考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班高等數(shù)學(xué)講義湯家鳳

一、極限問題種類一：連加或連乘的求極限問題1?求以下極限：(1)lim11--133(2n-(3)lim.k3-1—pc=

k3nk2nlim卜n1]k(k-1)求以下極限:求以下極限:(2)nlimnn1+221nlim'Mln第一講極限與連續(xù)主要內(nèi)容歸納（略）要點題型解說1)31)+―—i：,4n2n種類二：利用重要極限求極限的問題求以下極限：x1)limcos—cosn-2xcos22x-(x2-0)；(n.1)n1lim-n1sin—；n求以下極限:(1)lim1sinx2x"01x3ln(1'2x)91tanxx"^<1+sinx丿種類三：利用等價無量小和麥克勞林公式求極限的問題1?求以下極限：(3)lim(4)limcosxx2/r(1)lim「1?tanx-Tsinx.x(1-cosx)2cosx)x-1]；3(2)limx01(3)limp>3xx0e_extanx—x(1-cosx)11(4)lim(?—■廠)；xtanxx0二、連續(xù)與中斷的判斷二、連續(xù)與中斷的判斷sinxAsinxA，求limf(x)~x2a-1x0x(3x)xx(5)limL；2；x0>xln(1.f(x))(6)設(shè)limx^02?求以下極限:

x2limcosx-eT3x0xsinx種類四：極限存在性問題：1?設(shè)x1=1,xn-1二xn二0,證明數(shù)列｛xn｝收斂，并求X'limxn。n>：-2?設(shè)2?設(shè)f（x）在［0_::）上單一減少、非負(fù)、連續(xù)，an，證明:-[-f(k)f(x)dx(n1,2,-)1liman存在。n-iSiniSinnxdx;1.求limdx;1n02lim(an+bn+cn山(a,b,c非負(fù))；?n1xnl2丿種類六：含參數(shù)的極限問題:1.設(shè)lim(x3sin3xax2b)0，求a,b；x02.設(shè)2.設(shè)limxr'：X1.1一_axb)二3，求a,b；種類七：中值定理法求極限:1、limn種類七：中值定理法求極限:1、limn2(arctan__arctann)；1112、limx2(e2xL_e2x-1)。x廠：種類八:變積分限函數(shù)求極限:種類八:變積分限函數(shù)求極限:?x?xetcostdt01、ln(lx),X0，議論函數(shù)f(，議論函數(shù)f(x)在x二0處的連續(xù)性。00在^0處的連續(xù)性。設(shè)f(X)=0,x=02.議論f(x)=(2x-1)：(2x“1),x-1,x二0三、連續(xù)性命題的證明1?設(shè)f(x)「C［a,；)且limf(x)存在，證明f(x)在［a,“：：)上有界。2?設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，任取p：?0,q.0，證明：存在「?:：(a,b)，使得pf(a)-qf(b)二(pq))f()。第二講微分學(xué)第一部分一元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)要點題型解說(一)與導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)的問題f(X。+ph)—f(X^ah)1?設(shè)f(x°)存在，求limh02?設(shè))hlimf(x)2，求f(1)。在x_1處連續(xù)，且〉丁一「x13?設(shè)f(x)在(八，)上有定義，對隨意的x,y有f(x?y)工f(x)f(y)，且f(0)=1，求f(x)。4.設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且limf(x)二1，f(0)二e,貝【Jlimef(x)2-exx0xx'bx5?設(shè)f(x)在()上有定義，且對隨意的x有f(x十1)=2f(x)，又當(dāng)x甲0,1］時，有f(X)二x(1一一X2)，議論f(x)在x=0處的可導(dǎo)性。(二)各種求導(dǎo)數(shù)的問題1X設(shè)yeex，求y；X_sin1,_廠1+x1Xarctan__■.設(shè)y=e1x，求y；3.y二x(x-1)(x2)…(x-100)，求y(0)，y(101)；12當(dāng)12當(dāng)X丄0時，f(x)，于是12當(dāng)12當(dāng)X丄0時，f(x)，于是x_t_ln(1*t)設(shè)y二f(x)由一—d設(shè)xy_yx，求_,—dx2dx_t_ln(1*t)設(shè)y二f(x)由一—d設(shè)xy_yx，求_,—dx2dy；確立，求一^；dx2dy設(shè)exy+tan(xy)二y,求_dxx=0「X設(shè)y=y(x)由tet確立，求ty2tant23siny二5dydxsinx十2aex,x<0在x09arctanx-2b(x_1)3,x；?=0處可導(dǎo)，求a,b；9?(1)設(shè)y求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2xCOst2dt'求?；0Xtf(t210?設(shè)f(x)連續(xù)，(2)設(shè)yx2,求dy(x)dxdxf(x)A，求(x)，并議論(x)在x0處f(xt)dt，且lim=A=的連續(xù)性。11?設(shè)f(x)=*11?設(shè)f(x)=*g(x)_cosx,xxa,x二0.0此中g(shù)(x)二階可導(dǎo)且g(0)1二。(1)時，(1)時，性。解答:f(x)在x=0處連續(xù)；(2)求f(x)；(3)研究f(x)在x=0性。解答:.g(x)]limf(x)二1img(x)「cosxJim[g(0lg一工°竺]x0x0>xx〉0xx二lim[g(x)-g(0),1-cosX]二g(0),x0’于是當(dāng)a二g(0)時,f(x)在x二0于是當(dāng)a二g(0)時,f(x)在x二0處連續(xù)。(2)當(dāng)x0時,f(x)limx0g(x)_cosxg(0)g(x)_cosX_g(0)x二limx0_f(0)_limxxx〉0?xsinx1limg(x)-g(0)一[1g■(0)],x02x2即f(0)[1-g(0)]；x[g(x).sinx]g(x).cosx種類一：目標(biāo)表達(dá)式中僅含種類一：目標(biāo)表達(dá)式中僅含不含端點字母，且導(dǎo)數(shù)之間相差一階研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少［/義?廠鳳limx[g(x)sinx]_g(x)-cosxlimx[g(x)sinx]_g(x)-cosxx013?設(shè)f(x)”戛先沽戶，求f(x)'并議論f(x)的連續(xù)性和可導(dǎo)性。1_[1.g(0),X二0f(X)f(X)二x[g(x)sinx]_g(x)cosx,lim0xlim0x3(3)由于limf(x)_2.g(xx0-lim[sinx_g(x)_2cosX]二_[1_g(0)]二f(0),xo'xx2因此f'(x)在x0處連續(xù)。12?設(shè)f(x)在［_1,1］上可導(dǎo)，f(x)在x二0處二階可導(dǎo)，且'f(0)=0,f(0)f(x)_f[ln(1+x)](三)高階導(dǎo)數(shù)問題1.設(shè)y二exsinx，求y(n)；2?設(shè)yln(x2_3x2)，求y(n)o3.設(shè)f(x)蟲ln(1-x2)，求f(49)(0)o第二部分一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)附：中值定理部分的推行1?設(shè)f(x)在XhX。的鄰域內(nèi)n階連續(xù)可導(dǎo)，則有f(x)()f(x)=f(Xo)f'(x0)(X_X0)』o(Xx)n.0((X公o)n)on!(a,b)，不如設(shè)2?(導(dǎo)數(shù)零點定理)設(shè)f(x)「C［a,b］，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b).0(a,b)，不如設(shè)使得f()二0o?(導(dǎo)數(shù)介值定理)設(shè)設(shè)f(x)「C［a,b］，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f.(a)廬f(b),f(a):::f_(b)，則對隨意的-［f，(a),f(b)］，存在(a,b)，使得fC￥"o.設(shè)f(x)￡C［a,b］，且f(x)：0(::0)，則有f(x)=Qf(x0)'f(x0)(x—x0)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x二x0o要點題型解說(一)中值定理等式的證明

