大學(xué)文科數(shù)學(xué)3-2 矩陣及其運(yùn)算ppt

§2矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念二、矩陣的加法與數(shù)乘矩陣三、矩陣的乘法四、矩陣乘法的幾何意義五、矩陣的逆六、n×n線性方程組的解文科數(shù)學(xué)

引例1.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線，如圖所示的是四城市間的航班圖，如果從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B。四城市間的航班圖情況常用以下表格來表示一、矩陣的概念0010100101010110DCBADCBA到站

發(fā)站1表示有航班，0表示沒有航班文科數(shù)學(xué)0010100101010110DCBADCBA到站

發(fā)站該表可用如下簡單的矩形陣列（表）表示文科數(shù)學(xué)

引例2.假設(shè)某班前四號學(xué)生，期中考試四門課程的考試成績?nèi)缦卤?68081909088819292788610078898091VB物理數(shù)學(xué)英語4321

上述兩例說明：一組數(shù)據(jù)可按它們的所屬種類，用矩形陣列（表）簡明的表示出來，這種矩形陣列就稱為矩陣。文科數(shù)學(xué)由m×n個數(shù)aij

(i=1,…,m;j=1,…,n)排成的m行n列的矩形陣列（表）簡記為

定義1稱為m行n列矩陣或m×n矩陣，其中aij叫做矩陣A的第i行第j列元素。文科數(shù)學(xué)幾種特殊矩陣

①.行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱為n階方陣（SquareMatrix），aii(i=1,…,n)稱為主對角元素；

②.只有一行的矩陣(a1,a2,…,an)稱為行矩陣（RowMatrix）或n維行向量；只有一列的矩陣文科數(shù)學(xué)如果將一個矩陣的每一列看成一個列向量，則一個m×n矩陣可認(rèn)為是由有順序的n個m維列向量所組成。幾種特殊矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣（ColumnMatrix）或n維列向量，它也可記為文科數(shù)學(xué)幾種特殊矩陣（下述矩陣皆為方陣）不全為0③.上三角矩陣記作下三角矩陣？④.對角矩陣（DiagonalMatrix）文科數(shù)學(xué)幾種特殊矩陣（下述矩陣皆為方陣）⑤.單位矩陣（IdentityMatrix）⑥.數(shù)量矩陣（ScalarMatrix）文科數(shù)學(xué)幾種特殊矩陣

⑦.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，m×n

零矩陣記為Om×n或O。

⑧.對于矩陣A＝(aij)，將A中各元素都變號得到的矩陣稱為負(fù)矩陣，記為－A，即文科數(shù)學(xué)下圖標(biāo)出了a,b兩省各三個城市、c省兩個城市彼此之間的通路。由該圖提供的信息，在a省和b省之間，城市直接通路情況可用下列矩陣（通路矩陣）表示：

練習(xí)其中數(shù)字1和0表示相應(yīng)城市間的直接通路數(shù)。寫出b省與c省、a省與c省的通路矩陣。文科數(shù)學(xué)二、矩陣的加法和數(shù)乘矩陣矩陣之所以有用，不僅僅在于將一組數(shù)排成矩陣表本身，而主要在于我們可以對矩陣施行一些有實(shí)際意義的運(yùn)算，從而使矩陣這個工具發(fā)揮更大的作用。矩陣相等

對于矩陣A和B，當(dāng)其行數(shù)、列數(shù)都相同，且所有對應(yīng)位置上的元素都相等時，稱矩陣A與B是相等的，記作A＝B文科數(shù)學(xué)例如則A＋B為1.加法運(yùn)算設(shè)有兩個m×n矩陣A＝(aij)，B＝(bij)，將它們對應(yīng)位置的元素相加而得到的m×n矩陣，稱為矩陣

A與B的和（加法運(yùn)算），記為A＋B＝(aij＋bij)

定義2文科數(shù)學(xué)

