利用雙線性變換法切貝雪夫低通濾波器

./數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告課程設(shè)計(jì)題目：利用雙線性變換法切貝雪夫低通濾波器學(xué)生：學(xué)號(hào)：專業(yè)： 班級(jí)：指導(dǎo)教師：2011年6月1前言1.1課程設(shè)計(jì)的目的通過課程設(shè)計(jì),主要達(dá)到以下目的：

1.使學(xué)生增進(jìn)對(duì)MATLAB的認(rèn)識(shí),加深對(duì)數(shù)字信號(hào)處理理論方面的理解。

2.使學(xué)生掌握數(shù)字信號(hào)處理中IIR和FIR濾波器的設(shè)計(jì)。3.使學(xué)生了解和掌握用MATLAB實(shí)現(xiàn)IIR和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法、過程,為以后的設(shè)計(jì)打下良好基礎(chǔ)。1.2課程設(shè)計(jì)的題目利用雙線性變換法切貝雪夫低通濾波器2.數(shù)字濾波器2.1數(shù)字濾波器的概念數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)〔按預(yù)定的算法,將輸入離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)時(shí),首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的抽樣率應(yīng)大于被處理信號(hào)帶寬的兩倍,其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特性,且以折疊頻率即1／2抽樣頻率點(diǎn)呈鏡像對(duì)稱。為得到模擬信號(hào),數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器在語音信號(hào)處理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。2.2數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器按照不同的分類方法,有許多種類,但總起來可以分成兩大類。一類稱為經(jīng)典濾波器,即一般的濾波器,特點(diǎn)是輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶,通過一個(gè)合適的選頻濾波器達(dá)到濾波的目的。例如,輸入信號(hào)中含有干擾,如果信號(hào)和干擾的頻帶互不重疊,可濾除干擾得到純信號(hào)。但對(duì)于一般濾波器如果信號(hào)和干擾的頻帶互相重疊,則不能完成對(duì)于干擾的有效濾除,這時(shí)需要采用另一類所謂的現(xiàn)代濾波器,例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。這些濾波器可按照隨機(jī)信號(hào)部的一些統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律,從干擾中最佳地提取信號(hào)。一般數(shù)字濾波器從功能上分類,和模擬濾波器一樣,可以分為低通,高通,帶通和帶阻等濾波器。它們的理想幅度特性如圖所示。這種理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的,因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且是無限長的,我們只能按照某些準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器,使之盡可能逼近它,這些理想濾波器可作為逼近的標(biāo)準(zhǔn)用。另外,需要注意的是數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)都是以2的整數(shù)倍處,而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近,這一點(diǎn)和模擬濾波器是有區(qū)別的。數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)路結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類,可以分為無限脈沖響應(yīng)〔IIR濾波器和有限脈沖響應(yīng)〔FIR濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：<><.><>式中的H<z>稱為N階IIR濾波器函數(shù),〔2.1.2式中的H<z>稱為〔N-1階FIR濾波器。ww20--2低通ww20--2高通ww20--2帶通w20-w20--2帶阻3.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟IIR濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法。第一種方法是利用模擬濾波成熟的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。另一種是IIR的直接設(shè)計(jì)法。借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)IIR濾波器相對(duì)比較容易些,因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟,不僅有完整的設(shè)計(jì)公式,還有完善的圖表供查閱。設(shè)過程是：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器,得到模擬低通濾波的傳輸函數(shù),再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系數(shù)函數(shù)。這樣設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題就是找這樣的轉(zhuǎn)換關(guān)系,將s平面上的轉(zhuǎn)換成z平面上的。為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求,對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器,仍是因果穩(wěn)定的。我們知道,模擬濾波器因果穩(wěn)定要求傳輸函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定則要求的極點(diǎn)全部在單位圓。因此,轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射z平面的單位圓部。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響,s平面的虛軸映射z平面的單位圓,相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。將傳輸函數(shù)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的方法有多種,但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。