黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)德強學(xué)校初中部2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（7月份）（五四學(xué)制）+

黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)德強學(xué)校初中部2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（7月份）（五四學(xué)制）（解析版）一.選擇題（請將正確的選項填入表中，每小題3分，共計30分）1．（3分）在直角三角形中，各邊的長度都擴大10倍，則銳角A的三角函數(shù)值（）A．也擴大10倍 B．縮小為原來的 C．都不變 D．有的擴大，有的縮小2．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，則sinA＝（）A． B． C． D．3．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則AC等于（）A．6 B． C．10 D．124．（3分）已知α為銳角，，則α的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA＝，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定6．（3分）已知∠A為銳角，且，則（）A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°7．（3分）如圖，E是?ABCD的邊BC的延長線上一點，連接AE交CD于F（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對8．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點．若∠AEF＝90°（）A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為垂足，且BC：AC＝2：3（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．：10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE，BD交于點F△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25二.填空題（請將正確答案填在相應(yīng)空格內(nèi)，每小題3分，共計30分）11．（3分）計算：2sin30°+2cos60°+3tan45°＝．12．（3分）若sin28°＝cosα，則α＝度．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，則tanA＝．14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝．15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，則BC的長為cm．16．（3分）等腰三角形的腰長為2cm，底邊長為，則頂角為度．17．（3分）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是米．18．（3分）如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，D為AC上一點，若∠APD＝60°．19．（3分）在△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，則BC的長為．20．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E，BC上，且AE＝CF，連接DE，F(xiàn)G⊥DE，連接CG，則tan∠FGC的值是．三.解答題（共計40分）21．計算：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；（2）．22．由下列條件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：（1）已知c＝20，∠A＝45°；        （2）已知a+c＝12，∠B＝60°．23．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的，得到△A2B2C2，請在y軸右側(cè)畫出△A2B2C2，直接寫出的值．24．如圖所示，課外活動中，小明在離旗桿AB的10米C處，已知測角儀器的高CD＝1.5米，求旗桿AB的高．（精確到0.1米）（供選用的數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）25．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動（1）求直線AB的解析式；（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似？（3）當t為何值時，△APQ的面積為個平方單位？

參考答案與試題解析一.選擇題（請將正確的選項填入表中，每小題3分，共計30分）1．（3分）在直角三角形中，各邊的長度都擴大10倍，則銳角A的三角函數(shù)值（）A．也擴大10倍 B．縮小為原來的 C．都不變 D．有的擴大，有的縮小【分析】先設(shè)出原來直角三角形的三邊，然后即可得到擴大后的直角三角形的三邊長，然后分別寫出銳角A的三角函數(shù)值，對比即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)原來直角三角形的兩條直角邊為a，b，斜邊為c，10b，原來的直角三角形的sinA＝，cosA＝，擴大后的直角三角形的sinA＝＝，cosA＝＝＝，由上可得，在直角三角形中，則銳角A的三角函數(shù)值都不變，故選：C．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．2．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，則sinA＝（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝6，∴BC＝＝＝4，∴sinA＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則AC等于（）A．6 B． C．10 D．12【分析】根據(jù)直角三角形的特點及三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∴tanA＝，AC＝．故選：A．【點評】本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義運用．4．（3分）已知α為銳角，，則α的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】先根據(jù)α為銳角及tan30°＝解答即可．