,)n（1）求|a1-3||a10-3||a100-3|nNnN時，不等式|a3|<10-4nNnN時，不等式|an-3|e

a-3=3+2-3=1 a-3=3·10+2-3=1 -3=3·100+2-3=1

-3=3n+2-3

取N9999,則當nN時,不等式成立

-3=3n+2-3

1nfi

-0= -0<e,只1e,即n取N=[1],則當nN時,-0<n2+n2+nfi

limnfi

n2+n2+n3e0要使3e,即n3

=

3n(n23n(n2+3+取N=[3],則當nN時en2+n-1<3n2+nn2n2+nfi

xfi{xn}

xfinfiunae.un-a￡un-a<\limnfi

=a,neXe-d（1）xfi-

f(x)=3 （2）limf(x)=-1xfi 對e0,$Nf(x3e成立

對e0,$Nf(x-(-1)e成立（3）xfi

f(x)=b （4）xfi

f(x)=-8 f(x)-b<

f(x)-(-8)<（1）lim(2x-1)=1 （2）lim3x+5=3xfi xfi (2x-1)-1=2x-2=2x-1

取N5,xNe3x+5-3=<xfix2-

所以xfi

xxsinx

（3）xfi-

xfi

證:當x?-2時 證:當x>0時x2-x+x2-x+x2+4x2+x+-(-4) 取N1xNsinx1x1xsinx1x1xx2-

=

sinx x2-

x+

-(-4)<

所以limsinx

xfix xxsin1

x>0xxf(x=10

x<0時，f(x

xfi

f(x)=lim(5+x2)=xfif(x)=limxsin1=xfixfi

xfif(x)?xfi

f(x)limf(x)不存在xfixfi￥xfi￥時，函數(shù)f(x的極限都存在且都等于A，則limf(x)=Axfi

xfixfi-

f(x)=f(x)=limf(x)=xfi設函數(shù)f(xlimg(x)0limf(x)g(x)0xfi xfi證f(x)$M0,使得f(x)M由limg(x0的定義可xfi對e0,$N0,當xN時使得g(x)0ef(x)g(x)-0=f(x)g(x)<Mg(x)<\limf(x)g(x)=xfi習題1- （1）lim3n2+n

1+1 nfi￥n+4n- nfi￥ n(n+1) lim[(1-1)+(1-1++(1-13++ nfi n=

nnfi￥n+4- =lim(1-)=lim =1 nfi n nfi￥n； n 3n+；（3）lim2+2++2 （4）lim nfi￥ n nfi￥ - 1+2

1(1+

1+ =

( =nfi￥

nfi￥

nfi3-2

2 )3)（5）

x2-

x32 lim ；2

xfi2x-5x+ lim(x+1)(x-xfi1(x-4)(x-

23

x = =xfi1x- x2+（7）limx2+

22-5·2+ 2x2+1) （8）lim xfi xfi￥x+5x+ xfi 1-

2+ = xfi￥ 1+1+1+1+

1++2xfi

+（9）hfi

3x2 lim ；xfi1x2-4x x3+3x2h+3xh2+h3-lim hfi =lim(3x2+3xh+h2)=hfi

3·1+1=-1-4 1 x2+ 3 xfi11- 1-x xfi￥5x-3x 1+ =x+ xfi =lim =1xfi1x+x

5x-x+（13）limx3+x2+3x+27 （14） xfi x- xfi￥2x lim(x3+x2+3x+27)=xfi而lim(x3)xfi\xfi

x3+x2+3x+=x-31+（15）lim(2x3-3x+6) （16）lim1+31+xfi xfi -31-解:原式= 31+131+131- x￡f(x2xax

alimf(xxfixfi\xfi

f(x)=e0f(x)=a=xfi

f(x)即當a=1時,極限limf(x)存在xfixfi1

x2-

1ex-1令f(x)