1?設(shè)f(X)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=1,f⑴二0,證明：存在’(0,1)，使得2f()f()二0。2?設(shè)f(x)在［0,1］上可微，且f(1)二3：ex」f(x)dx,證明：存在?「:(0,1)，使得f(')f()二0。13?設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)二0,f(—)=1,f⑴二0。證明：12存在-■(—?1)，使得f()二；2對隨意的k)，存在i勺(0,)，使得f()-k［f(切」。二種類二：目標(biāo)表達(dá)式中含兩此中值1?設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0，證明：存在,--(a,b)，使得f()_eb_eae_f()b-a2?設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)二f(b)=1，證明：存在「(a,b)，使得f()-fI)二e一;3?設(shè)f(x"C［0,1］，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)二0,f(1>1，證明：對隨意的正數(shù)a,b，存在,?:(0,1)，使得—ab-ab。f(§fG)1,2,3■'(a，b)，使f(11,2,3■'(a，b)，使f(1)(ab).種類三：目標(biāo)表達(dá)式中含有端點和中值1?設(shè)f(x),g(x)［a,b］，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)-0，證明：存在：(a,b)，使得f(a)-f「)_f()。g()-g(b)g(-)種類四：目標(biāo)表達(dá)式為f(n)(')41?設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)f(1)■f(2)二3,f(3)1,證明：存在Ee(0,3)，使得f■(0=0。3?設(shè)f(x)在［0,1］上三階可導(dǎo)，且f(0)二f(1)二0,H(x)二x3f(x)，證明：存在.??-'(0,1)，使得H()二0。4.設(shè)f(xp=C［a,b］，且f(a)f：(b)<0，證明：存在?e(a,b)，使得f(工=0o種類五：目標(biāo)表達(dá)式為f(n)()=C0(此中C0為常數(shù))1?設(shè)f(X)?“C［a,b］，在(a,b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在(a,b)，使得f(b)_2f『a+b】卡f(a)=(b—a)2f心)。一I2丿"4一2?設(shè)f(x)在［_1,1］上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(-1)二0,f⑴J,f(0)二0，證明：存在—(一1,1),使得f…(J二3oan為n個不一樣的實數(shù)，函3?設(shè)％va2：二一：二數(shù)f(x)在［a1,an］上有n階導(dǎo)數(shù)，并知足f(a1)=f(a2)二…=f(an)=0，貝ij對每個cf［a1,an］，存在■■-(a1,an)知足等式f(C)二(CJ)(Ca；)…(C之“)f(n)()on!(二)中值定理不等式的證明1?f(xp::C［a,b］，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)二f(b)，且f(x)不是常數(shù)，證明：存在;；乞(a,b),使得f(').「0o2?設(shè)f(xpC［a,b］，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且曲線y二f(x)非直線，證明：存在(a,b)，使f(b)_f(a)得lfL)P一仁一o3.f(xpC［a,b］，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(a)二f⑹二0,f(a)::0，證明：存在廠(a,b),使得f()：二0o4?設(shè)f(x)在［a,b］上知足f'(x)L2，且f(x)在(a,b)內(nèi)取到最小值，證明：If'(a)IIf(b)I匕2(ba)。研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少［/義?廠鳳(五)不等式的證明問題(五)不等式的證明問題5?f(x)二階可導(dǎo)，且f(0)二f⑴二0,minf(x)=_l，證明：maxf(x)二8。olLx'10xii6?設(shè)f(x)在［a,b］上二階可導(dǎo),f(x)-0,對隨意的xf[a,b](1丄i±n)及%0(14n6?設(shè)f(x)在［a,b］上二階可導(dǎo),f(x)-0,對隨意的xf[a,b](1丄i±n)及%0(14n)，證明:f(k1x「k2*??knxn)■:k1f(x1)■嶺f(x)knf(x)。7.設(shè)limf(x)_1且f(x),：0,證明：f(x)x。x0x8?設(shè)f(x)在［0,=)上有定義且f乙x八0,f(0)二0，證明：對隨意的f(ab):::f(a)f(b)。9?設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，且f(a)二f(b)二0，證明：存在u(a,b)，使得|fC)14|f(b)_f(a)|/(b_a)2。10?設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且|f(4)(x)|M(M：,0)，證明：對此鄰域內(nèi)任一不一樣于x0的a，有|f(x°JAf⑹2f(x。)丿心x0)2,12(ax°)2此中b是a對于x0的對稱點。11?設(shè)f(x)在［0,1］上二階可導(dǎo)，f(0)二f⑴且|f"(x)乜2，證明：對隨意的x［0,1］，有|f(x)|1。12?一質(zhì)點從時間t二0開始直線運(yùn)動，挪動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零。證明：在運(yùn)動過程中存在某個時辰點，其加快度絕對值不小于(三)求中值定理中?的極限問題1?設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(x)=0，又f(x■h)二f(x)f(x?二h)h(0叮T叮1)。證明:lim二1―2h02?設(shè)1x：；,x-0)，證明：一土n(x)—1。2&+日(x)4“2(四)與極值、最值有關(guān)的命題1?設(shè)1?設(shè)f(a)f(x),g(x)在[a,b]二階可導(dǎo)，知足f(x)f(x)g(x)_f(x)二0，且二f(b)二0(ai：b)，證明：f(x)三0(x.-：[a,切)2?求數(shù)列{\n}2■中的最大者。

