齒輪有限元簡介

有限元法簡介有限元與MARC實現(xiàn)pl有限元法是工程領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的一種計算方法，它不但可以解決工程中的結(jié)構(gòu)分析問題，而且已成功地解決了熱力學、流體力學、電磁學和聲學等領(lǐng)域的問題。經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，有限元方法的理論已相當完善。將有限元理論、計算機圖形學以及優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合而開發(fā)的各類專用有限元軟件。能高速高效地解決各類有限元問題。有限元法的基本思想有限元法是在連續(xù)體上直接進行近似計算的一種數(shù)值方法。該方法首先是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個單元（Element）的組合體，而且認為單元之間只通過有限個節(jié)點（Node）連接起來。有限元法利用在每一個單元內(nèi)假定的近似函數(shù)來分片地表示整個求解域上待求的未知場函數(shù)（如位移場、應(yīng)力場）。單元內(nèi)的近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)（有時包括其導數(shù)）在單元內(nèi)各個節(jié)點的數(shù)值通過函數(shù)插值來表示。這樣，未知場函數(shù)（有時包括其導數(shù)）在單元內(nèi)各個節(jié)點的數(shù)值就成為新的未知量（即自由度），從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。一旦求解出這些未知量，就可以通過函數(shù)插值計算出各個單元內(nèi)場函數(shù)的近似值，從而求解出整個求解域上場函數(shù)的近似值。顯然，隨著單元數(shù)量的增加，也就是單元尺寸的減少，解的近似程度將不斷得到改進。那么，單元越多，網(wǎng)格越密，解答就越接近于精確解嗎？不一定，對假定的未知場函數(shù)進行收斂性分析，使有限元必須研究的一個問題。由于單元可以有不同的形狀，所以對幾何形狀復雜的問題也可以方便的離散化，因此，有限元法可以處理各種復雜因素，如復雜的幾何形狀、任意的邊界條件、不均勻的材料特性，結(jié)構(gòu)中包含不同的幾何構(gòu)件等等，它們都能用有限元法靈活的求解。有限元法在工程中得到了廣泛的應(yīng)用。我們知道，從物理意義上來說，物體是由分子構(gòu)成。對于常見的金屬體，則是由單原子分子構(gòu)成，因此，從這個意義上來說，有限元法單元劃分的極限便是分子，但是，由于經(jīng)典力學不適用于微觀粒子，因而，在此極限情況下，傳統(tǒng)的有限元分析不一定適用。此方法有待于分子力學的進一步發(fā)展。有限元法的分類有限元法可分為兩大類，即線彈性有限元法和非線性有限元法。其中線彈性有限元法是非線性有限元法的基礎(chǔ)，二者不但在分析方法和研究步驟上有類似之處，而且后者要常常引用前者的某些結(jié)果。線彈性有限元法以理想的彈性體為研究對象，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)基礎(chǔ)之上。在這類問題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，滿足廣義虎克定律；應(yīng)變與位移也是線性關(guān)系。線彈性有限元問題可歸結(jié)為求解相信方程組的問題，花費時間較少，效率較高。并且，如果采用高效的代數(shù)方程組求解，這將有助于降低有限元分析的時間。線彈性有限元法一般包括線彈性靜力分析和線彈性動力分析兩個主要內(nèi)容。學習這些內(nèi)容需要具備材料力學、彈性力學、結(jié)構(gòu)力學、數(shù)值方法、矩陣代數(shù)、算法語言、振動力學、彈性動力學等方面的指示。非線性有限元問題與線彈性有限元問題有很大不同，主要表現(xiàn)在如下三個方面：1、 非線性問題的方程是非線性的，因此一般需要迭代求解；2、 非線性問題不能采用疊加原理；3、非線性問題不總有一致解，有時甚至沒有解。以上三方面的因素使非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復雜，時間更長，費用更高且更具有不可預知性。有限元所解的非線性問題可以分為以下三類。1、 材料的非線性問題材料的應(yīng)力與應(yīng)變是非線性關(guān)系，但應(yīng)變與位移卻很微小，此時應(yīng)變與位移成線性關(guān)系，這類問題屬于非線性問題。由于從理論上還不能提供普遍接受的本構(gòu)關(guān)系，所以，一般來說，材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗數(shù)據(jù)，有時非線性材料特性可用數(shù)學模型進行模擬，盡管這些模型中有它們的局限性。在工程實踐中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、粘塑性以及蠕變等。2、 幾何非線性問題幾何非線性是由于位移之間存在非線性關(guān)系引起的。當物體的位移較大時，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系，這意味著結(jié)構(gòu)本身會產(chǎn)生大位移或大轉(zhuǎn)動，而單元的應(yīng)變卻可大可小。。研究這類問題時一般都假定材料的應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。這類問題包括大位移大應(yīng)變問題及大位移小應(yīng)變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈伸問題屬于大位移小應(yīng)變問題，橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題。3、 非線性邊界（接觸問題）在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時遇到一些接觸問題，如齒輪傳動、沖壓成型、扎制成型、橡膠減振器、緊配合邊界等，當一個結(jié)構(gòu)與另一個結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。