第二章直線(xiàn)圓方程2 1 1傾斜角與斜率

高中同步測(cè)控優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUCEKONGYOUHUASHEJI2.1.1傾斜角與斜率第二章2.12023成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素.2.理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念.3.經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式.4.掌握傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系.5.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象和直觀(guān)想象的過(guò)程,加強(qiáng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、直線(xiàn)的傾斜角1.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P(2,2)可以作多少條直線(xiàn)?這些直線(xiàn)區(qū)別在哪里呢?提示:經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2)可以作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)l1,l2,l3,…,如下圖所示.區(qū)別是它們的方向不同.2.如何表示這些直線(xiàn)的方向呢?提示:這些直線(xiàn)相對(duì)于x軸的傾斜程度不同,也就是它們與x軸所成的角不同.因此,我們可以利用這樣的角來(lái)表示這些直線(xiàn)的方向.3.直線(xiàn)的傾斜角

4.如圖所示,直線(xiàn)l的傾斜角為(

)A.45°

B.135°

C.0°

D.不存在解析:由題圖可知,直線(xiàn)l的傾斜角為45°+90°=135°.答案:B二、直線(xiàn)的斜率1.我們知道,兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn),進(jìn)而它的傾斜角也就確定了.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為α,請(qǐng)用向量法回答下列問(wèn)題:(1)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0),P(1,1),則傾斜角α與點(diǎn)O,P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類(lèi)似地,如果直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(1,0),P2(-1,2),那么傾斜角α與點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(3)一般地,如果直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么傾斜角α與點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系?(2)我們把一條直線(xiàn)的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率.斜率常用小寫(xiě)字母k表示,即k=tan

α.

(4)在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫(huà)了直線(xiàn)相對(duì)于x軸的傾斜程度,它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示:3.(1)已知點(diǎn)P1(3,5),P2(-1,-3),則直線(xiàn)P1P2的斜率k等于(

)(2)已知直線(xiàn)l的傾斜角α=60°,則其斜率k=

.

【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若直線(xiàn)的斜率存在,則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng).(√)(2)若直線(xiàn)的傾斜角存在,則必有斜率與之對(duì)應(yīng).(×)(3)若兩直線(xiàn)的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等.(×)(4)直線(xiàn)的斜率隨傾斜角α的增大而增大.(×)合作探究釋疑解惑探究一求直線(xiàn)的傾斜角【例1】

(1)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn),其傾斜角為α,將直線(xiàn)l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到直線(xiàn)l1,則直線(xiàn)l1的傾斜角為(

)A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí),傾斜角為α+45°,當(dāng)135°≤α<180°時(shí),傾斜角為α-135°(2)已知直線(xiàn)l1過(guò)原點(diǎn),其傾斜角α1=15°,直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)為A,且l1與l2向上的方向之間所成的角為75°,則直線(xiàn)l2的傾斜角為

.

分析:對(duì)于(1),由于α不確定,需分情況討論;對(duì)于(2),畫(huà)出圖象,利用圖象求解.解析:(1)因?yàn)?°≤α<180°,所以選項(xiàng)A,B,C未分類(lèi)討論,均不全面,故不正確.根據(jù)題意,畫(huà)出大致圖形,如圖所示.當(dāng)0°≤α<135°時(shí),直線(xiàn)l1的傾斜角為α+45°,如圖①所示;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),直線(xiàn)l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°,如圖②所示.故選D.(2)設(shè)直線(xiàn)l2的傾斜角為α2(示意圖如圖).由對(duì)頂角相等可得,α2=15°+75°=90°,即直線(xiàn)l2的傾斜角為90°.答案:(1)D

(2)90°反思感悟求直線(xiàn)的傾斜角時(shí),往往借助于圖形.結(jié)合圖形求傾斜角時(shí),應(yīng)注意傾斜角的范圍以及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練1】

已知直線(xiàn)l向上的方向與y軸正向之間所成的角為30°,則直線(xiàn)l的傾斜角為

.