1?設(shè)f(0)二g(0),f(0)=g(0),f(x)：：.g(X)(x.0)，證明：當(dāng)X：0時，f(x)g(x).證明：1xln(x-1-x2)^.1x2o?證明：當(dāng)x0時，有(x2_1)Inx_(x」)2ob2(b_a)?設(shè)ba.0,證明：lnaa+b?當(dāng)x.0時，證明arctanxJ21oln(1故)一2方程根的個數(shù)議論?議論方程xex二a(a.0)的根的個數(shù)。?設(shè)［0＜：0內(nèi)有f”(x)..0，且f(0)=—1,r(0)2，證明：f(x)0在(0,■：:)內(nèi)有且僅有一個根。x-3?證明方程lnx二—_［丿_COS2xdX在(0,+*)內(nèi)有且僅有兩個根。e‘0選擇題1?設(shè)f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且limf(x)f(x)二2，貝ij()X：?0X(A)f(0)是f(x)的極大值.(B)f(0)是f(x)的極小值.(c)(0,f(0))是曲線y二f(x)的拐點.(D)f(0)不是f(x)的極值點，(0,f(0))也不是曲線y二f(x)的拐點.2.設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，limf(x)—2，則()T(X-2)33x(A)f⑵是f(x)的極小值；(B)f⑵是f(x)的極大值;(C)(2,f(2))是曲線y二f(x)的拐點;(D)f⑵不是函數(shù)f(x)的極值點，(2,f(2))也不是曲線y二f(x)的拐點。3?設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且limf(x)二」，則()Xbx(A)f(0)(A)f(0)是f(x)的極小值;(B)f(0)是f(x)的極大值;(C)(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點；(D)x=0是f(x)的駐點但不是極值點。x4?設(shè)k0，則函數(shù)f(x)*nxk的零點個數(shù)為(A)0個；(B)1個；(C)2個;(D)3個。ii2十-L5?曲線y_x2一'"e>1的漸近線的條數(shù)為x+1(A)O條;(B)1條;(C)2條;(D)3條。第三部分多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)(一)基本觀點1?多元函數(shù)的極限：設(shè)z二f(x,y)的定義域為D，Mo(xo,y°)為平面上一點，若對于隨意的<：；(x—?)2■(y-yo)2-：：：二時，有If(X,y)AI則稱f(x,y)當(dāng)xyo時以A為極限，記為limf(x,y)二Aox「xoy%2?多元函數(shù)的連續(xù)：設(shè)z二f(x,y)在點Mo(xo,yo)的鄰域內(nèi)有定義，若limf(x,y)二f(xo,yo)，xxoy'yo則稱函數(shù)z二f(x,y)在點Mo(xo,yo)處連續(xù)。3?偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)z二f(x,y)在點Mo(xo,y°)的鄰域內(nèi)有定義，若f(x_f(X,y)zlim——0―?乂溝)一o~L存在，稱函數(shù)二f(x,y)在點Mo(x0,y0)處對x可偏導(dǎo)，極限■x>0\xf記為fx(xo,yo)，zG(xo,yo)(xo,yo)f(xo,y°+占yLf(xo,yo)；若1im存在，稱函數(shù)z=f(x,y)在點Mo(xo,Yo)處對y可偏導(dǎo)，極限記為fy(x°,y°)Ey,cy(xo,yo)(xo,yo)4?可微與全微分：設(shè)z二f(x,y)在點Mo(xo,y°)的鄰域內(nèi)有定義，記Ft(xo?dy°*y)f(xo，yo),Byo(；?)，此中A,B為常數(shù)，—'、(哎)2'(■y)2，則稱z二f(x,y)在點Mo(xo,yo)處可微，稱A^xB5為f(x,y)在點Mo(xo，y°)處的全微分，記為dz二AxByo講解:若z二f(X,y)在點Mo(x)‘yo)處可微，則;f,B二若z二f(x,y)為可微函數(shù)時，dz二一dx(xo,yo)-f?fry,；y(xo，yo)y55?方導(dǎo)游數(shù)：設(shè)z二f(x,y)在點M°(Xq,y°)的鄰域內(nèi)有定義，從點Mo(%,y°)印一條射線1，55?方導(dǎo)游數(shù)：設(shè)z二f(x,y)在點M°(Xq,y°)的鄰域內(nèi)有定義，從點Mo(%,y°)印一條射線1，(2(2)(2(2)設(shè)M(X)+AX,y0+4yEl，令P=J(Ax)2十(③)2。f(x若lim0',y0'，y)—f(X)‘y。)存在，稱此極限為函數(shù)「■o「「z二f(x,y)在點M0(x0,y°)處沿射線l的方導(dǎo)游數(shù)，記為￡|%fil講解:?r(1)設(shè)z二f(x,y)在點M0(xo，y°)處可微，貝口Mof:l：xIMqCOS?fJm。Sin;y為射線l與X軸正方向的夾角)。()設(shè)u二f(x,y,z)在點2Mo(xo,y。,zo)處可微，則fMoCOSflCOS?」MoCOS，(此中，為射線l與x軸、oj-?Oj-ho<yczf|M二企IM0■l-xy軸、z軸正方向的夾角)。6?梯度：設(shè)u二f(x,y,z)為二元可微函數(shù)，稱田i二匚,匚Xu,:u:x:y?zzuzuctcr—J■——k二.j—i￡j—aj—i:y:z!汀x:y-z0u二f(x,y,z)的梯度，記為gradf(x,y,z)二二i.:X講解：梯度的方向即為函數(shù)在一點處方導(dǎo)游數(shù)最大的方向，梯度的模即為方導(dǎo)游數(shù)的最大值,ff由于二__COS.l:XfcCOSOf+—f—L_COS&小.：u7匚u『COS-，COS'.,COS'、r\4、x.y:z|2COS二(此中芒為1與gradf的夾角)，2f2f、韋:丿1?2.因此當(dāng)衛(wèi)二0時，COS二1，此時方導(dǎo)游數(shù)最大，且最大值為偏導(dǎo)數(shù)求法顯函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)：dzz二f(u,v)，此中u二「(t),v二:-(t)，求—；dtzz二f(u,v)，此中u二u(x,y),v二v(x,y),求二，:z；二x「yz二f(u,v,x)，此中u=u(x,y),v=v(x,y)，求仝□一；8x?3?隱函數(shù)(組)求偏導(dǎo)數(shù):dy(1)設(shè)F(x,y)二0，求—；dx(2)設(shè)F(x,y,z)0,求產(chǎn)，：憶；9；xjy『dzdz(3)設(shè)F(x,y,z)二0,，求_，_；G(x,,y,z)=0,dxdyLrF()0uuvv(4)F(X,y,u,v)=0,，求:及f|G(x,,y,u,v)=0,Jx：yxyfi多元函數(shù)微分學(xué)在函數(shù)極值上的應(yīng)用1?無條件極值求函數(shù)z=f(x,y)極值的步驟：(1)確立函數(shù)z二f(x,y)的定義域;zx二0(2)由彳求出函數(shù)的駐點;0a二fxx(x0,y。)a二fxx(x0,y。),B二fxy(x0,y0),Cfyy(x0,『0)，當(dāng)A0時，(x0,y°)為極小點；當(dāng)A0CaseI若AC_B當(dāng)A0時，(x0,y°)為極小點；當(dāng)A0時，(x0,y°)為極大點。CaseII若AC一B20,則(x0,y0)不是極值點。CaseIII若AC_B2二0，則沒法確立點(x°,y0)能否為極值點。2?條件極值在■(x,y)二0下求函數(shù)z=f(x,y)的極值點與極值，采納Lagrange乘數(shù)法，步驟為:(1)令F二f(x,y),；、：(x,y)；Fx二L二0由Ff0求出可能的極值點;yyyF廠“x,y)二0對可能的極值點進(jìn)行確立。多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用(數(shù)學(xué)一，該內(nèi)容包括在空間分析幾何部分)1?空間曲線的切線與法平面x二-：(t)(1)設(shè)1:y二(t)，取參數(shù)t=t0，對應(yīng)的曲線上的點為M0(x0,y°,z0)，切線的方向向z-(t)量為T二{■.(5),??(t°):&)},切線方程為:x_xy_yz_Z0—0—0■-：(t0)'■(t0)-■(t0)法平面為:A(t0)(x-x0)W(t0)(y—y0)+馥0)(z_z0)』o(2)設(shè)：F(x,y,z)二0[，點M0(x0,y0,z0)w「，則切線的方向向量為G(x,y,z)二0Tftttf,TNFx：F；,Fz}{Gx,Gy,Gz})2?空間曲面的切平面與法線Mo設(shè)空間曲面龍：F(x,y,z)=0，點M0(x},沁環(huán))芒E,則切平面的法向量為n{Fx,Fy,F：},Mo切平面方程為：Fx'(M0)(xx0)■Fy(M0)(yy0)■Fz(M0)(zz0上0,(zz)0。法線方程為：(x禮)二(yyj二F：(M。)F；(M0)F；(M。)要點題型解說(一)多元函數(shù)的觀點、1?求以下極限：極限與連續(xù)sin(xy)(1)(1xy)x2(2)limx-0y0議論函數(shù)f(x,y)一xy,(x,y)(0,0).x2-y2在點(0,0)處的連續(xù)性。0,(x,y)二(0,0)議論函數(shù)f(x,y)x2y=x4'y2,(x,y)(0,0)在點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。0,(x,y)二(0,0)議論函數(shù)f(x,y)1xysmI\/x2+y：0,(x,y)二(0,0),(x,y).二(0,0)在點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。(二)偏導(dǎo)數(shù)的求法C2U設(shè)u=xyz，求duC2UTOC\o"1-5"\h\zxy設(shè)f,g二階連續(xù)可微，u二yf()xg(),yx設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u,v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u,v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且;x:y

二f(exsiny,x2一y2)，且f二階連續(xù)可微，求：：2zfix破二f(x_y.g(X_y_z))，此中f,g可微，求：/，/ex:y=f(z),且z是由z=y--xz)確立的x,y的函數(shù),f(z),臥f(z),臥z)可微，證明:「=■(z)「y-f(x,t),且t是由G(x,y,t)_°確立的x,y的函數(shù),f(x,t),G(x,y,t)可微,dy求—dx-亠「y-f(x,t),且t是由G(x,y,t)_°確立的x,y的函數(shù),f(x,t),G(x,y,t)可微,dy求—dx-亠0，且F可微，證明：x■y1.■xcyzxy設(shè)u二f(x,y,z)連續(xù)可偏導(dǎo)，且z二z(x,y)由xex_yey二zez確立，求duo10.ySzx^z_(yx)z，若經(jīng)過變換uK-LJ~?\:x:yx2.y2亠x11,w」nz(xy),其中yw二w(u,v)，求原方程化成的方程形式。解答：由1w=1z?xz:x1;w二1*z這z「yw),：z二z(1x-:yw),w又w.u_wv_2x=C:ux2yC:ux2yw代入原方程得—cv11?f(x,y)知足方程(空)2?(蘭)2二4，利用訂x:y1x二uv,y二(U2_v2)把函數(shù)f(x,y)變?yōu)?g(u,v)，且知足a(乂_b()2二u2.v2，求常數(shù)a,bo二7(u2_V2)]，解答：g(u,v):u1二f[uv,_2:gfv'u二u:xy-f-fu_v、，代入上述關(guān)系式得:x-yf)2_b(uyf|FR-二xvf)2=u2-V2，即-y(av2_bu2)口丿2(2a?2b)uv_ff?(au2_bv2)(」)2-n.cfC「x二x二y-y研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳則2a亠2b-0,a二_b，于是TOC\o"1-5"\h\z）f1a（u2v2）［（：f）2一（：「）2］=u2v2，進(jìn)而a=_，bSxcy4（三）偏導(dǎo)數(shù)在極值上的應(yīng)用1?求由方程2x2■2y2■z2■8xz工?8二0所確立的函數(shù)z二z（x，y）的極值。4x_8z4y解答：由zx0,zy0得x二一2z,y二0，代入原方程得z+8x_1y］gz+8x_1z1二】，3=-8，因此駐點為（_2,0），（，0）°747z葉zz在（_2，0）處，Axxv,Bxy二0，Cyy二-4，AC_B2二〔0，A：一.0，函數(shù)在1515225z二z（x,y）取極小值z二1；（16_4，AC_B2二160，A0，函15225在（_,_4，AC_B2二160，A0，函15225xxyy71516數(shù)在點（—,0）處取極大值z二°772?求f（x，y）二x3—4x2，2xy—y2在地區(qū)D二｛（x,y）LI匕x_4,J<y1｝上的最大值與最小值。解答：由|L=解答：由|L=3x2_8x2y0二!得fy二2x-2y二0■x0,-，根據(jù)判別法知f（0，0L0為極大值。令y二0:x二_1（—1_y二1），L2:y二_1（—1三x「4），L3:x二4（1my二1），均：y二1（—1二x4）在f（-1,y）單一減少，故L］上f（―1，y）二—5—2y-y2，由于f（—1，y）二f（-1,y）單一減少，故f（―1，—1）二-4最大，f（--l」）二—8最小。在L2上f（xj）二x3_4x2_2x1，令f（x，_1）二3x2_8x_2二0，min{f（一1，_1），f（x1.1），f（x2一1），f（4,_1）}二一-4422-226一,274422226-%27max｛f（1一1），f（X］，一1），f（勺，一1），f（4,一1）不分別為f（x，一1）在L?上的最大值27與最小值。近似可得在L3上f（4,y）的最大值與最小值分別為f（4，1）二7與f（4,-1）二--9，在L4上f（x,1）的最大值與最小值分別為f（4山7與f丄1，1L_8，綜上所述，f（4，“7與