注意：只有當(dāng)兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)都分別相同時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。同型矩陣由于矩陣的加法最終歸結(jié)為它們對應(yīng)位置元素的加法，即數(shù)的加法，而數(shù)的加法滿足結(jié)合律和交換律，因此，矩陣的加法也滿足這些性質(zhì)。文科數(shù)學(xué)

此外，對任意m×n矩陣A，恒有A＋O＝O＋A＝A其中O為零矩陣；且恒有A＋(－A)＝(－A)＋A＝O其中－A為A的負(fù)矩陣。因此，利用負(fù)矩陣可以定義矩陣的減法運(yùn)算A－B＝A＋(－B)文科數(shù)學(xué)例如則λ

A為2.數(shù)乘運(yùn)算用數(shù)λ乘

m×n矩陣A＝(aij)的每個元素所得的m×n矩陣，稱為λ與矩陣

A的數(shù)量乘積（數(shù)乘運(yùn)算），記作λA＝(λaij)

定義3文科數(shù)學(xué)由于矩陣的數(shù)乘最終歸結(jié)為數(shù)的乘法，因此，利用數(shù)的加法、乘法適合的運(yùn)算律，易知數(shù)乘矩陣滿足以下運(yùn)算律（λ,μ為常數(shù)）矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。文科數(shù)學(xué)假設(shè)某班前兩號學(xué)生，期中考試與期末考試三門課程的考試成績，可分別表示為如下成績矩陣

例習(xí)若期中和期末成績，分別占總評成績的40％和60％，試用矩陣的運(yùn)算，計(jì)算該兩名學(xué)生每門課程的總評成績。文科數(shù)學(xué)

引例：某公司經(jīng)營甲、乙兩家服裝廠，每個廠生產(chǎn)襯衣和外衣。已知各廠用一卷布能生產(chǎn)出的襯衣和外衣的數(shù)量如下表：甲乙襯衣2030外衣1510設(shè)x1,x2分別表示甲、乙兩廠所用的布卷數(shù)，求兩個廠生產(chǎn)的襯衣和外衣的總量表。解：由題意，兩廠生產(chǎn)的襯衣、外衣總量表為生產(chǎn)總量襯衣20x1+30x2外衣15x1+10x2三、矩陣的乘法文科數(shù)學(xué)而單卷產(chǎn)量表、各廠用布卷數(shù)和兩廠生產(chǎn)總量表，可分別表示成如下矩陣A（單產(chǎn)矩陣）、列向量X（用料向量）和矩陣B（總產(chǎn)矩陣）：甲乙襯衣2030外衣1510生產(chǎn)總量襯衣20x1+30x2外衣15x1+10x2文科數(shù)學(xué)

矩陣B的第一個元素是矩陣A的第一行與向量X的對應(yīng)位置元素的乘積之和；矩陣B的第二個元素是矩陣A的第二行與向量X的對應(yīng)位置元素的乘積之和。因?yàn)榭偖a(chǎn)量應(yīng)是單卷產(chǎn)量與所用布卷量之積，所以總量向量可看作是單產(chǎn)矩陣與用料向量的乘積，即表示為：B＝AX單產(chǎn)矩陣用料向量總產(chǎn)矩陣文科數(shù)學(xué)

從矩陣運(yùn)算角度看，這里A是2×2矩陣，X是2×1矩陣，其乘積

B則是2×1矩陣。若襯衣和外衣的需求量分別為100和200，則可知各廠所用布卷數(shù)應(yīng)滿足以下線性方程組：

而此方程組可以表示為右上方的矩陣形式，若用B表示右端的需求列向量，則方程組就可表示為非常簡潔的形式：AX＝B文科數(shù)學(xué)設(shè)矩陣A＝(aij)m×s，B＝(bij)s×n，則以cij＝ai1b1j＋ai2b2j＋…＋aisbsj為元素的矩陣C＝(cij)m×n稱為