ex-1=(x+1)ex-limf(x=￥而limf(xxfi xfix2- \

lim(5xxfi

ax2-bxc=1ab,cab習題1- sinxfi

（2）lim ； xfi sin

sinx\limsinx= =xfi

xfi （3） xfi￥

（4）xfi

．x \ \ =

arctanx?(-p 2 \limarctanx=xfi￥ xfi xfi

x2-2x32x-x

=xfi

x-=當x

(1-ax2)1- (1-ax2)1-

=lim xfi xsin xfi 令axsintxfi0時,tfi4 4(1- (1-sin2t)- =limxfi

tfi0 1sin2t

t2(costt2(cost=limcost-1=lima(cost-1)=

tfi 1taa=-

tfi0t2 tfi（1）lim (n,m為正整數(shù)； xfi0sin xfi sin sin(mx)~mx. lim lim

當xfi0時,sin3x~22 (1+x+2x)-xfi01+x+2x2

xfi0 =1m1-cos x （3） （4）lim1-cos x xfi xfi04x+2tan x 2

當x

tan x2原式= 1-cos lim3+5x-7x2=32xfi0+x xfi04x2+2tan 2-2-1+cosxfi sin2

xfi

x+sin2x+tan；

x2

tan當x

當xfi0時, ~1,sinx~sin23x=

cos

sin

2xfi09x22

+1+cosx xfi sin5x+ 2

2 =lim1+sinx+3=42xfi09x2 +1+cosx xfi 5+ 2．（7）limln(1+2x-3x2) （8）lime3-．xfi xfi0arctan 原式

2x- =

lime3-1

sin3

=1xfi

xfi

xfi 習題1-（1）limxcotx (2)limsin2xxfi xfi2

lim2sinxcosx=lim2sinx=xfi sin xfi xfi （3）limcosx-cos3x xfi

xfi x cosx-cos3x=cosx-(4cos3x-3cos=4cosx(1-cos2x)=4cosxsin22

cos

x2,(x -

12-lim4cosxsin

lim2lim-xxfi

xfi

xfi sin x= cosxsin = 1xfi0

=xfi

x2=（5）limxsin1 （6）lim2nsinx(x為不等于零的常數(shù)xfi xfi 令t1x

令t1則原式=limsint 則原式=limsintx=tfi tfi （1）lim1-22x xfi￥ x xfi22 解:原式 )lim(1+ )

令tx2x2txfi -

1

(2t) tfi （3）limx+5x

2=xfi￥

x-5

xfi 2 解:原式 令t2,則x2)lim(x-5+10xxfi￥ x-5)

當xfi0時tfi11-=xfi x-

10x- lim(1)tfi 1t2-=lim(1+)=limex-5=xfi

tfi tfi￥

=e（5）limn[lnn-ln(n+nfi

3limaxbxxa0,b0 xfi0 原式=limn n

ax+bx- 3ax+bx-nfi

n+11)

原式limxfi

xfinfi

-2n+2n+

xfi

x+x

3ax+bx- ab=limlnen+2=lim-2n=-2 \原式=lime2 nfi￥ nfi￥n+2 xfi0

= =x+2a設lim =8，求a的值xfi￥x-axfi￥x-xfi

1x-a3ax=limex-a=xfi

3nn 3nn =nfi nfi￥ ￡n￡n nfi nfi n6+n6+(1+2+n) n6+n6+1+22+n2=1n(n+1)(2n

n6+ (1+22+n2)=limn6+nfi nfi (1+22+n2)=lim =nfi

nfi n6+n6+nfi

+ 36+設x1=10,xn+1= 6+66當n=1時,x2= =4<x1.假設當n=k時成立,即:xk<66xk

-

xk-xk- <則xk+1xk又xn ?nfi不妨設limxnnfix=6+x解得x3,x2(舍去\limxn=nfi習題1-（1）f(x)=x2cosx+ex （2）f(x)=x-3x3- x?f(x)在R上連續(xù)

x3-27?0x?f(x)在x=3（3）f(x)

x,|x-x2-x （4）f(x)=-x2-x x?limf(x)=limxxfi xfi=limf(x)=f-x2-x+12?0-4￡x￡f(x)在4￡x￡3

xfixfi-xfi-xfi-

f(x)=xfi-f(x)=-f(x)?xfi-

xf1（5）f(x)=0

x?QxˇQf(x xsin1,x?0（1）f(x) 1+e

（2）f(x)= x=0 f(0-)f(0+)= f(0+)=f(0-)=f(0)=

f(x)Rx2- （3）f(x)=x2-3x+2 （4）f(x)=sinx x2-3x20x1且xf(x)在x2

f(x)在x0x2- x+1,x?3（5）f(x)=|x|(x2-1) （6）f(x)=4-x,x<3 x(x2-1)0x0且xf(0+)1

f(3+)f(3-)=22

n（1）f(x)= (x?0) （2）f(x)=lim(1-x2n)x nnfi￥1+

nfi￥1+ f(x)=

當0￡x<1時nfi￥1+

f(x)= =nfi￥1+=f =

f(x)=lim =0nfi￥1+

f(x)=lim1+ nfi,sin x<0,設函數(shù)f(x)= 試確定a的值，使函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù) x?0xfi