解析:有如下兩種情況:如圖①,直線(xiàn)l向上的方向與x軸正向之間所成的角為60°,即直線(xiàn)l的傾斜角為60°.如圖②,直線(xiàn)l向上的方向與x軸正向之間所成的角為120°,即直線(xiàn)l的傾斜角為120°.答案:60°或120°探究二求直線(xiàn)的斜率【例2】

已知平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).(1)求直線(xiàn)AB,BC,AC的斜率和傾斜角;(2)若D為△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn),求直線(xiàn)CD的斜率k的取值范圍.分析:(1)利用斜率公式求斜率,由斜率與傾斜角的關(guān)系求傾斜角;(2)結(jié)合圖形,根據(jù)直線(xiàn)CD斜率的變化情況,確定其范圍.由傾斜角的范圍及正切函數(shù)的單調(diào)性,得直線(xiàn)AB的傾斜角為0°;直線(xiàn)BC的傾斜角為60°;直線(xiàn)AC的傾斜角為30°.(2)如圖,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D由點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),直線(xiàn)CD的斜率k由kAC增大到kBC,本例條件中,將C點(diǎn)坐標(biāo)改為C,D為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn),求直線(xiàn)CD的斜率k的取值范圍.解:如圖,作CE⊥AB,垂足為E.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D由點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E時(shí),直線(xiàn)CD的斜率k>0,且k在增大;當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在點(diǎn)E時(shí),k不存在;當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D由點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),k<0,且k在增大.反思感悟

當(dāng)已知兩定點(diǎn)坐標(biāo)求過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率時(shí),可利用斜率公式求解.應(yīng)用斜率公式時(shí),應(yīng)先判定兩定點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.若相等,則直線(xiàn)垂直于x軸,斜率不存在;若不相等,則代入斜率公式求解.【變式訓(xùn)練2】

(1)若經(jīng)過(guò)A(2,1),B(1,m2)兩點(diǎn)的直線(xiàn)l的傾斜角為銳角,則m的取值范圍是(

)A.m<1 B.m>-1C.-1<m<1 D.m>1或m<-1(2)經(jīng)過(guò)A(4,-1),B(2,-3)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方向向量為(1,k),則k=

.

答案:(1)C

(2)1探究三斜率與傾斜角的應(yīng)用【例3】

已知直線(xiàn)l的傾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)三點(diǎn)在直線(xiàn)l上,求x2,y1的值.分析:已知直線(xiàn)l的傾斜角可以求出其斜率,且P1,P2,P3三點(diǎn)在直線(xiàn)l上,故直線(xiàn)P1P2,P2P3的斜率均等于直線(xiàn)l的斜率,從而可以解出x2,y1的值.解:∵α=45°,∴直線(xiàn)l的斜率k=tan

45°=1.∵點(diǎn)P1,P2,P3都在直線(xiàn)l上,反思感悟

斜率反映傾斜角不等于90°的直線(xiàn)相對(duì)于x軸的傾斜程度,直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)所確定的直線(xiàn)的方向不變,即在同一條直線(xiàn)上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等,這正是可以利用斜率證明三點(diǎn)共線(xiàn)的原因.【變式訓(xùn)練3】

如果A(2,1),B(-2,m),C(6,8)三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,那么m的值為

.

答案:-6【易錯(cuò)辨析】

因忽略?xún)牲c(diǎn)斜率公式的條件而致誤【典例】

求經(jīng)過(guò)A(m,3),B(1,2)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率,并指出傾斜角α的取值范圍.所以直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:未考慮斜率公式運(yùn)用的條件,忽略了斜率不存在,即m=1的情況.正解:當(dāng)m=1時(shí),直線(xiàn)的斜率不存在,此時(shí)直線(xiàn)的傾斜角α=90°.防范措施

1.斜率公式k=的適用前提條件為x1≠x2,因此若點(diǎn)的坐標(biāo)中含有未知數(shù),在計(jì)算直線(xiàn)的斜率時(shí),要保證斜率公式有意義.2.直線(xiàn)的傾斜角α的范圍是[0,π),根據(jù)斜率求傾斜角時(shí),注意結(jié)合正切函數(shù)在區(qū)間[0,π)上的圖象求解.【變式訓(xùn)練】

已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,2),Q(2m,1),求直線(xiàn)l的斜率.隨堂練習(xí)1.下圖中α能表示直線(xiàn)l的傾斜角的是(

)A.①

B.①②

C.①③

D.②④解析:結(jié)合直線(xiàn)傾斜角的概念可知選A.答案:A2.在平面直角坐標(biāo)系中,一條直線(xiàn)的斜率為,則此直線(xiàn)的傾斜角為(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°解析:由題意知tan

α=.∵0°≤α