實際的非線性問題可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。有限元法分析過程有限元法分析過程大體分為前處理、分析、后處理上大步驟。對實際的連續(xù)體經(jīng)過離散化后就建立了有限元模型，這一過程就是有限元前處理的過程。在這一階段，要構(gòu)造計算機對象的幾何模型，要劃分有限元網(wǎng)格，要生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)。這一步驟是有限元分析的關(guān)鍵。有限元分析過程主要包括：單元分析、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過程。這一過程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過程中。有限元法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，選節(jié)點位移作為基本未知量；在有限元力法中，選節(jié)點力作為基本未知量；在有限元混合法中，選一部分基本未知量為節(jié)點位移，另一部分基本未知量為節(jié)點力。有限元位移法計算過程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強，特別適應(yīng)于編程求解。一般除了板殼問題的有限元法應(yīng)用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。在一般的書籍中，有限元法是指有限元位移法。有限元分析的后處理主要包括對計算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示三個方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計人員直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀況、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計人員迅速評價和校核設(shè)計方案。選擇位移函數(shù)的一般原則有限元法的分析過程都依賴于假定的單元位移函數(shù)或位移模式。因此，為了得到滿意的解答，必須使假定的位移場盡可能逼近彈性體的真實位移形態(tài)，如果假定的單元位移場與真實的位移場完全一致，有限元解便是精確解。如桁架和剛架的單元位移場與彈性桿件的變形是一樣的，因而，桁架和剛架的有限元解答是精確的。在連續(xù)彈性力學有限元法中，一般找不到真實位移場，所以只能得到近似解答。單元的位移函數(shù)一般采用以包含若干待定參數(shù)的多項式作為近似函數(shù)，稱為位移多項式。選取有限項多項式時應(yīng)考慮以下幾點：待定參數(shù)是由節(jié)點場變量確定的，因此待定參數(shù)的個數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相等。對于應(yīng)變由位移的一階導數(shù)確定的場問題，選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備。位移函數(shù)中常數(shù)項和坐標的一次項分別反映了單元剛體位移和常應(yīng)變的特性，當劃分的單元數(shù)趨于無窮時，單元趨于無窮小，此時單元趨于常應(yīng)變。而當節(jié)點位移是由某個剛體引起的時，彈性體內(nèi)不應(yīng)該有應(yīng)變，這些特性必須在選擇的位移多項式中予以體現(xiàn)。同理，對于應(yīng)變由位移的二階導數(shù)定義的場問題，常數(shù)項、一次項和二次項必須完備。多項式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完整性階數(shù)高的多項式以提高單元精度（稱為單元的完備性）。若由于項數(shù)限制不能選取完整多項式，選取的應(yīng)盡可能具有坐標對稱性（稱為幾何不變性）。不同節(jié)點、不同形狀的單元，其位移函數(shù)的表達式不同。收斂性分析有限元法是一種數(shù)值方法，因此應(yīng)考慮該方法的收斂性問題。有限元方法的收斂性是指：當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者，當單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就趨于精確解。有限元法的收斂條件包括如下四個方面：單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性要能得到保證。在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項。每個單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點位置的常應(yīng)變和各點位置解決定的變量應(yīng)變。當單元尺寸足夠小時，單元中各點的應(yīng)變趨于相等，單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項。在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項。一般情況下，單元內(nèi)任一點的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體的形狀及體積的改變相聯(lián)系，剛體位移之改變物體位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移?？臻g一個物體包括三個平動位移和三個轉(zhuǎn)動位移，共有六個剛體位移向量。又由于一個單元牽連在另一個單元上，其它單元發(fā)生變形時必將帶動該單元作剛體位移。例如懸臂梁，自由端單元跟隨相鄰單元作剛體位移。由此可見，為模擬一個單元的真實位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項。