f(x)=f(0)=則當xfi

f(xa時,f(x)在x0時連limf(x)=limsin2x=2=xfi xfi 即當a2時f(x)在x0ln(1+3x),x>0設f(x) ，b=任意實數(shù) x￡02.88+5·0.64(x-4.5),x>4.5f(2.88+5·0.64(x-4.5),x>4.5x為用水量（t，f(x為水費（單位：元xfi4

f(x)解:xfi4

f(x)=xfi4

f(x)0.64·4.52.88(元f(xxfi4

f(x)=xfi4

f(x)=f(4.5)=f(x)在[0,+￥畫出f(x習題1-x2+ x+1 （2）lim x2+（1）limsinxfi

5x+3 xfi

(x2+x)- xfi

limarc xfi=

1+1)

1=5·1+

arcsin( lim1+ln(2-

lim(1

xfi

3arctanx-4

xfi

)x 解1+ln(2-

當xfi0時ln(1x~ p

lime

xfi=limexxfi0

=lime4(x-1)=e-xfi （6）lim(1+x2ex)1-cosxxfi xfi 解

0時ln(1x~x,1cosx

x22

當x

21ln[1+x2ex原式limxfix2 x

=limex= xfi xfi =limexfi

=lime2ex=xfi

lim1+tanx （8）lim(cosx)cot2xxfi - xfi 解原式

tan sin 當xfi0時ln(1x~-cos2-xfi0x(cosx-

1tanx+1+sinx =

xfi0cos2xxfi0x(cosx-1)(1+tanx+1+sinx)cos

(cosx (cosx-1)(1+tanx+1+sinx)cos

xfi

cos2 xfi=2

=lime1+cosx=exfi

f(xg(xx0j(x)=max{f(x),g(x)}，y(x)=min{f(x),j(x)

1[(f(x)+g(x))2

(f(x)-g(x))20因為函數(shù)f(xg(xx00故j(xx01同理可證y(x=f(xg(x2

f(xg(x))2x

a+bx2,x￡f(xsinbx,x0在(-￥+￥ab的關系是（AA．ab B．ab C．ab．Dxlnx2在(1e令f(xxlnxf(e)=e-2>f(x)在x軸上(1e)至少有一交點.x5x1令f(xx5x-f(0)=-1<即x5x=1有正實根.若f(x

f(x在[ab上連續(xù)，ax1x2<xnb，則在(x1xnxf(x1)+f(x2)++f(xn)n當f(x)在[ab]上為常數(shù)C時,結論顯然成立.當f(x)C時,M,m為f(x)在[ab]內的上下界記f(x0maxf(x1f(xn￡f(x1minf(x1),f(xnmm￡f(x)￡f(x1)+f(x2)++f(xn)￡f(x)￡ 則在(x,x)內至少有一點x,使f(xf(x1f(x2+f(xn nf(x在[abxi?[abti0i=123n，且ti=1x?(abf(xt1f(x1t2f(x2+tnf(xn當f(x)在b]上為常數(shù)C時,結論顯然成立.當f(xC時,M,m為f(x)在[ab]f(x0max{f(a),f(x1),,f(xn),f(b)}￡f(x1minf(a),f(x1),,f(xn),f(bm m￡tif(x1)￡t1f(x1)+t2f(x2)++tnf(xn)￡tif(x0)=f(x0)￡

則在(a,b)內至少有一點x,使f(xt1f(x1t2f(x2+tnf(xnf(x在(-￥￥limf(xxfi

f(x必在(-￥￥f(x在(-￥+￥limf(x)xfilimf(x)=xfi$e=1,$N0,當xN時有f(x)A<1.f(x)<Af(x)在(-￥+￥)內有上界習題1

C(x)

，

C(x)? 100-x?00￡x

x? C(40)=1800·40=1200,100-40C(80)=1800·80=100-C(95)=1800·95=點．解:設x為該產品銷售量成本函數(shù)C(x)=1500+收益函數(shù)R(x)=利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x)=30x-保本點L(x)=R(x)-C(x)=30x-1500=x=50,R(50)=x公斤的成本為C(x)8x4000元，C(0)4000元本．解:設x為糖果銷售量C(x)=8x+ 8x+4000x=C(x)=8x+ 8x+4000x=400,C(400)=C(0)+C(800)=800y=

