2023-2024學年人教A版選擇性必修第一冊 1-4-2 第2課時　用空間向量研究夾角問題 課件（39張）

第2課時用空間向量研究夾角問題課程標準素養(yǎng)目標能用向量的方法解決簡單夾角問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.1.了解向量的夾角與空間各種角的關系(數(shù)學抽象).2.用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算(數(shù)學運算).課前自主學習主題

用空間向量求空間角1.如何通過向量表示異面直線所成的角?提示:通過兩異面直線的方向向量的夾角來表示異面直線所成的角.如圖:2.如何通過空間向量表示直線與平面所成的角?提示:可通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角來表示直線與平面所成的角.如圖:3.如何通過空間向量表示兩個平面所構成的夾角?提示:可通過兩平面的法向量的夾角來表示兩個平面所構成的角.如圖:結論:空間向量與空間角的關系角的分類向量求法范圍異面直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面的夾角

課堂合作探究

【思維導引】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理得PA⊥AD,再利用線面垂直及面面垂直的判定定理可證得結果;(2)以A為原點,建立空間坐標系A-xyz,求出平面PCD的法向量,利用空間向量求出線面夾角,得到關于t的方程,求解即可.【解析】(1)因為PA⊥底面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AD.又AB⊥AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.又AD?平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖以A為原點,以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間坐標系Axyz,在底面ABCD內(nèi),作CE∥AB交AD于E,則CE⊥AD,在直角△CDE中,DE=CE=1由已知得AB=AP=t,則B(t,0,0),P(0,0,t),由AB+AD=4,則AD=4-t,則E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),

【定向訓練】1.(2022·杭州高二檢測)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設平面PAD∩平面PBC=l.(1)證明:l∥平面ABCD,(2)若PD=AD=1,求直線l與平面PAC所成角的正弦值.【解析】(1)四棱錐P-ABCD的底面為正方形,所以AD∥BC,因為AD?平面PAD,BC?平面PAD,所以BC∥平面PAD,又因為平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l,又因為BC?平面ABCD,l?平面ABCD,所以l∥平面ABCD.(2)由PD⊥底面ABCD且四棱錐P-ABCD的底面為正方形,可知DA,DC,DP兩兩互相垂直,以D為原點,以DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系如圖所示:

【思維導引】(1)在三棱錐A-A1BC中,利用等體積法求解即可.(2)建立合適的空間直角坐標系,求出平面ABD和平面BDC的法向量,然后求解即可.

【類題通法】兩平面夾角的兩種求法(1)基向量法:找兩個起點在棱上,且與棱垂直的向量,這兩個向量的夾角即為兩平面夾角的大小.(2)坐標法:建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求得兩個相關半平面的法向量,再借助平面的法向量求解.

1.已知空間四個點A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),則直線AD與平面ABC所成的