■f魯,1)3/-4422-226分別為f（x,y）在D上的最大值與最小值?！?73?求函數(shù)Z二X2-12xy?2y2在地區(qū)D:4x2?y2525上的最值。解答:(1)在42+2叮25內(nèi),由.—中得x二0,y0xyzx2x12y0,zy12x4y0J(2)在42+252二二2-+2+扎汁2—xy上,令Fx12xy2y(4xy25)，F(xiàn)x二2x12y8?x二03由Fx二2x12y8?x二03由Fy=12x4y-2:y=0得(x,y)二(士2,二3),G：黃4)，2F二4x2?y2-25二0r1由于z(0,0)0,z(：：2,二3)=_50,z(...1\.4)二106因此函數(shù)在地區(qū)上的最大值為41106—，最4小值為-50。4?求橢球a2b2c2二1（a：?0,b：0,c：.0）內(nèi)接長方體的最大概積。解答：設(shè)內(nèi)接長方體在第一卦限的極點坐標(biāo)為(x,y,z),則V二8xyz。令F二xyz?，蘭Y2■Z21),TOC\o"1-5"\h\za2b2c22x2:y2:zx2y2z2由Fx二yz0,Fy二xz0,Fz■二xy0,F1二0得a2a2a2a2b2c2X二.兀，y=-bi,z二_c_..，則最大概積為Vmax二8.3abc。廠廠1■-3-39（四）偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用、、x61?求曲線.2一y2一z2二在點（1,_2,1）處的切線與法平面。xyz二0作曲面222_3x'y作曲面222_3x'y"z=27的切平面，求此切平面方程。2?過直線ix?y-z二0解答:Fxyz二x解答:Fxyz二x2y2_z2(,,)327,J{6x,2y,2z}則，過直線的平面束為10x■2y2z27.■(x-yz)0亍其法向量為{10?：2。設(shè)所求的切點為（x0,y。,z0），貝惰(10「)/6x0二(2「)/2妒(2「)/2z03xo2?y。2-z02-27=0(10…九)?(2…占一)>0-(2X)z°二0「(x,y,z)=(3,1,1)「(x,y0,z0K3,_1717)解得，，.「1或許，.「19'故所求的切平面方程為9x-y一z270=或許9x17y丄7z27二0。3?曲面4z二X2■y2上一點M的切平面為二，若過：的曲線「:y二t在t二1的切線為z二3(t_1)L，求平面二。xz解答：切線L的方程為一1_y—l_，曲面上點M(x0,y°,z0)處的法向量為2一1一3一xyn={0，°,1}，22(0，即則切平面方程為令(X—“)+%(y—y0)—(z_z)—xx0中yy0_2z=2z0。22由于L-，而(1,1,0),(3,2,3)一L，因此3Xx0■yo=2z0o-2y0_6=2z0，解得切點的坐標(biāo)為x2■y2二4zo(12,.!,7)或許(222),555故平面二:6x-3y-5z=9或許二:x-y-z=2。x24?設(shè)曲面S:-y22z21，平面4，平面二的法向量為，平面二的法向量為n2二{2,2,1},(1)求曲面S上與“平行的切平面；

解答：(1)S上M處切平面法向量為

(2)曲面S與平面-之間的最短距離。z}2由「乙由「乙x__zn//n2得2一2一1M1(1,戒M2(2或x二2t,y=t,z=2t，2t1」，，_1)，切平面方程為2x2y2

代入S得二…Lt一2，則-z4二0或許2x■2y?ii?z?4D。x(4x(4-x)?,1xx2x(4x(4-x)?,1xx22取n{2,3，1},則n{ffo12取n{2,3，1},則n{ffo1z26x2—8了-2，因此￡u_匚ucn|pX|p2:u14「yip3X—=414z|P14117TOC\o"1-5"\h\z31,,}，而u6x,u8ycc1414,14訂xz6xdx；-8y2.；yz,6x2-8ydx；第三講積分學(xué)第一部分不定積分內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）

要點題型解說（一）積分觀點與直接積分法smx?設(shè)f（x）的一個原函數(shù)為，求?xf-（x）dx。x?e|x|dx。3.max(1,x2}dxo（二）換元積分法1?計算以下不定積分1(1)dx；■x5x62x4dx；x5x62(2)■x2■2^■2x3.丄2100x(l十x)dx；dx；dx；x22x?21x7dx；x(1x7)——dxoJ+x42?計算以下不定積分(1)rex卡dx；e，5'(3)廣ln(x+珂1左)+dx；(4)(1+x2-g(2)11—COS_-dx；xx2x3(xlnx)2(1』nx)dxo(5)idx；(6)1'xInx(1+xIn2;0L(x—Inx)3?計算以下不定積分()1；1fdx'()12[“Jex+1ex(1*e2xInx■2dxo)1-Inx4?計算以下不定積分2dx；xdx；(4)設(shè)(4)設(shè)f(x)C[￡,怎]，且f(X)二(5)(4)設(shè)(4)設(shè)f(x)C[￡,怎]，且f(X)二(5)(3)dx(1)cotxdx；■9(2)rcos2xdx；■Jsinx13+sinxcosx(3)dx?9(4)sin2x|"dx(aJa2cos2x+b2sin2xsin2x+2cos2x■(5)rsinx—cosxdx；(6)「1dx；5?計算以下不定積分(7)b）二；12tanx(cosx'sinx)5i+sinxedx.x1cosx1(8)sinxdx；，1+sinx(10)dx；1■sinxcosxdx。.2sinx-cosx（三）分部積分法計算不定積分2arccotxdx第二部分定積分及其應(yīng)用內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）要點題型解說（一）基本不定積分的計算1?計算以下定積分(1)(3)L(1+sin4x)dx；44sin2x；烝21dx

e4x(2)I(5)7T■??[■xJsm2x—Sin4xdx；0(1x2)ndx；x予+護(hù)0(1x)2-1ln(1-x)dx;xe01x220cos6-xdx02?計算以下定積分(1)-sin7x21(_12101)dx；1+1cosxn_(2)|IcosxIdx；0n'l：xIcosxIdx；x+1cos2x7Tf(x)sinxdx，求f(x)；設(shè)f(x)二xet2dt，求1x2f(x)dx'10(6(6)設(shè)f(x)可微，且f(0)0,F(x)_rxtn_if(xntn)dt，求limF(x)。(6(6)設(shè)f(x)可微，且f(0)0,F(x)_rxtn_if(xntn)dt，求limF(x)。99?設(shè)f(x)_0為以T為周期的連續(xù)函數(shù),99?設(shè)f(x)_0為以T為周期的連續(xù)函數(shù),X2n3?設(shè)f(x)__1,x1十2xi-匕I4■x12*,x0，求5f(x_1)dxo-1F(x)二x(x_2t)f(t)dt，證明:一0(1)若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)；4?設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且(2)若f(x)為非增函數(shù),

則F(x)為非減函數(shù)。5?設(shè)g(x)為可微函數(shù),f(x)為其反函數(shù)(x.0)，且f(xg(t)dt01_3(x_2_8)，求f(X)。3x口6.設(shè)etdtxexh(1弓求0

