一類偏積分微分方程的二階全離散差分格式

一類偏積分微分方程的二階全離散差分格式

1初始條件在這項(xiàng)研究中，我們研究了以下有限差分格式：。ut(x,t)-∫t0β(t-s)uxx(x,s)ds=f(x,t)(1.1)其中核β(t)=t-1/2/Γ(1/2),在t=0點(diǎn)是奇異的0≤x≤1,0≤t≤T,滿足如下邊界條件:u(0,t)=u(1,t)=0,0≤t≤T.(1.2)和初始條件u(x,0)=v(x),0≤x≤1.(1.3)問題(1.1)-(1.3)常出現(xiàn)在帶有粘彈性流體模型及有記憶功能的熱傳導(dǎo)物質(zhì).文中,假設(shè):|utt(x,t)|≤ct-1/2,|uttt(x,t)|≤ct-3/2,|uxxt(x,0)|≤c,|uxxtt(x,t)|≤ct-1/2,對0≤t≤T,0≤x≤1(1.4)2等式的生成我們給出如下網(wǎng)格xj=jh,j=0,1,…,J,其中h=1/J(J是正整數(shù)),時(shí)間步長記為k,給出時(shí)間的一個(gè)劃分tn=nk,n=0,1,…,N(N=[T/k]),記Unj近似u(xj,tn),定義向后差分為:ˉ?tUnk=Κ-1(Unj-Un-1j)(2.1)我們運(yùn)用二階卷積積分公式(見:qn(ψ)=k1/2n∑p=0βpφn-p+wn0φ0(2.2)定義以下差分記號:δ2Vj=Vj+1-2Vj+Vj-1,ˉUnj=12(Unj+Un-1j),ˉU0j=12U0jwn=wn0+wn-1,0,ˉfnj=12(fnj+fn-1j),ˉf1j=12f1j.(2.3)則(1.1)-(1.3)的離散格式可以寫成如下形式:當(dāng)n≥2時(shí):k-1(Unj-Un-1j)-(k1/2h2n∑p=1βpδ2ˉUn-pj+wnh2δ2ˉU0j)=ˉfnj(2.4.1)當(dāng)n=1時(shí):k-1(U1j-U0j)-(k1/2h21∑p=1βpδ2ˉU1-pj-(k1/2h2β0-w10h2)δ2ˉU0j)=ˉf1j(2.4.2)其中:Un0=UnJ=0,n=0,1,…,N(2.5)U0=(U01,U02,…,U0J-1)已給出.(2.6)為了后面的需要,我們收集了差分計(jì)算的一些記號和結(jié)論.我們將用記號Un(n=0,1,…,N)表示RJ-1中的向量,即Un表示向量(Un1,Un2,…,Unj-1).如(V1,V2,…,VJ-1),(W1,W2,…,WJ-1)為RJ-1中的向量,則我們規(guī)定:Δ+Vj=VJ+1-Vj,1≤j≤(J-1),∥V∥∞=max1≤j≤(J-1)|Vj|<V,W>=J-1∑j=1hVjWj,∥V∥2=<V,V>(2.7)容易驗(yàn)證下面的等式成立(見):?δ2V,W?=-J-1∑j=0h(Δ+Vj)(Δ+Wj),(2.8)3求解格式穩(wěn)定性這一節(jié)我們將給出離散格式(2.4)-(2.6)的穩(wěn)定性.首先由Cauchy不等式我們很容易得到下引理.引理3.1當(dāng)U0=UJ=0時(shí),我們有:(1)當(dāng)n≥1時(shí),有:<δ2Un,Un>≤0(2)當(dāng)0≤n≤N,0≤m≤N時(shí),有:|<δ2Um,Un>|≤4‖Um‖‖Un‖.引理3.2如果實(shí)數(shù)序列{a0,a1,…,an,…}滿足∧a(z)=∞∑n=0anzn在開球域D={z∈C:|z|≤1}解析的.則對任意正整數(shù)N,任意序列(V0,V1,V2,…,VN)∈RN+1有Ν∑n=0(n∑p=0apVn-p)Vn≥0,當(dāng)且僅當(dāng):Re∧a(z)≥0,對z∈D.下面給出格式的穩(wěn)定性.定理3.3如果Unj按照(2.4)-(2.6)定義,當(dāng)k=O(h2)時(shí),那么∥Un∥≤C(Τ)∥U0∥+2Ν∑n=1k∥fn∥(3.1)證明在(2.4.1)的兩邊同時(shí)乘以hˉUnj,并對j(1≤j≤(J-1)求積,加上在(2.4.2)的兩邊同時(shí)乘以hUˉj1,并對j(1≤j≤(J-1)求和可得,當(dāng)n≥2時(shí):∑n=1Ν＜Un-Un-1,Uˉn＞=k3/2h2∑n=1Ν∑p=0nβp＜δ2Uˉn-p,Uˉn＞+kh2∑n=2Νwn＜δ2Uˉ0,Uˉn＞+kh2(w10-k1/2β0)＜δ2Uˉ0.Uˉ1＞+∑n=1Νk＜fˉn,Uˉn＞.