冪函數講義 高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

冪函數一、冪函數的概念:一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為自變量，為常數①表達式是一個冪②系數為1③底數為自變量④指數為常數【例1】（1）下列是冪函數的是_____①②③④⑤⑥⑦答案：①②③⑥。（2）已知點()在冪函數上圖像上，則=____解：（3）已知函數是冪函數，則=_______解：或（舍），解得；【例2】已知冪函數的圖象過點(9,3)，則函數在區(qū)間［1,9]上的值域為（

）A、 B、 C、 D、解：圖象過點，所以，可得，所以，．因為，所以，故．因此，函數在區(qū)間[1,9]上的值域為．故選：B．二、冪函數的圖像與性質（難點：冪函數的性質隨著指數的不同而不同）畫出指數為在第一象限函數圖像1、當函數在第一象限時（1）當時，函數的圖像和圖像類似，不過原點（2）當時，函數的圖像和圖像類似，在和圖像之間（3）當時，函數的圖像和圖像類似，在為增函數性質：①第一象限所以圖像過定點，冪函數圖像恒過第一象限，恒不過第四象限②增減性：當時，在都是減函數當時，在都是增函數③按逆時針方向逐漸變大（舉例畫圖：）【例3】（1）圖中曲線是冪函數在第一象限的圖像，已知四個值，則相應于曲線的依次是_____解：【例4】函數是冪函數，且時減函數，求的值解：【例5】已知函數，且，則的取值范圍是______解：，定義域（易錯點，易忽略）2、在其他象限時利用函數的奇偶像研究的性質（1）當為整數時，為奇數就是奇函數；為偶數就是偶函數（2）當為分數時（有理數）：（為既約分數）①當都為奇數時：是奇函數，如（畫圖像）②當都為偶數時：是偶偶函數，如（畫圖像）③當都為奇數，為偶函數是，函數非奇非偶，如有定義域的限制（3）無理數不要求【例6】（1）（陜西文4）函數的圖像是（）解：函數為偶函數，圖像和類似且過點（1，1），答案B【例7】已知函數,在下列函數圖像中，不是的圖像是（）解：函數不過第四象限，答案為C【例8】如圖所示是函數(且互質)的圖象，則（

）是奇數且 B、是偶數，是奇數，且C、是偶數，是奇數，且 D．是偶數，且解：函數的圖象關于軸對稱，故為奇數，為偶數，在第一象限內，函數是凸函數，故，故選：C【例9】在上是（）A、增函數且奇函數B.增函數且為偶函數C.減函數且為奇函數D.減函數且為偶函數解：答案：A 【例10】下列命題正確的是（

）冪函數的圖象都經過，兩點 B、函數的圖象經過第二象限C、如果兩個冪函數的圖象有三個公共點，那么這兩個函數一定相同 D、如果冪函數為偶函數，則圖象一定經過點E、冪函數的圖象上的點一定不在第四象限F、當時，函數在定義域內是減函數解：對于A，冪函數的圖象都經過點，當時，不過點，故A項錯誤；對于B，的圖象過第一、三象限，故B項錯誤；對于C，與的圖象有三個交點，這兩個函數不相同，故C項錯誤；對于D，因為冪函數的圖象都經過點，所以冪函數為偶函數時，圖象一定經過點，D正確對于E，正確；對于F，當,函數在定義域內不具有單調性【例11】若，則函數的定義域是______解：，，所以【例12】函數，不論為何值的圖像均過點，則實數，_____解：，時，恒過點【例13】已知函數是冪函數，且其圖像與軸沒有交點，則實數解：或當時，；當時，，且與軸沒有交點，【例14】（多）已知函數是冪函數，且在上單調遞增。若，且，則（），B、，C、，D、，解：或，當時，；當時，且在上單調遞增，所以，且為奇函數，畫出圖像①當，時，滿足，，此時，C正確②當，時，滿足，，此時，B正確③當，時，滿足，，此時，D正確答案：BCD【例15】如果對定義在上的奇函數，對任意兩個不相等的實數，都有，那么稱函數為“函數”，下列函數為函數的是（）A、B、C、D、解：，函數在R為增函數答案D【例16】已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A、 B、C、 D、解：設，即為奇函數，在R上單調遞增（增+增），，所以，答案A【例17】已知冪函數的圖像關于軸對稱，且求的值及的解析式若，求實數的取值范圍解（1）函數偶函數，且為增函數，所以，且，所以（2）【例18】已知冪函數的圖像關于軸對稱，且在上單調遞減，求滿足的實數的取值范圍解：，且為偶數，故，函數在和為單調遞減，畫出函數圖像所以【例19】已知冪函數試確定該函數的定義域，并指明該函數在其定義域上的單調性若該函數的圖像經過點，試確定的值，并求滿足條件的實數的取值范圍解：（1），因為，一定是一奇一偶，所以一定是偶數，所以定義域為，且為增函數（2）（舍）或，所以【例20】已知冪函數的圖象經過點．(1)求的解析式；(2)設，（i）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增．（ii）若在上恒成立，求t的取值范圍．解：(1)設，則，得，所以(2)（i）由（1）得．任取，，且，則．因為，所以，即．在上單調遞增．（ii）由（i）知在單調遞增，所以在上，．因為在上恒成立，所以，解得．【例21】已知冪函數為偶函數，．(1)求的解析式；(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由；（3）若函數在上是嚴格增函數，求的取值范圍解：（1）因為為偶函數，所以，解得或當時，為偶函數，所以（2）因為，所以當時，，為偶函數，當時，，為非奇非偶函數，（3）因為函數在上是嚴格增函數，所以當時，，即所以，因為，所以，所以因為，所以，所以【例22】已知冪函數在上單調遞減，且（1）求函數的解析式（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由（3）若函數在上的最小值為，求實數的值解：（1）設，，當時，，不滿足在上單調遞減所以時，（2）由（1）可知，，定義域為，所以為奇函數（3），對稱軸為①當時，，滿足題意②當時，,不滿足題意③當時，，不滿足題意綜上：【例23】已知冪函數在上是嚴格減函數，且為偶函數（1）求函數的解析式（2）討論函數的奇偶性解：（1），因為,所以當時，當時，當時，因為為偶函數，所以（2），當時，為奇函數當時，為偶函數當且時，，或者且，非奇非偶【例24】*已知冪函數，滿足（1）求函數的解析式（2）若函數，是否存在實數使得的最小值為？（3）若函數是否存在實數，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由解：（1）或當時，當時，且，在增函數，所以（2），設