(2)求lim-及l(fā)im。x0x-77?設(shè)f(x)三C[a,b]，且f(x)dx_rbxf(x)dx_0，證明：函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)起碼兩個零點。(二)定積分等式的證明f(x).C[a,b],證明:f(x)￡C[a,b],證明:f(x)dx二bf(a_b_x)dx。af(x)dx二(ba)f?[a+(b里)x]dx0f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù)，證明：存在(a,b),使得f(0lg(x)dx=g()廣f(x)dxof(d)f(x)二A,g(x)為偶函數(shù),1)證明:af(x)g(x)dx二Aag(x)dx；(2)計算0f(x)是連續(xù)函數(shù)，證明:f(x)C[2,4],f(3)二0,f(x)；一C[0,a]，證明:f(x)在區(qū)間［0,1］上可導(dǎo),2IsinxlarctanexdxoJT2[『f(t)dt]du=fx(x_u)f(u)duo00證明：存在f(x)dxf(1)20(2,4)，使得f(-)二34f(x)dxo■af(y)dy=丄[「f(t)dt]2o2?x01■2x2f(x)dx，證明：存在匚柱0(0,1)，使得1f(t)dt二—T'0Tf(t)dto2maxIf(2maxIf(x)Io40<<2maxIf(2maxIf(x)Io40<<10?設(shè)f(x)在［a,a］(a0)上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0。寫出f(x)的帶拉格郎日余項的一階馬克勞林公式；證明：存在齡運(yùn)［fa］，使得a3f從)=33f(x)dxo11?設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在(a,b),使得f()f()24ff(x)dx(ba)f丄aab(ba)3(三)定積分不等式的證明設(shè)f(x)C[a,b]，證明:(rbf設(shè)f(x)C[a,b]，證明:(rbf(x)dxlI(b_a)■bf(x)dxoa設(shè)對隨意的x,y-［a,b］，有|f(X)—f(y)x-yI，證明:2(n■1)2(n-】)設(shè)f(x)C［a,b］且單一增添，證明:bxf(x)dxa2(n■1)2(n-】)設(shè)f(x)C［a,b］且單一增添，證明:bxf(x)dxaa：；；b2■bf(x)dxoa設(shè)f(x)在(0,治〔：」)上連續(xù)且單一減少，證明:n1f(x)dx1f(x)「C［0,1］且單一減少，證明：對隨意的-f(x)dx0tn+|f(x)dxo1-1f(x)dxofa0If(x)dxf(a)(ba)I(ba)2b--匕?aJI設(shè)an二球tannxdx(n.2)，證明:00，證明:f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)可導(dǎo)，且0，證明:b2(b_a)2f(x)dx上af(x)在［a,b］上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)二f(b)證明:1If(x)I—b|f2a(x)|dx(af(x)在［0,a］上連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，證明:af(x)dx0Ma2此中MmaxIf(x)I。f(0)f(0)二f⑴二0，證明:10?設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)可微，且11f(x)dx<—01111?設(shè)f(X)在［a,b］上連續(xù)可微，證明：對隨意的x［a,b］，有1111?設(shè)f(X)在［a,b］上連續(xù)可微，證明：對隨意的x［a,b］，有1f(x)丨jflf(x)Idx+flf(X)Idx。_a-b—oc,—oc,+X?)有If(X)+f(x)I0，證明:12?設(shè)f(x)有界，且f(x)連續(xù)，對隨意的x(■■If(x)I匚1。13.設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且maf(x)-二M，(1)求lim..2a014a(1)求lim..2a014a(2)證明：I—2a■1|a(f(t+a)_f(La))dt；-aaf(t)dt_f(x).IMm。-a14?設(shè)f(x).：：0,x三［0，1］，證明:-1f(x2)dx匕01f(_)。3-he11?『「dx；2?fl+x2dx；dx3?f3;［ex2中X41J(x—1)(3—x)4?芒dx。-h<!5?|f-dxor?dX6?'271X乂3(X1)4Jx2_2XJ1r0/?■Jix—x2I2V(四)廣義積分(五)定積分的應(yīng)用2Insinxdx。0(1)證明存在C.：(0,1)，使得在區(qū)間［0,c］上以f(c)為高的矩形面積，等于區(qū)間［c,1］上以y二f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)設(shè)(2)設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)f(x)，證明(1)中的c是獨一的。x2?求由圓x2■y2=2y與拋物線y玉2所圍成平面圖形的面積。3?求雙紐線(x2y2)2二a2(x2—y2)所圍成的面積。?求由曲線y二4-X2與X軸圍成的部分繞直線x3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積。?設(shè)f(x)知足xf(x)-2f(x)二-x，由y=f(x),x=1及x軸(x..0)所圍成的平面地區(qū)為D，若D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體體積最小，求：(1)曲線y二f(x)的方程；(2)曲線的原點處的切線與曲線及直線x1圍成的圖形面積。6?為消除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。設(shè)井深30米，都自重400牛，纜繩每米重50牛，抓斗盛污泥2000牛，提高速度為3米/秒,在提高過程中，污泥以20牛/秒的速度從抓斗中遺漏。現(xiàn)將抓斗從井底提高至井口，問戰(zhàn)勝重力做功多少？第三部分二重積分與三重積分體的體積。體的體積。體的體積。體的體積。內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)要點題型解說(一)重積分基本觀點與性質(zhì)?設(shè)fxy(X，y)連續(xù)，此中D二｛(X,y)Ia二X匕b,c￡y如｝，求fxy(x,y)d。D?設(shè)D:x2+y2<r2，求lim1|^|-ex^^2cos(xQdxdy°r->*兀rln(1乜r)D丫3?設(shè)f(x,y),g(x,y)在有界閉地區(qū)上連續(xù)，且g(x,y)二0,證明：存在(',??廠D，使得f(,)g(x,y)Jf(,)g(x,y)JoJtarHD(二)二重積分的慣例計算_i互換積分序次4_i互換積分序次4d「.0yf(x,y)dxy11Qdy2f(x,y)dx4計算禺1x2ex2dxo'0y改變積分序次并計算2xdx._sin1■-x7x5?計算ydxdyy改變積分序次并計算2xdx._sin1■-x7x5?計算ydxdyy，此中D由2y2xdy..4一2dx-sinx4圍成。二x2ydy，此中D由y=x及y=x2x圍成。D6.計算(xy)dxdy，此中D:x2-y2二2xoD(三)奇偶性計算1?計算(xy2)dxdy，此中D是由y二x2,y二4x2及y二1圍成的地區(qū)。D2?計算x2dxdy，此中D:x2-y2三4。Df(u)yx,x1,y1、設(shè)連續(xù)，地區(qū)D由3圍成，計算x[1?yf(x2■y2)]doD(四)三重積分的慣例計算1.計算I二…xy2z3dv，此中V由z二xy,y二x,z0,x二1圍成。VI='(1x4)dv,此中V由x2二y2■z2,x=1,x2。V2z求|j|'(x2一y2一z)dv，此中V是由一y2二繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面與z二4圍成的幾何]x=0V-研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳2zjr-4?求I=，(x2.y2)dxdydz2zjr-4?求I=，(x2.y2)dxdydz，此中是由y2二Qlx=0繞z軸一周所得旋轉(zhuǎn)題介于之間的幾何體。5?11‘！(x2-y2-z2)dv，此中V:1、x2■y2■z2<4,z斗J：x2-y2。V6?設(shè)f(u)可微，且f(0)二0,求lim1t4t0f(x2.y2.z2)dxdydz,此中J:x2-y2-z2t2。三重積分對稱性及奇偶性的計算1?求Mf(X+y+z)2dv，此中V:x2+y2+z2蘭1。tgV重積分等式與不等式的證明1?F1?設(shè)f(X)邁［a,b］，證明：ff(x)dxff(y)dy二_f(x)dxIo0x2—02?設(shè)f(x).［a,b］且f(x)0，證明:rbf(x)dxa:(b_a)2。(七)重積分的應(yīng)用0)上，問R為什么值二在定球面1?半徑為R的球面I中心在定球面x2?y2■z2二a2(a：二在定球面內(nèi)的面積最大?2?高度為h(t)(此中t為時間)的雪堆在消融過程中其側(cè)面知足z二h(t)2(X2-y2)，已知h(t)體積減少的速度與側(cè)面面積所成比率系數(shù)為0?9，問高度為130的雪堆所有消融需要多少時間？第四部分曲線與曲面積分內(nèi)容復(fù)習(xí)一、曲線積分(一)對弧長的曲線積分?問題的產(chǎn)生一曲線段的質(zhì)量問題設(shè)L為曲線段，其線密度為i：：(x,y),求其質(zhì)量m。任取dsL；dm二.:(x,y)ds；m二fp(x,y)ds。L?對弧長的曲線積分(第一類曲線積分)稱f(x,y)ds為函數(shù)f(x,y)在曲線段L上的對弧長的曲線積分(課本的觀點簡單認(rèn)識)L?對弧長的曲線積分的性質(zhì)卩f(x,y)茅(X,y)]ds=[f(x,y)dsg(x,y)ds；TOC\o"1-5"\h\zLLLkf(x,y)ds二kf(x,y)ds；LL|f(x,y)ds=ff(x,y)ds+ff(x,y)ds；LLiL2ds[(曲線段的常數(shù))。L?計算方法一定積分法(1)設(shè)L:y二■■(x)(a蘭x迅b)，則ds二.1?「'P(x,y)dx+Q(x,y)dy二”Pfcp(t),$(t)]P(x,y)dx+Q(x,y)dy二”Pfcp(t),$(t)]<p<t)4QHP(t冷(t)]$t)}dt。L方法二：格林公式定理設(shè)D為連通地區(qū)(單連通或多連通，單連通界限正向為逆時針方向；多連通地區(qū)界限正向是外圈為逆時針，內(nèi)圈為順時針)，其界限為L，P(x,y),Q(x,y)在地區(qū)D上一階連續(xù)可偏f(x,y)ds二bf[x,.(x)]1?…2(x)dx。TOC\o"1-5"\h\zJsWLa(2)設(shè)x二(t)』豈匸)，則ds二.■-■■2(t)--.-2(t)dt，于是y八(t廠__f(x,y)ds二Jf[「(t),)(t)]，-.2(t).2(t)dt。L-■-例題1計算X2ds，此中L:X2y2二R2。L例題2計算(x2一2xy)ds，此中L:x2.y2二2x。L(二)對坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)?問題的產(chǎn)生一功(1)理想狀態(tài)(2)一般狀態(tài)?對坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)rP(x,y)dx+Q(x,y)dy=「P(x,y)dxQ(x,y)dy，稱『P(x,y)dx為函數(shù)P(x,y)在有向TOC\o"1-5"\h\zJ?■?LLLL曲線段L上對坐標(biāo)x的曲線積分(課本定義認(rèn)識即可)。?性質(zhì)：P(x,y)dxQ(x,y)dy二_P(x,y)dxQ(x,y)dyoLL?計算方法方法一：定積分法(1)設(shè)L:y二:(x)(起點x二a，終點x二b)，貝ijIP(x,y)dx+Q(x,y)dy二f{P[x#(x)]+Q[x,cp(x)]甲<x)}dx；La(t)(2)L:(起點t二.：:，終點t二！-)，貝y八(t)研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳導(dǎo)，則有導(dǎo)，則有QP?P(X,y)dxQ(X,y)dy=士□(匚匚)dxdy，D空羽此中界限時正向是取正號，界限為負(fù)向時負(fù)號。方法三：曲線積分與路徑?jīng)]關(guān)的條件在單連通地區(qū)D上，在計算曲線積分時，有時起點和終點相同但路徑不一樣，則曲線積分的結(jié)果不相等，有時起點和終點相同，而路徑不一樣，但曲線積分的結(jié)果相同，這就是曲線積分與+路徑?jīng)]關(guān)的問題，在單連通地區(qū)D上,'P(x,y)dxQ(x,y)dy與路徑?jīng)]關(guān)的等價命題有Lq+=(1)對D中隨意的關(guān)閉曲線C，有P(x,y)dxQ(x,y)dy0；C(2)在D內(nèi)恒有?:：(柯西一黎曼條件)xy(3)存在u(x,y),使得P(x,y)dxQ(x,y)dydu(x,y)。J+若曲線積分P(x,y)dxQ(x,y)dy與路徑?jīng)]關(guān)，則LTOC\o"1-5"\h\zf+=j+=jrP(x,y)dxQ(x,y)dy(x1，yiP(x,y)dxQ(x,y)dyxiP(x，y0)dxy1Q(xx,y)dyL(xo,yo)xoyo增補(bǔ)：全微分方程及解法+=對微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0(*)卄二若J二，稱P(X,y)dxQ(x,y)dy0為全微分方程，由曲線積分與路徑?jīng)]關(guān)的條件，存xy0，于是原方程的通解為在u(x,y)，使得P(x,y)dxQ(x,y)dydu，0，于是原方程的通解為u(x,y)C，此中u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy(xd,y此中u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy(xd,y0)X0P(x,y0)dxQ(x,y)dyo方法四：兩類曲線積分之間的關(guān)系+=fa+PdxQdy(PcosQcosLL3a)ds，此中cosy0P,cos為有向曲線L切向量的方向余弦;a+(PcosQcosL余弦;a+(PcosQcosL++PdxQdyRdzL曲線L切向量的方向余弦。二、曲面積分(一)對面積的曲面積分(第一類曲面積分)卡YaP7Rcos)ds，此中cos,cos,cos為有向1?問題的產(chǎn)生一空間曲面的質(zhì)量-■設(shè)為空間的有限曲面，其面密度為(x,y,z)，求其質(zhì)量。匸S任取ds「；=rdm(x,y,?z)ds；