由(2.8),先交換求和次序,再對每個(gè)固定的j,由引理3.2可將上式等號的右邊第一項(xiàng)化為:∑n=1Ν∑p=0Νβp＜δ2Uˉn-1,Uˉn＞≤2β0∥Uˉ0∥2.因此由上式及引理3.12,并假設(shè)∥UΜ∥=max0≤n≤Ν∥Un∥,得到當(dāng)N≥2時(shí):∥UΝ∥≤∥UΜ∥≤∥U0∥(1+k3/2h2β0+2kh2∑n=2Ν|wn|+2kh2(|w10|+k1/2|β0|))+2∑n=1Νk∥fn∥.(3.5)當(dāng)N=1時(shí):在(2.4.2)的兩邊同時(shí)乘以hUj1,并對j(1≤j≤(J-1)求和,由基本不等式及引理3.11)得到∥U1∥≤(1+2(k3/2h2|β1|+kh2|w10|))∥U0∥+k2∥f1∥.(3.6)由于wn0=O(k1/2n-1/2)(見[3,定理2.4.(1)])(1≤n≤N),可得:∑n=1Ν|wn0|≤C∑n=1Ν(k1/2n-1/2)≤C(Νk)1/2≤C(Τ).(3.7)由(3.5)、(3.6)及(3.7)即得.證畢.4ejn,12ej12ej12這一節(jié)我們將研究離散格式(2.4)-(2.6)的誤差估計(jì).首先我們給出的ε(uxx)(tn)=qn(uxx-(I1/2uxx)(tn)界,其中qn(φ)在(2.2)中被定義.引理4.1若uxx是0≤t≤T上實(shí)的,連續(xù)可微的函數(shù),且uxxtt在0<t<T上連續(xù)可積,則存在一個(gè)正常數(shù)C僅僅依賴于T,滿足:|ε(uxx)(tn)|=|qn(uxx)-(I1/2uxx)(tn)|≤Ck(k/n)1/2,1≤n≤N(4.1)定理4.2假設(shè)u為向題(1.1)-(1.3)的解,滿足假設(shè)條件(1.4);(U0,…,UN)(N=[T/k])是滿足(2.4)-(2.6)的數(shù)值解,對充分光滑的v(x)及f(x,t),當(dāng)k=O(h2)時(shí)max0≤n≤Ν∥Un-un∥=C(Τ)(∥U0-u0∥)+k3/2+h2).(4.2)證明令ejn=Ujn-ujn,其中ujn=u(xj,tn),則當(dāng)n≥2時(shí),有k-1(ejn-ejn-1)-(qn-1)(h12δ2ej)+qn(1h2δ2ej))/2=τ1jn-τ2jn.其中∶τ1jn=12(ut(xj,tn)+ut(xj,tn-1))-k-1(ujn-ujn-1)?τ2jn=12(∫0tnβ(tn-s)uxx(xj,s)ds+∫0tn-1β(tn-1-s)uxx(xj,s)ds)-qn-1/2(1h2δ2uj)當(dāng)n=1時(shí),有k-1(ej1-ej0)-k1/2h2∑p=01βpδ2ej1-p-ω10h2δ2ej0=τ1j1-τ2j1.其中∶τ1j1=ut(xj,t1)-k-1(uj1-uj0)?τ2j1=∫0t1β(t1-s)uxx(xj,s)ds-(k1/2h2∑p=01βpδ2uj1-p+ω10h2δ2uj0).根據(jù)定理3.3,可得:∥en∥≤C(Τ)∥e0∥+2∑n=1Νk(∥τ1n∥+∥τ2n∥).(4.3)由帶積分余項(xiàng)的Taylor展開可得,對于一切x(0≤x≤1)均有:當(dāng)n≥2時(shí),對(1≤j≤(J-1)有:|τ1jn|=|12(ut(x,tn)+ut(x,tn-1))-k-1(un-un-1|≤Ck∫tn-1tn|uttt(x,s)|ds.當(dāng)n=1時(shí),對(1≤j≤J-1),有:|τ1j1|=|ut(x,t1)-k-1(u1-u0)|≤C∫0k|utt(x,s)|ds.對一切1≤j≤J-1,n≥2,由假設(shè)條件(1.4)均有:‖τ1n‖2≤Ck2∫tn-1tn|uttt(x,s)|ds‖2≤Ck2(∫tn-1tns-3/2ds)2.同理可得:‖τ11‖≤C∫0ks-1/2ds.因此很容易得到:∑n=1Νk∥τ1n∥≤∑n=2ΝCk2∫tn-1tns-3/2ds+Ck∫0ks-1/2ds≤Ck3/2.(4.4)很顯然,對一切0≤t≤T和1≤j≤J-1有如下一致估計(jì):h-2δ2u(xj,t)-uxx(xj,t)=O(h2).(4.5)故由引理4.1,對一切2≤n≤N,和1≤j≤J-1有:2|τ2jn|≤|∫0tn|β(tn-s)(uxx(xj,s)ds-qn(uxx(xj,?))|+|qn(uxx(xj,?