位移函數(shù)在單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點處有相同的位移，而且沿單元邊界也有相同的位移，也就是說，要保證不發(fā)生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊。要做到這一點，就要求位移函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點的函數(shù)值唯一確定。對于一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。此外，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導數(shù)連續(xù)，只有這樣才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為有界量?？偟膩碚f，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。前三條稱為完備性條件，滿足完備性條件的單元叫做完備性單元；第四條稱為協(xié)調(diào)性條件，滿足協(xié)調(diào)性條件的單元叫做協(xié)調(diào)單元。完備性是收斂的必要條件，完備性和協(xié)調(diào)性都滿足，就構(gòu)成了收斂的充分必要條件。在實際應(yīng)用中，要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求是比較困難的，在某些情況下可以放松對協(xié)調(diào)性的要求。需要指出的是：有時非協(xié)調(diào)單元比與它對應(yīng)的協(xié)調(diào)單元還要好，其原因在于近似解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加的約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實結(jié)構(gòu)更剛一些。但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，或者形成了鉸（例如板單元在單元之間的撓度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不來連續(xù)時，剛節(jié)點變?yōu)殂q節(jié)點）。對于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相互抵消的可能，所以有時利用非協(xié)調(diào)單元也會取得很好的結(jié)果。在工程實踐中，非協(xié)調(diào)單元必須通過“小片試驗”后才可使用。有限元位移解的下限性質(zhì)在用有限元位移法求解彈性力學問題時，要應(yīng)用最小勢能原理。根據(jù)最小勢能原理求得的位移近似解，其值將小于精確解。這種位移近似解成為下限解。位移解的下限性質(zhì)可以解釋如下：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以節(jié)點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的變形進行了約束的限制，使單元的剛度較實際連續(xù)體加大了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的整體剛度比實際剛度大，求得的位移近似解在總體上（而不是每一點）將小于精確解。有限元網(wǎng)格劃分的基本原則有限元法和其它任何近似數(shù)值方法一樣，都存在算法的可靠性和有效性問題。有限元分析結(jié)果的誤差可能來自分析過程的各環(huán)節(jié)。其中一個主要的誤差來源是模型的離散化。它要求考慮的問題較多，需要的工作量較大，有限元網(wǎng)格劃分的質(zhì)量對分析結(jié)果的精度有著決定性的影響。1單元的選取在有限元結(jié)構(gòu)分析中，有幾百種單元可供選用，在許多情況下，對一個特定問題，最好的單元不是顯而易見的。單元的種類，取決于對模型效果的評價，取決于計算費用和精度。許多單元都具有線性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的單元稱為高階單元。當分析的結(jié)構(gòu)形狀不規(guī)劃，應(yīng)力分布或變形復雜時，可選用高階單元.因為高階單元的曲線或曲面邊界能更好的逼近結(jié)構(gòu)的曲線和典面邊界，且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復雜場函數(shù)。但高階單元的節(jié)點數(shù)較多，在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下，由高階單元組成的模型規(guī)模要大得多，在不影響計算精度的前提下，盡可能采用簡單的分析模型，以低階單元代高階單元。盡量做到能選擇點而不選擇線，能選擇線而不選擇平面，能選擇平面而不選擇殼，能選擇殼而不選擇三維實體。有限元分析的單元形式非常多，有按模型兒何空間分類，有按單元形式分類。而每種單元類型又依據(jù)其節(jié)點數(shù)，邊界描述特性等分作若干種。單元形式的選擇主要依賴力學模型、求解精度、軟件系統(tǒng)能力及計算機硬件配置等。2單元數(shù)量網(wǎng)格密度單元的數(shù)量、網(wǎng)格的疏密將影響計算結(jié)果的粘度和計算規(guī)模的大小，一般來講，單元數(shù)量的增加，計算精度會有所提高，但計算規(guī)模也會增加，所以在確定單元數(shù)量時，應(yīng)權(quán)衡這兩個因數(shù)綜合考慮。單兒數(shù)較少時，增加其數(shù)量可以使精度明顯提高，而計算時間增加不多，當單元數(shù)量增加到一定程度后，再繼續(xù)增加時，精度提高不大，而計算時間卻大幅度增加。在實際應(yīng)用時，采用試算的方法，比較兩種網(wǎng)格劃分的計算結(jié)果，如果兩次計算結(jié)果相差較大，可以繼續(xù)增加網(wǎng)格，相反則停止計算。當應(yīng)力或應(yīng)變、變形等計算結(jié)果隨網(wǎng)格的細化而趨于收斂時，才確認其計算結(jié)果。