(3)m=rrp(x,y,z)dsoJJy?對面積的曲面積分稱f(x，y,z)ds為函數(shù)f(x,y,z)在曲面[上對面積的曲面積分(課本定義認(rèn)識即可)。y?性質(zhì)：(與定積分近似，略)?計算方法一二重積分法對f(x,y，z)ds，不如將二向xoy面投影(也可向其余平面投影，要視二重積分的計算)(1)E:z二，x,y),(x,y”Dxy；(2)ds1(立)2,)2dxdy；i+(2)ds1(立)2,)2dxdy；i+excyf(x,y,z)ds二f[xy,(x,y)]工Dxy(二)對坐標(biāo)的曲面積分(第二類曲面積分)1?問題的產(chǎn)生一流量一z(J2:Xz(J2dxdyo■y設(shè)二為有側(cè)的有限曲面，速度場為v二｛P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)｝，求單位時間內(nèi)流入指定側(cè)的流量。此中ds二｛dydz,dzdx,dxdy｝；dvdsPdydzQdzdxRdxdy(2)；?>(3)：」二PdydzQdzdxRdxdyo?對坐標(biāo)的曲面積分的定義稱PdydzP(x,y,z)匸甘為函數(shù)在有側(cè)曲面一上對坐標(biāo)y,z的曲面積分，以此類推。?性質(zhì)：PdydzQdzdxRdxdy二_PdydzQdzdx<-Rdxdy4?計算方法方法一：二重積分法(以Rdxdy為例)(i)T:z二(-x,y),(x,y)Dxy；(2(2)jjRdxdy二土fJR[x,y,°(x,y)]dxdyDxy時取負(fù)號)(同理可研究其余兩種狀況)(當(dāng)曲面的側(cè)為上側(cè)時去正號，當(dāng)曲面的側(cè)取下側(cè)方法二：高斯公式定理設(shè)P定理設(shè)P為有側(cè)曲面，門為其圍成的幾何體，且P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則有研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳橢圓且方向為逆時針，則有橢圓且方向為逆時針，則有PRq.[PdydzQdzdx+Rdxdy豐屮(+&Q+點)dv。t:、、x:y:.z(此中曲面取外側(cè)時取正號，曲面取內(nèi)側(cè)時取負(fù)號)方法三：兩類曲面積分之間的關(guān)系rIPdydzQdzdxRdxdy二rr(Pcosa+Qcos$+Rcos)ds，此中cos,cos具,cos了為曲■■tatry龍面三上一點的法向量的方向余弦。三、斯托克斯公式定理設(shè)「為空間有側(cè)曲面，其界限曲線為：，「的方向與的側(cè)按右手準(zhǔn)則確立，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)；PdxQdyRdzrdydzdzdxdxdyP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)；PdxQdyRdzrdydzdzdxdxdycosacospcos/errcodL?\l、?H衛(wèi)昂gy浮yCx&ydzPQRPQRdso在包括二的地區(qū)內(nèi)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則有四、幾個觀點u:uu,?uf乂x,y,z)，則gradu{,,}；xyz、rvc要點題型解說GGC要點題型解說■?iT?■j-k2?旋度：設(shè)A二｛P,Q,R｝，則rotA二8込科器PQR3?散度：設(shè)A二{P,Q,R}，則divA(一)曲線積分部分1?(3x4y)ds,此中L:x2+(yf)2=1。L2?(x2.y2)dxxdy此中為ya2_?—丁2從點A(_a,0)經(jīng)B(0,a)到C(a,0)的弧段。3I(xe2y)dy(xe)dxL是過點O(0，0)，A(O，1)，B(1,2)■?=L廠十十，y此中的圓周從點O到點B的一段。ydx_xdy22J+2，此中L為+二1從經(jīng)B(0,1)到4求x2xlx24yyA(1,0)C(1,0)的曲線段°二—y—xccQ二P=x2"4y24y,Q+，由于dg+解答：Px2'4y2X24y2xy(x4y2)2，且p,Q在除原點的地區(qū)上連續(xù)可偏導(dǎo)，因此在除原點的單連通地區(qū)上曲線積分與路徑?jīng)]關(guān)，取L1:X24y21的上半