【解答】解：∵α為銳角，tan（90°﹣α）＝，∴90°﹣α＝30°，∴α＝60°．故選：C．【點評】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，比較簡單，只要熟記特殊角的三角函數(shù)值即可解答．5．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA＝，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C即可作出判斷．【解答】解：∵△ABC中，∠A，sinA＝，∴∠A＝∠B＝30°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故選：B．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．6．（3分）已知∠A為銳角，且，則（）A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的減小而減小，即可解答．【解答】解：∵∠A為銳角，且，∴6°＜∠A≤60°，故選：A．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦值隨著角度的減小而減小是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，E是?ABCD的邊BC的延長線上一點，連接AE交CD于F（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到圖中的相似三角形的對數(shù)．【解答】解：∵ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，DC∥AB∴△ADF∽△EBA∽△ECF則圖中共有相似三角形有三對，故選：B．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定．關(guān)鍵是根據(jù)已知及相似三角形的判定方法解答．8．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點．若∠AEF＝90°（）A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進行解答即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，∴∠DEA+∠CEF＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CEF，∴△ADE∽△ECF．故選：A．【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為垂足，且BC：AC＝2：3（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．：【分析】首先證明△BCD∽△CAD，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知△BCD與△CAD的面積比為（BC：AC）2＝4：9，又△BCD與△CAD可看作同高（高為CD）的兩個三角形，則它們的面積比等于底之比，從而得出結(jié)果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∠B＝∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴△BCD∽△CAD，∴△BCD的面積：△CAD的面積＝（BC：AC）2＝4：8．又∵△BCD的面積：△CAD的面積＝（×BD×CD）：（，∴BD：AD＝4：8．故選：B．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定、性質(zhì)及同高的兩個三角形的面積比等于底之比．有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．相似三角形的面積比等于相似比的平方．10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE，BD交于點F△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，推出△DEF∽△BAF，求出＝（）2＝，＝＝，根據(jù)等高的三角形的面積之比等于對應(yīng)邊之比求出＝＝＝，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵DE：CE＝2：3，∴DE：AB＝3：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，＝＝，∴＝＝＝（等高的三角形的面積之比等于對應(yīng)邊之比），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于5：10：25，故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．二.填空題（請將正確答案填在相應(yīng)空格內(nèi)，每小題3分，共計30分）11．（3分）計算：2sin30°+2cos60°+3tan45°＝5．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．【解答】解：2sin30°+2cos60°+4tan45°＝2×+2×＝5．【點評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．【相關(guān)鏈接】特殊角三角函數(shù)值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．12．（3分）若sin28°＝cosα，則α＝62度．【分析】一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵sin28°＝cosα，∴α＝90°﹣28°＝62°．【點評】掌握互為余角的正余弦的轉(zhuǎn)換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，則tanA＝．【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義解答．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∴BC＝＝12．∴tanA＝＝．【點評】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝．【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數(shù)的定義解答．【解答】解：由sinA＝＝知，可設(shè)a＝3x，b＝4x．∴tanA＝＝＝．【點評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，則BC的長為8cm．【分析】利用銳角三角函數(shù)定義求出所求邊長即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴BC＝ABsinA＝10×＝8cm，故答案為：2【點評】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．