網(wǎng)格劃分應(yīng)該正確反映結(jié)構(gòu)的受力和變形情況，網(wǎng)格的細劃可以提高計算精度，但不能盲目追求網(wǎng)格的細密，關(guān)鍵在于抓住主要區(qū)域進行模擬，要粗劃和細劃適宜。因此，在保證計算目的和精度的條件下，控制網(wǎng)點規(guī)模，在不同階段選擇不同的簡化程度，如將軸承孔局部的網(wǎng)格加密，以減少對局部區(qū)域應(yīng)力集中的影響。對結(jié)構(gòu)進行靜力分析時，僅計算結(jié)構(gòu)的變形，單元數(shù)量可以少一些，若計算應(yīng)力，則在精度要求相同的情況下，應(yīng)取相對較多的單元。在計算結(jié)構(gòu)固有動力特性時，若僅僅是計算低階模態(tài)，則可用較少的單元。如計算的模態(tài)階次高，則應(yīng)用較多的單元。在進行結(jié)構(gòu)分析時，應(yīng)明確結(jié)構(gòu)的分析目的，可為網(wǎng)格細化提供依據(jù)。在分析時，按照實際情況確定哪些位置具有較高的應(yīng)力水平或應(yīng)力梯度、哪些位置對構(gòu)件安全使用可能有威脅，考察這些位置需要較高的計算精度，也就是較細的網(wǎng)格劃分。對于應(yīng)力較低或不需要考察的位置可以使用較粗大的網(wǎng)格以降低工作量和不必'要的浪費。.5齒輪箱體的有限元模型現(xiàn)代工業(yè)的進步，使旋轉(zhuǎn)機械向著高轉(zhuǎn)速、大功率的方向發(fā)展。有齒輪傳動的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)獲得了廣泛的應(yīng)用并己成為轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)中重要的一類傳動，其中多平行軸齒輪一軸承一轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中較為復雜的一類。由于齒輪副的存在，系統(tǒng)中各轉(zhuǎn)子之間的運動相互耦合、相互作用，因而這類軸系的設(shè)計和分析不能僅從單軸轉(zhuǎn)子一軸承系統(tǒng)來考慮，而必須從系統(tǒng)的觀點出發(fā)，以整個齒輪耦合多平行軸轉(zhuǎn)子一軸承系統(tǒng)為對象進行分析和研究。如何更好地利用快速發(fā)展的計算機技術(shù)，改進和發(fā)展對齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究更成為大家關(guān)注的焦點。齒輪系統(tǒng)的動力學行為包括輪齒動態(tài)嚙合力和動載系數(shù)，以及齒輪系統(tǒng)的振動和噪聲特性等。在分析理論方面，齒輪系統(tǒng)動力學起初是以沖擊理論為基礎(chǔ)，到50年代以后，人們將齒輪系統(tǒng)作為彈性的機械振動系統(tǒng)，以振動理論為基礎(chǔ)，分析嚙合剛度、傳遞誤差和嚙合沖擊作用下系統(tǒng)的動力學行為。在齒輪動力學中，考慮軸的扭轉(zhuǎn)變形、軸承的柔度及軸的彎曲變形，這些變形只有在軸和軸承的剛度與有效嚙合剛度相比非常高或低的情況下才可以忽略.另外齒輪系統(tǒng)中有旋轉(zhuǎn)部件及轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子連同其他部件統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。該系統(tǒng)的振動是多樣的，它包括轉(zhuǎn)軸的扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動，圓盤的振動或盤上葉片的振動等等，其中轉(zhuǎn)軸的彎曲振動較為復雜，涉及因素也較多。本文研究側(cè)重于多平行齒輪一軸承一轉(zhuǎn)子系中耦合的振動分析。隨著轉(zhuǎn)子動力學和齒輪動力學的進一步發(fā)展，近年來對齒輪轉(zhuǎn)子動力學的研究越來越多。齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學行為通常表現(xiàn)為扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動的耦合，長期以來，齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的振動和噪聲一直是工程界所關(guān)注的焦點。現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展使齒輪傳動的旋轉(zhuǎn)機械向著高速、大功率的方向發(fā)展，同時也使轉(zhuǎn)子自身的結(jié)構(gòu)越來越復雜，如多根平行軸齒輪一軸承一轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。因此，對齒輪一軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動的研究變得十分迫切，并具有明顯的實際應(yīng)用價值。關(guān)于齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合振動的研究開始于70年代末。Mitchell和Mellen(1975)E'］通過研究彎曲振動與扭轉(zhuǎn)振動的耦合，發(fā)現(xiàn)當軸是大柔度時，齒輪嚙合產(chǎn)生的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動的動態(tài)藕合對系統(tǒng)的行為有明顯的影響。因此，不考慮彎扭耦合影響的數(shù)學模型不能為齒輪耦合的高速旋轉(zhuǎn)機械的設(shè)計提供必要的信息。Lund(1978)l2］用Holze:方法和Myklested-Prohl方法分別推導出轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動的計算公式，然后用阻抗匹配的方法使兩者藕合在一起，得到了系統(tǒng)的力藕合方程。當嚙合剛度很小(小于或等于lE4N/m)時，系統(tǒng)除了產(chǎn)生一個頻率值很小的藕合頻率之外，基本上全部保留了非耦合時的各階振動模態(tài);隨著嚙合頻率的提高，非耦合時存在的某些頻率消失(這是因為藕合