LL1而ydx一xdyydx-xdy0，即+二LL1而ydx一xdyydx-xdy0，即+二x24y2ydx-xdyydx-xdy,+*-+Lx24y2x24y2ydx_xdy二_2dxdy二_丄，因此■■ydx_xdy「?！?+x24y2L1L1D5?此中L是從點A(3,2)到B(1,2)的直線段。3解答：j72f(xy),丄[2(JPyQy2yfxyjQ，由于—Lx2+4y2f(xy)xyf(xy)y2x[(f(2))(一一f(2)x[(f(2))(一一f(2)2xx3f)]dx_4o21y2f(xydx±[y2f(xy)_1]dy=y26-［當(dāng)三」此中A為常數(shù)―(1iL是繞原點O(0,0)一周的隨意正向閉曲線'k7?位于(0,1)的質(zhì)點A對證點M的引力大小為—(k-0,rJAMI)，質(zhì)點M沿y二二2x)2r從點B(2,0)運(yùn)動到(0,0),求質(zhì)點A對證點M所作的功。解答：在弧BO上任取一點M(x,y),則r二x2.(y_1)2，質(zhì)點A對證點M的引力為vFkr2{_x,iy,、嚴(yán)(y-1)2_xdx一(1_y)dyFkr2{_x,iy,、嚴(yán)(y-1)2_xdx一(1_y)dy，令P一i_yL3L[x2(y1)2卩3，Q[x2-(y-1)2]23[x2(y—1)2]2亠刃由于-二Gx進(jìn)而Wk：P3x(y-1)-，因此曲線積分與路徑?jīng)]關(guān),25-)。>[x2-(y-1)2]x3dxk(10二2-(x2-1)28?在力F二｛yz,zx,xy｝作用下，質(zhì)點從原點沿直線運(yùn)動到橢球y2z21上第一卦限ab2c22x2的點M(,,)，問當(dāng)；,為什么值時，力F所作的功W最大？并求最大值W。解答：L:x二t,y二t,z二t(0&t1)解答：L:x二t,y二t,z二OMFFx二：-2—二0FFx二：-2—二0('2■-A—--a222I4b2-_1),c2由.J3則Wmax二Fz二abc(二)曲面積分部分1計算以下曲面積分:a22—=b22-C22-2-2-+—+2_b2c22([([)4y(1)I二._(2X——z)dS,S此中是平面Syz1在第一卦限的部分；2340■,2介于及1之間的部分。.x2y2zz二)収,此中是椎面dSS為fff(x,y,z)dS，此中x2hr■yI二x2+y2+JdSS2?F(t)二y2?z2二t2(t：,0),f(xf(x，y,z)二x2：；：?y，z_,X2-y20,zv二x2y2解答：把二分為1:x2則y2z2二t2(z：Ux2-y2),匕2:x2?y2■■z2二t2(z「X2?y2),.f(x,y,z)dS二0,y-21(x,y,z)dS二y(x2+y)dS二仃x2dS=丄”(x2+y2)dS,yyT'T1在xoy平面上的投影地區(qū)三為Dxy:x2?y2逐口,由二1:z二2yf(x,y,z)dS二"TdS二tdxdy,F(t)=「j(x2十y2)dS二「j(x2+y2)t.dxdyt2一x2_y2「…223?設(shè)S為x2Dxyt2-x2-y21y2z2=4(z0)的外側(cè),求.yzdzdx2dxdy。S4.設(shè)f(x,y,z)為連續(xù)函為數(shù)，丄x一y-z=1在第四卦限的上側(cè),計算rr十++++[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdyoHxdydz+z2dxdy5?計算2x「"一,此中為由+-rx2y2z2亍2^2—2—二一>xyR及zR,zR(R0)所圍成的曲面的外側(cè)。x2x2z1x2x2z1研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)講[/義?廠鳳的平面方程。的平面方程。6.求xdydzydzdxzdxdy，此中二為z二x2-y2(0■-z孟4)的上側(cè)。yaxdydz一(z一a)2dxdy_2y(z.a)dzdx.2227?求IJ1222?，此中［為z二［a-x-y的上側(cè)工Jx2+y2+z2(a丹0)。曲線與曲面積分部分、X，從y軸正向看是逆時8.求*ydx+zdy+xdz，此中「為］2+y2*z2二a2針?！付xyz二0解答：<.：_ydxzdy；；?xdz二jj<.：_ydxzdy；；?xdz二jjcosa

cycosc汙zcos——dS=_(cos,十cos1cos)dS,卩Vx■由于cos二二cos［^cos原式9.求%j2dx+z2dy+x2dz，此中「為x2+y2+z2二1與x2+y2二x(zA0)的交線，從x軸正向看］是逆時針。解答：設(shè)上半球z二■1_x2-y2被柱面x2-y2二x所截曲面為二則為的界限，由Stokes公式得匚卜y2dxz2dy十x2dz=(zcosa+xco審+ycos)dS，由于cos二二.x_.，cosF■二y，cos二z，Jx2+y2+z2^,x2+y2十z2Jx2+y2+z2因此原式=2”怠*x%yz_dS2_小xz+xy+yz)dS，x2-y2-z2匚s

d

yXyzdS0，s

d

yXyzdS0，［fXzdSx1x2_y2dxdyX21_x2—y2空間分析幾何空間分析幾何且與平面3:2xyN二0垂直.cos:■二COS沁二r2dr，因此原式二-一。20842第四講內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）要點題型解說1求經(jīng)過平面-1:xy-1二0與2:X2y2z0的交線,

2求過直匸3和x1y'1二的平面方程。1一-1一2-1一21x23求經(jīng)過點P1（5,_4,3）和P2（2丄8）及直線L二.匚1二與平面-：X_y?z'0交點1-1-3的平面方程。XZ4?設(shè)空間點A（_1,0,4），平面-:3x_4yz10二°，—^3—**'**-1_1_2點A與二平行且與L訂交的直線方程。?求直線y__繞z軸—周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并求其介于z_0與z_5之間的幾0—1—1--TOC\o"1-5"\h\z何體的體積。2?求兩異面直線x9-二y2二離。-31-292第五講級數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)一、常數(shù)項級數(shù)（一）基本觀點與性質(zhì)1?定義CC（1）級數(shù)一設(shè)｛an｝為一個數(shù)列，稱'an為常數(shù)項級數(shù)（即所有項之和或所有和）n1（2）收斂一稱為級數(shù)-：：..Sn=a1+a2+…+anEan的部分和，所limSn極限存在，稱級數(shù)￡an二嚴(yán)二收斂，設(shè)limSn，即Jan二S。n廠n12?性質(zhì)ononocOO(1)設(shè)un二A'Vn二B，則(Un-Vn）二AB，s(un-Vn)-AB。nFn寸F1n1DOat?°CoC(2)設(shè)'Un=S，則*kun二kS，特別地,若k=0，則'kun與'un斂散性相同。nFn1n干n才（3）增添、減少、改變級數(shù)的前有限項，不改變級數(shù)的斂散性（若級數(shù)收斂，則級數(shù)的和可能產(chǎn)生改變）。（4）若級數(shù)收斂，則隨意增添括號后的級數(shù)收斂，且收斂于相同的和，反之不對。O0（5）（級數(shù)收斂的必需條件）若級數(shù)yUn收斂，則limUn二（5）（級數(shù)收斂的必需條件）若級數(shù)_n->^n11□o、-1n發(fā)散，而li□o、-1n當(dāng)當(dāng)r.!：1時級數(shù)收斂；當(dāng):?J時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)二1時級數(shù)的斂散性不確立。當(dāng)當(dāng)r.!：1時級數(shù)收斂；當(dāng):?J時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)二1時級數(shù)的斂散性不確立。nn1n11annn1n11annn1nUn例2判斷級數(shù)(n)2n的斂散性。_n+1n1?兩個特別的常數(shù)項級數(shù)(1)P級數(shù)ZnZnpn11收斂，p1發(fā)散,Pl1幾何級數(shù)發(fā)散，IqI幾何級數(shù)發(fā)散，IqI：_aq,1q山I1-q正項級數(shù)斂散性判斷OO1?定義一對'Un，若全部的Un_°,n—1OC稱一Un為正項級數(shù)。n=4特色：｛Sn特色：｛Sn｝單一增添，若存在M.0,使Sn^M，則limSn存在，進(jìn)而'Un收斂，于是有n#以下的正項級數(shù)收斂鑒別法:?鑒別法以下的正項級數(shù)收斂鑒別法:?鑒別法(1)方法一：比較審斂法定理1(基本形式)設(shè)'un與vn皆為正項級數(shù),cc1)若un乞Vn且7Vn收斂,cc1)若un乞Vn且7Vn收斂,OOUn收斂;n12)若*_Vn且OCyv■.一nn1=發(fā)散，則VUn發(fā)散。n1□o例子：判斷'.5T

sinn2的斂散性。定理1(極限形式)設(shè)、Un與、Vn皆為正項級數(shù)，若ulimn=i(0gnvn□C叮二)，貝I」un與87Vn斂散性相同。87Vn斂散性相同。n1例子81判斷r的斂散性。1-：1_nn1n方法二：比值審斂法定理2設(shè)定理2設(shè)口僉為正項級數(shù),ulim上上二I，，則82nn!例子判斷的斂散性。Jnnn匸（3）方法三：根值審斂法n，則定理3設(shè)V'Un為正項級數(shù)，limn’n，則nF當(dāng)匸:：當(dāng)匸:：1時級數(shù)收斂；當(dāng)1時級數(shù)發(fā)散；當(dāng):?二1時級數(shù)的斂散性不確立。例子判斷J（n）n的斂散性?！?n+1nT（三）交織級數(shù)及審斂法OOOO1?交織級數(shù)的定義一、G1）n4Un或、（1）nUn（Un二0,n二廠）稱為交織級數(shù)。壬1n匸2?鑒別法定理對交織級數(shù)、（-1）戸Un（u『.0,n二12…），若知足n—1□0(1){Un}n1單一減少；(2)limUn二0，則級數(shù)'(_1)n4%收斂。=—jpcnn—1:sin_，判斷、（_1）IUn的斂散性。n1:sin_，判斷、（_1）IUn的斂散性。n例1（；—1）n」Un中，取Un二丄?（」）n」n［解答］由于當(dāng)x0時，［解答］由于當(dāng)x0時，sinxx，級數(shù)，又limUn二0，但「（J）nLUn