16．（3分）等腰三角形的腰長為2cm，底邊長為，則頂角為120°度．【分析】作底邊上的高，根據(jù)等腰三線合一的性質(zhì)，也是底邊上的中線，利用勾股定理求出底邊上的高，然后代入面積公式求解即可．【解答】解：如圖，作AD⊥BC于D，∴BD＝DC＝cm，∴AD＝cm，∴∠B＝30°，∴頂角為180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案為：120°．【點評】本題考查解直角三角形問題，關(guān)鍵是利用等腰三角形三線合一和勾股定理求解．17．（3分）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是8米．【分析】Rt△ABP和Rt△CDP相似，即1.2：1.8＝CD：12求得該古城墻的高度．【解答】解：由題意知：光線AP與光線PC，∠APB＝∠CPD，所以Rt△ABP∽Rt△CDP，所以AB：BP＝CD：PD即1.2：8.8＝CD：12，解得CD＝8米．故答案為：5．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，從△ABP和△PCD相似，即求得PD．18．（3分）如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，D為AC上一點，若∠APD＝60°．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，證△BAP∽△CPD，得出＝，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴＝，∵AB＝BC＝3，CP＝BC﹣BP＝6﹣1＝2，即＝，解得：CD＝，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BAP∽△CPD，主要考查了學(xué)生的推理能力和計算能力．19．（3分）在△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，則BC的長為5或3．【分析】分兩種情況，過作BC上的高，構(gòu)造直角三角形，求出BC，CH的長，即可求解．【解答】解：如圖，過A作AH⊥BC于H，∵AB＝8，∠B＝60°，∴BH＝AB＝4，∴AH＝BH＝7，∵AC＝7，∴CH＝＝1，∴BC＝BH+CH＝6+1＝5；如圖，過A作AH⊥BC交BC延長線于H，∵AB＝6，∠B＝60°，∴BH＝AB＝2，∴AH＝BH＝4，∵AC＝7，∴CH＝＝1，∴BC＝BH﹣CH＝4﹣3＝3．∴BC的長是5或7．故答案為：5或3．【點評】本題考查解直角三角形，勾股定理，關(guān)鍵是分兩種情況討論．20．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E，BC上，且AE＝CF，連接DE，F(xiàn)G⊥DE，連接CG，則tan∠FGC的值是．【分析】延長GF交DC的延長線于點M，如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為3a，利用正方形的性質(zhì)得AE＝CF＝a，AD＝CD＝3a，再證明△AED≌△CFM得到AD＝CM＝3a，則可判斷CG為斜邊DM上的中線，所以CG＝CM，于是得到∠FGC＝∠M，然后在Rt△FCM中利用正切的定義求出tan∠M即可得到tan∠FGC的值．【解答】解：延長GF交DC的延長線于點M，如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為3a，∵AE＝CF，BE＝2AE，∴AE＝CF＝a，AD＝CD＝2a，∵FG⊥DE，∴∠EGF＝90°，∴∠GEB+∠BFG＝180°，而∠GEB+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠BFG，而∠BFG＝∠CFM，∴∠AED＝∠CFM，在△AED和△CFM中，∴△AED≌△CFM，∴AD＝CM＝3a，在Rt△DGM中，∵CD＝CM＝3a，∴CG為斜邊DM上的中線，∴CG＝CM，∴∠FGC＝∠M，在Rt△FCM中，tan∠M＝＝＝，∴tan∠FGC＝．故答案為．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是把求∠FGC的正切值轉(zhuǎn)化為∠M的正切值．三.解答題（共計40分）21．計算：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；（2）．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【解答】解：（1）原式＝6×（）2﹣×﹣2×＝6×﹣﹣＝2﹣﹣＝﹣；（2）原式＝＝＝﹣．【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．22．由下列條件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：（1）已知c＝20，∠A＝45°；        （2）已知a+c＝12，∠B＝60°．【分析】（1）先利用互余計算∠B的度數(shù)，再利用∠A的正弦求a，從而可得到b的值；（2）先利用互余計算∠A的度數(shù)，再利用∠A的正弦得到a＝c，接著利用a+c＝12可計算出c＝8，從而得到a＝4，然后根據(jù)勾股定理計算b的值．【解答】解：（1）∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，∵sinA＝，∴a＝20sin45°＝10，而b＝a，∴b＝10；（2）∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵sinA＝，∴a＝c?sin30°＝c，∵a+c＝12，∴c+c＝12，∴c＝8，∴a＝c＝4，∴b＝＝＝4．【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．23．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的，得到△A2B2C2，請在y軸右側(cè)畫出△A2B2C2，直接寫出的值．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．（2）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C3即為所求.（2）如圖，ΔA2B2C2即為所求．由題意得，△A1B1C3與△A2B2C4的相似比為2：1，∴．【點評】本題考查作圖﹣平移變換、位似變換，熟練掌握平移的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．24．如圖所示，課外活動中，小明在離旗桿AB的10米C處，已知測角儀器的高CD＝1.5米，求旗桿AB的高．（精確到0.1米）（供選用的數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】由題可知，在直角三角形中，知道已知角和鄰邊，直接根據(jù)