A與B的乘積，記為AB＝C

定義4文科數(shù)學(xué)矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)（AB＝C）

①.只有當(dāng)A的列數(shù)與B的行數(shù)相同時，乘積AB才有意義；②.乘積矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)為B的列數(shù)；

③.矩陣AB的第i行第j列元素cij，恰是A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和。

注意：矩陣的乘法與數(shù)的乘法相比有明顯的不同，它不是對應(yīng)元素相乘，而是A的行與B的列的對應(yīng)元素相乘再相加。因此，普通數(shù)的乘法的運(yùn)算律不一定都適用于矩陣的乘法。文科數(shù)學(xué)例如不存在文科數(shù)學(xué)(1).設(shè)A是3×2矩陣，B是2×2矩陣，問AB，BA是否都有意義？(2).設(shè)A是2×3矩陣，B是3×2矩陣，問AB，BA是否都有意義？并對有意義的矩陣，指出它們的行數(shù)和列數(shù)。(3).設(shè)

思考計(jì)算AB，BA和BC。文科數(shù)學(xué)由上述思考題可以看出(1).矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA；(2).兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣；(3).矩陣乘法一般不滿足消去律，即BA＝BC，且B≠O，但可能A≠C。文科數(shù)學(xué)

矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律（λ為常數(shù)）①.結(jié)合律：②.分配律：③.矩陣乘法與數(shù)乘還滿足以下運(yùn)算律：文科數(shù)學(xué)設(shè)

練習(xí)驗(yàn)證：文科數(shù)學(xué)計(jì)算下列矩陣的乘積

例1結(jié)論：任何矩陣與其同型的單位矩陣相乘，此矩陣保持不變。文科數(shù)學(xué)計(jì)算下列矩陣的乘積

例2矩陣乘法不滿足交換律！矩陣乘法不滿足消去律！文科數(shù)學(xué)由矩陣乘法知：即矩陣乘向量，結(jié)果將一個向量變成另一個向量；因此，可以看成是矩陣對向量做了某種變換，換言之，矩陣可以看作一個變換。四、矩陣乘法的幾何意義在直角坐標(biāo)系xoy中，一個二維列向量(x,y)T，對應(yīng)著平面上唯一的一點(diǎn)，也對應(yīng)著平面上唯一的一條從原點(diǎn)到此點(diǎn)的有向線段（平面向量）；反過來說也正確。1.矩陣的幾何意義文科數(shù)學(xué)設(shè)

從幾何上看：在矩陣A1的作用下，V1,V2以原點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)了900；因此，矩陣A1表示的是以原點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)900的變換。

例1文科數(shù)學(xué)說明以下矩陣是何變換

從幾何上看：在矩陣A

的作用下，V

以原點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)了900；因此，矩陣A

表示的是以原點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)900的變換。

練習(xí)文科數(shù)學(xué)設(shè)

從幾何上看：在矩陣A2的作用下，V1向y軸正向壓縮了0.5倍，V2向y軸負(fù)向壓縮了0.5倍；因此，矩陣A2表示的是向y軸方向（負(fù)向或正向）壓縮0.5倍的變換。

例2文科數(shù)學(xué)討論以下矩陣是何變換（α,β

>0）矩陣A1表示的是向y軸方向（負(fù)向或正向）壓縮α倍的變換；矩陣A2表示的是向x軸方向（負(fù)向或正向）壓縮α倍的變換；矩陣A3表示的是向x軸方向（負(fù)向或正向）壓縮α倍、y軸方向（負(fù)向或正向）壓縮β倍的變換。

練習(xí)文科數(shù)學(xué)矩陣變換的性質(zhì)

由矩陣的線性運(yùn)算性質(zhì)，對于平面上的任意向量U,V及任意實(shí)數(shù)λ,μ，有稱滿足上述性質(zhì)的變換為平面向量的線性變換，即矩陣表示的是線性變換。