8·800+8000=800p0.2q23p3.50.2q0.2q3+3=3.5-0.2q-,3Dpcpd（cdc0p為價格，求市場均衡價S(p)=D(c+cc+c2-4a(b-d

ap2+b=cp+dc-c-c2-4a(b-d

x為稅前收入

f(x)=0.14(x-800),x￡0.140.14x(1-0.2),x>當x= ·30=10800時,f(108000.14·10800·(10.2)=1209.6(元貸款購房設一家庭貸款購房的能力y是其償還能力(u100倍，而這個家庭的償還能力又是月收入(x)的20%．x4000時

y=100u,u=y=100·(0.2x)=y=20·4000= 系．解:設x為停車時間,則有:f(x)=復利問題所謂復利，就是利滾利，這不僅是一個經濟問題，而且是一個古老又現(xiàn)

rtn日；（4）p=1000,r=0.06,t=n4時,nt2·4

f(nt)=p(1+r)ntn f(8)=1000·(1+0.068 4n=12時,nt2·12 f(24)=1000·(1+0.0624 n365時當連續(xù)時

nt=2·365= f(730)=1000·(1+0.06730 f=limp(1+r)nt.=plim(1+rn)

=

2·0

nfi nfi 當xfi0時，下列無窮小量中與x不等價的是 x-

+

+

D．sin(6sinx+x2)x-3x2+ ex-2x2+5x5- fi x fi fi1，所 x2-3x sinx x2-3xlim2x+Blimx Clim i + xfi+￥ xfi xfi xfi0+ xx2x2-3xxxfi￥

xfi￥極限 ）等于e 1x- 1

1A．lim(1+x)x B．lim1+ ．C．lim1-．D．lim1+xfi xfi-￥ x xfi-￥ x xfi0 xx 1 1-x因為lim1+x =exfi￥ xfi￥ n|f(n|g(nlimg(n3limf(n的值為（nfi nfilimf(n)=-3．B．-3￡limf(n)￡3．C．limf(n)=3．D．-3<limf(n)<3nfi nfi nfi nfi答案：B已知limxfi￥x

-ax-b=1，其中a與b為常數(shù)，則 A．a=2，b=3．B．a=-2，b=3．C．a=2，b=-3．D．a=-2，b=-3

xfi￥ xfi￥ x x3-（6）設函數(shù)f(x) ，則 sin B．只有1個可去間斷點．C．有2個跳躍間斷點． D．有3個可去間斷點．x3- f(x)sinpx= sinpx 函數(shù)還有無窮多個第二類間斷點，x2,–3,–4x+1設函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，則fx-1x+1 答案：[1,+￥，從0￡x-1￡1x11+x-1-x+計算lim xfi01+x1+x-1-x+1+x-1-x+

-1(xfi1+x1+x-1-x+2-

1(xfi設lim(12x2x2xfi

=e2，則a ，b 1lim1+2x-2x2ax+b2xfi0 =lim1+2x-2x22x-2x2ax+bx2xfi02lim2x-2x2=2xfi0ax+lim2-2x=xfi0a+a=1,"b?設x9

0+時，excosx2-ex與xm是同階無窮小，則m 2

excosx2- 2x2x1-2sin2 -

xsin22-2

x2 e-2x

2-1~

2 x2 ~-2x ~-x2(xfi0)f

m=2

2 f flim = lim = xfi0

xfi

xfi0f f

3xfi xfi0-3{有界是數(shù)列 必 條件；函數(shù)f(x)的極限limf(x){xfi

f(x的某一去心鄰域內有界的充分條件；函數(shù)f(x)x0的某一去心鄰域內無界是limf(x)=￥ 必要條件；函xfi

f(xx0左連續(xù)且右連續(xù)是f(xx0 3e3ex-xfi0+1- nfi

11+2++ limax+bx+cxx(a>0,b>0,c>0)；（4）lim(1+exarctanx2 xxfi0 xx

1cosx（5）lim(sinx)tanx xfi2

xfi

x) lim 1 2+e sinx xfi01+e |x|（7）xfi￥++ xfi01+e |x| xfi xfi 2

ex3-1~(1-cosx)~x2

~x(1-cos23abc ax+bx+cx

3 3 =lim xfi0 xfiax+bx+cx ax+bx+ 3xax+bx+cx- ax+bx 3x(\1=lim(xfi

x=lim xfi

bx=exlnbxlnb+1(xficx=exlncxlnc+1(xfi

3

-3\(2)=lim =lime =lime3 3xfi xfi xfi2 ln(sin cos