第 4 章 第 1 講 矩陣乘法

高等代數(shù)（I）

AdvancedLinearAlgebra助教:鄧劍王威楊主講教師:高峽

理科樓1478S

gao_m_xia@大課周三3,4節(jié)理教105周五1,2節(jié)理教105習(xí)題課周三9,10節(jié)文史201三教101課件下載:/index.jsp用戶名：linearalg1密碼：linearalg1linearalg2linearalg2linearalg9linearalg9進(jìn)入后點(diǎn)擊講義資料下載。Putnam問題甲乙二人在2009階的空方陣上交替地填數(shù).甲先填.每人每次只能在空的位置填寫一個(gè)實(shí)數(shù).方陣被填滿后游戲結(jié)束.如果最后方陣的行列式不為零,判甲勝.否則判乙勝.問甲乙二人誰有必勝的策略?第四章矩陣運(yùn)算

1矩陣運(yùn)算2特殊矩陣3矩陣的分塊乘法4矩陣乘積的秩5可逆矩陣6正交矩陣

矩陣的運(yùn)算行數(shù)相同、列數(shù)也相同的矩陣

可以作加法矩陣加法滿足交換律:結(jié)合律:存在零矩陣、負(fù)矩陣:

矩陣的運(yùn)算行數(shù)相同、列數(shù)也相同的兩個(gè)矩陣

可以作加法;數(shù)可以和矩陣作數(shù)乘;線性空間數(shù)域K上全體m×n矩陣構(gòu)成的集合記為Mm,n(K).在Mm,n(K)上有兩種運(yùn)算：矩陣加法、數(shù)乘；滿足向量空間的八條性質(zhì).集合Mm,n(K)連同其上的加法、數(shù)乘運(yùn)算一起構(gòu)成一個(gè)線性空間。

給定一個(gè)集合V取定一個(gè)數(shù)域K＝R,C,Q…在V上定義兩種運(yùn)算:加法和數(shù)乘

運(yùn)算滿足八條性質(zhì):

定義:如果非空集合V上有兩種運(yùn)算

(加法和數(shù)乘)并滿足上述八條性質(zhì),

則稱

V是數(shù)域K上的線性空間.例：向量空間Kn，Mm,n(K).例:矩陣的運(yùn)算矩陣的加法、數(shù)乘矩陣乘法的定義

矩陣乘法定義若A＝[ail

]是m×k矩陣，B＝[blj]是k×n矩陣，則A與B可以作矩陣乘法，乘積C＝AB是一個(gè)m×n矩陣,其（i,j）元為cij＝

ai1b1j＋ai2b2j＋…＋aikbkj

矩陣乘法的條件kk

m×kk×n

m×nm＝mnn左一行，右一列，對(duì)應(yīng)相乘再求和＝熟練以后可以一列一列乘＝熟練以后可以一列一列乘熟練以后可以一列一列乘熟練以后可以一列一列乘也可以一行一行乘＝也可以一行一行乘也可以一行一行乘也可以一行一行乘矩陣乘法不滿足交換律

AB=BA=AB≠BA如果AB=BA，則稱矩陣A、B可交換.此時(shí)，A行數(shù)=B行數(shù)=A列數(shù)=B列數(shù)，

A、B必為同級(jí)方陣只有當(dāng)A為方陣時(shí),AA有意義，A與A可交換.IA=A；AI=A數(shù)量矩陣kIn與任意n級(jí)方陣可交換:當(dāng)A為方陣時(shí)，記對(duì)整數(shù)k，l≥0，若A，B可交換，有若A，B不可交換，則沒有上述等式,只有例:求所有與A可交換的矩陣.

顯然,及其線性組合與A可交換,除此之外還有其它的矩陣嗎?解：設(shè)與A可交換,結(jié)論：矩陣B與A可交換,當(dāng)且僅當(dāng)

數(shù)的乘法滿足消去律：若k≠0，則ka＝kb

a＝b

矩陣乘法不滿足消去律：C≠0，CA=CBA=B

矩陣乘法性質(zhì)：（AB）C=A（BC）（結(jié)合律）如果沒有結(jié)合律,ABCD有幾種結(jié)果?ABCDABCDABCDABCDABCD矩陣乘法性質(zhì)：（AB）C=A（BC）（結(jié)合律）A（B+C）=AB+AC（A+B）C=AC+BC（分配律