嚴(yán)-1:::sm_—：1，進(jìn)而Un0，即、(-1)nnn1DOr一oq因此01Un為交織「'a^j-sin-］，由于「CUM!收斂,nnnn1n11而Isin-nn1oO發(fā)散，因此'（-1）n1Un發(fā)散，根來源因在于｛U1｝二1沒有單一性?！魿oO能否收斂?設(shè)7an收斂，問'an2能否收斂?n1n于若、a若、an為正項收斂級數(shù),n1問xan2能否收斂?n于LL）n的斂設(shè)r｛an1單一減少且am0，若交織級數(shù)（、_1）Ian發(fā)散，判斷級數(shù)n1n1n1n1散性。cC1?定義一若'cC1?定義一若'Un收斂，而n1、IUndnI發(fā)散，稱y%條件收斂；若、嘰I收斂，稱'%絕對n1收斂。2?絕對收斂與條件收斂的關(guān)系CC定理若'UCC定理若'Un絕對收斂，則n匕二、幕級數(shù)（一）基本觀點XUn必定收斂。n±1?幕級數(shù)一Janxnn0或〕an（1?幕級數(shù)一Janxnn0或〕an（X_x°）n稱為幕級數(shù)。n02?收斂半徑一對幕級數(shù)飛anxn，若存在R_0，當(dāng)IxL.R時，、二n0DCanxn絕對收斂；當(dāng)Ix』Rn出OC時，級數(shù)發(fā)散，稱R為級數(shù)〉anxn的收斂半徑。n0（二）收斂半徑的求法及收斂域1?收斂半徑的求法方法一：對'anxna，設(shè)limI』」二］，則RnYa1n（注意［=0時R二?二；［二；時方法二：對、anxnn0.1設(shè)limn1an1二：-，則R二—*p（講解同上）xn（2）求的收斂域。nFn（n1）■■1。相同，若幕級數(shù)相鄰兩項次數(shù)跨TOC\o"1-5"\h\z曲a■■1。相同，若幕級數(shù)相鄰兩項次數(shù)跨［講解］（1）對「anx?求收斂域的例子（1）求Jxn的收斂域。nn1n■?求收斂域的例子（1）求Jxn的收斂域。nn1=嚴(yán)aVPn1n度為3，則取倒數(shù)的同時要開3次方。oO（2）若'anxn在xxo處條件收斂，則R」xo丨。n0（三）函數(shù)睜開成幕級數(shù)1?方法一：公式法（直接法）

密f(x)(f(x)八f(n)(x)f(x)八f(n)(x))(x_x0)n

n!n!xo二二f(n)(0)Xn0時，f(x)八.n!n0稱為函數(shù)f(x)的馬克勞林級數(shù)。記著:ex_.：：xxo二二f(n)(0)Xn0時，f(x)八.n!n0稱為函數(shù)f(x)的馬克勞林級數(shù)。記著:ex_.：：xn(-n!sinxxn0x2n1(x1-oC<A<(2n1)!sXcosx江”X,.*)；ng!丄二廠xn(丄宀】)；1-x二￡(J)nxn(J<xn0(6)ln(1x)二_X_X2_x3-23二￡L1)nxn(Jx4)ln(1x)x.x2x3_2匸Xn(1x1)3nn廠2?方法二：間接法occooa定理1設(shè)Vanxn的收斂半徑為R，則當(dāng)X：(-R,R)時，('anxn)八(anxnn-0nK滬.0□a八nanxn^，且兩個級數(shù)的收斂半徑相同。nFoC定理2設(shè)瓦anxn的收斂半徑為R，則當(dāng)x電(R,R)時，|「(近anxn)dx二送」^xn出下n*1n0n0收斂半徑相同。(四)幕級數(shù)的和函數(shù)及特別常數(shù)項級數(shù)的乞降■30x‘,一an0二n0要點題型解說(一)常數(shù)項級數(shù)問題1?鑒別以下級數(shù)的斂散性:1::(1)Xarctan；(2))(nQ2-n二nn1二xxnxxn解答：（1）由arctann2n1解答：（1）由arctann2n1arctan1尸n_arctan(n1)arctann，得nSn二、［arctan(kk—1由于limSnn71?1)_arctank］二arctan(n1)nSn二、［arctan(kk—1由于limSnn71?1)_arctank］二arctan(n1)_一，4因此原級數(shù)收斂。(2)Sn八(-k-22kk二11,k)=(n2-/n~1)(-2-,由于limSn二1_「2，因此原級數(shù)收斂。n匸2?鑒別以下級數(shù)的斂散性：(2)2nn2OOSj'n3n1n廠、(3)sinna;n12n(4)OOzn1二vn41X4dX03?判斷級數(shù)CO'(n-'n"n1'解答：設(shè)U一1）sinx■'dx，當(dāng)n為偶數(shù)時,U3?判斷級數(shù)CO'(n-'n"n1'解答：設(shè)U一1）sinx■'dx，當(dāng)n為偶數(shù)時,Un0；當(dāng)n為奇數(shù)時，Un吐0，進(jìn)而級數(shù)二(n1)-SinXn匕ndx為交織級數(shù),X(n

ndxD?——=2(、(nR?！狫nk)4(n^X又IUnI=.-IsinxI1^dx(n.1)-IsinxIdx'x■IsintI血切_■+r_/(n1)立dt+JT因此收斂。?鑒別以下級數(shù)是絕對收斂仍是條件收斂?::1v(1)n(nn-1)n18昭解答：|un|(nm1由于lim(nnn匸1】)/—-lim(x—nx1因此*(nn—1)osinx1八一.一dx的斂散性。X令f（X）XX-1，由于4444研研學(xué)▼/亠I—7等學(xué)少[/義?廠鳳22n1'(」A(nn_1)條件收斂。n15.設(shè)0上an:::—,在頁an宀C1)n01Aa1'(」A(nn_1)條件收斂。n15.設(shè)0上an:::—,在頁an宀C1)n01Aan八(」)2nan中哪個一個收斂?nn1n〒n〒n訐oCoC6?設(shè)；ancn都收斂，且有anbn二cn，證明：zb」n收斂。n1n手n—117?設(shè)偶函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f“(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)二1,f(0)2,證明:::1\[f()_1]絕對收斂。nrna8?設(shè)二n二1,2廠，an_0，bn；：、0)，證明:anbn86(1)若'bn收斂，則'ann匸n匸收斂;(2)若'an發(fā)散，則*bn發(fā)散。n匸n#(二)幕級數(shù)問題1?求以下幕級數(shù)的收斂區(qū)間:廠(_1)n1xn—nn~12?求幕級數(shù)a13-(1)n]nxn的收斂區(qū)間。解答：J：[3?r1)n]nx土n：：(22n1x4x2n)2一X「：2刁12nx丿2n12n_1-：；-；；2n12n2n1n1n—化X2n,2nn1C11對qTx22,收斂區(qū)間為(—,);-2n-122n1111)，故原級數(shù)的收斂區(qū)間為)。4丫外1對J42nx2n，收斂區(qū)間為(__,2n44n1求以下幕級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)：1oO+丄oC1八—xn；(2)'-n0n!nTn(nF)求以下幕級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)：十Xn1，并求n--1n)21亠-一-(nl)2xnon1:n211八xn；2nn!n0(4八n(X—(4八n(X—1)n。(2)、-?(2n1)xn，并求'2n1n0n0

將f(x)arctan?X2睜開成x的幕級數(shù)。4一x2將以下函數(shù)睜開成x1-的幕級數(shù):1)f(x)二丄；x2(2)f(x)_x'(1)將f(x)arctan?X2睜開成x的幕級數(shù)。4一x2將以下函數(shù)睜開成x1-的幕級數(shù):1)f(x)二丄；x2(2)f(x)_x'(1)nx2n1x2—5x642n(2n-1)!設(shè)a1=a2二1，且知足an1=an'an_1an?n二2,3,…)，證明：當(dāng)IxIL-時級數(shù)fanxn-1收斂2并求其和函數(shù)。解答：由于a1=a2二1，an.1=an-an1(n=2,3；)，因此an冷'°，an.1—an(n=X2，),ax