一般而言：任意一個m×n矩陣A乘以一個n×1列向量X，得到一個m×1列向量AX，可以看作是A將向量X變換成了向量AX，稱向量AX為向量X的像，而向量X是向量AX的一個原像。矩陣的幾何意義文科數(shù)學(xué)線性方程組的矩陣表示利用矩陣乘法和矩陣相等的含義，對含m個方程，n個未知量的線性方程組（簡稱m×n線性方程組）令文科數(shù)學(xué)則線性方程組可表示為矩陣形式系數(shù)矩陣未知列向量右端項(xiàng)列向量

求解線性方程組的本質(zhì)：對給定的變換A，從已知像向量B，尋找原像向量X。文科數(shù)學(xué)設(shè)A,B是兩個2階方陣，由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，則對任一向量U＝(u1,u2)T，有即對任一向量U，先作變換B，得一向量BU，再接著對此向量作變換A，得一向量A(BU)；與對向量U直接作變換AB，得一向量(AB)U，其結(jié)果是相同的，因此，乘積矩陣AB表示的是先經(jīng)B，再經(jīng)A的接連的線性變換。2.矩陣乘法的幾何意義矩陣乘法的幾何意義文科數(shù)學(xué)設(shè)

對V先作變換A2再作變換A1表示：先將V

向y軸負(fù)向壓縮0.5倍，再以原點(diǎn)為心逆時針旋轉(zhuǎn)900；與對V直接作乘積變換A1A2，所得結(jié)果完全一致。

例3文科數(shù)學(xué)如果將例3中的變換改為先對V作變換A1，再作變換A2，問所得結(jié)果與例3是否一致？所得結(jié)果不一致。

說明：接連施行一些變換，所得結(jié)果與變換的次序有關(guān)，不能隨意變更。

原因在于：矩陣乘法不滿足交換律。

思考文科數(shù)學(xué)五、矩陣的逆

1.逆矩陣的概念和性質(zhì)在數(shù)的運(yùn)算中，若數(shù)a≠0，則有其中a-1＝1/a為a的倒數(shù)，也可稱a-1為a對乘法運(yùn)算的逆元素。在矩陣的運(yùn)算中，對矩陣方程AX＝B（A是方陣），當(dāng)X有解時，是否能表示成X＝A-1B如果可以，A-1是何含義？概念的引入：能否推廣到矩陣：文科數(shù)學(xué)

定義5

對n階方陣

A，如果存在n階方陣B，使得則稱A是可逆矩陣，并稱B是A的逆（矩陣）。

易見：當(dāng)A可逆時，其逆B也可逆，且A是B的逆。若將矩陣A看作是線性變換，則他的逆B可看作是它的逆變換（還原）；反之，A也可看作是B的逆變換。若A,B

互逆，則先作變換B，再作變換A，或先作A，再作B，相當(dāng)于作了一個恒等變換

I。文科數(shù)學(xué)設(shè)

變換A

將任意向量V

向y軸負(fù)向壓縮0.5倍，得向量W＝AU，而變換B又將向量W

向y軸正向拉伸2倍，從而回到了原向量

U＝BW；反之，結(jié)果完全一致，所以變換A,B

互為逆變換。

此外：從矩陣乘法上看，因?yàn)樗跃仃嘇,B確實(shí)互為逆矩陣。

例1文科數(shù)學(xué)

問題①：如果

A

可逆，其逆是否唯一？若B1,B2都是A的逆，則AB1＝B1A＝I＝AB2＝B2A故B1＝IB1=(B2A)B1＝B2(AB1)＝B2I=B2所以，可逆矩陣A的逆是唯一的。將矩陣A的逆記為A-1，即AA-1＝A-1A＝I

由矩陣可逆的定義知：單位矩陣I可逆，且其逆就是自身，即I－1＝I。文科數(shù)學(xué)若A,B是可逆矩陣，證明AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1并