因課程設(shè)計(jì)要求這里只討論雙線性變換法3.2雙線性變換法設(shè)計(jì)原理切貝雪夫低通逼近：切貝雪夫?yàn)V波器的幅度特性是在一個(gè)頻帶中具有等波紋特性：〔1切貝雪夫I型：通帶中是等波紋的,阻帶是單調(diào)的〔2切貝雪夫II型：通帶中是單調(diào)的,阻帶是等波紋的脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn),可以采用非線性頻率壓縮方法,將整個(gè)頻率軸上的頻率圍壓縮到-π/T～π/T之間,再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說,第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系,消除了多值變換性,也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象,映射關(guān)系如圖所示。圖雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上,可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)〔式2-1式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Ω1由-π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí),Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞,也即映射了整個(gè)jΩ軸。將式〔2-1寫成〔式2-2將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,則得〔式2-3再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面〔式2-4從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：〔式2-5〔式2-6式〔2-5與式〔2-6是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系,這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比,因此稱為雙線性變換式〔2-1與式〔2-5的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ejω,可得〔式2-7即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次,將s=σ+jΩ代入式〔2-12,得〔式2-8因此〔式2-9由此看出,當(dāng)σ<0時(shí),|z|<1；當(dāng)σ>0時(shí),|z|>1。也就是說,S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓,S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外,S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此,穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比,其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周,即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式〔2-5所示,重寫如下：〔式2-10上式表明,S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系。由圖看出,在零頻率附近,模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí),ω增長得越來越慢,最后當(dāng)Ω→∞時(shí),ω終止在折疊頻率ω=π處,因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象,從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的,如式〔2-7。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系,就產(chǎn)生了新的問題。首先,一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器,不再保持原有的線性相位了；其次,這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的,即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)〔這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性,不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變,如圖所示。圖雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器,雙線性變換后,仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器,但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變,這種頻率的畸變,可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變,然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。4.基MATLAB的IIR濾波器的設(shè)計(jì)4.1低通濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)低通濾波器,通帶截止頻率為700Hz,阻帶截止頻率為800Hz,通帶最大衰減量為1Db,阻帶最小衰減為50dB,采樣頻率為2000Hz.切比雪夫型程序Wp=2*pi*700;Wp1=2*pi*Wp;Ws=2*pi*800;Ws1=2*pi*Ws;Rp=1;Rs=50;Fs=2000;%選擇濾波器的最小階數(shù)[N,Wn]=cheb2ord<Wp,Ws,Rp,Rs,'s'>;[Z,P,K]=cheb2ap<N,Rs>;[A,B,C,D]=zp2ss<Z,P,K>;%低通到低通的轉(zhuǎn)變[At,Bt,Ct,Dt]=lp2hp<A,B,C,D,Wn>;[num1,den1]=ss2tf<At,Bt,Ct,Dt>;%雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器[num2,den2]=bilinear<num1,den1,Fs>;%繪制幅頻響應(yīng)特性曲線[H,W]=freqz<num2,den2>;subplot<2,1,1>plot<W*Fs/2/pi,20*log10<abs<H>>>;grid;xlabel<'頻率/Hz'>;ylabel<'幅值<db>'>;5課程設(shè)計(jì)小結(jié)通過此次課程設(shè)計(jì),使我更加扎實(shí)的掌握了有關(guān)數(shù)字信號(hào)處理方面的知識(shí),在設(shè)計(jì)過程中雖然遇到了一些問題,但經(jīng)過一次又一次的思考,一遍又一遍的檢查終于找出了原因所在,也暴露出了前期我在這方面的知識(shí)欠缺和經(jīng)驗(yàn)不足。實(shí)踐出真知,通過親自動(dòng)手制作,使我們掌握的知識(shí)不再是紙上談兵。過而能改,善莫大焉。在課程設(shè)計(jì)過程中,我們不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,不斷改正,不斷領(lǐng)悟,不斷獲取。最終的檢測(cè)調(diào)試環(huán)節(jié),本身就是在踐行"過而能改,善莫大焉"的知行觀。這次課程設(shè)計(jì)終于順利完成了,在設(shè)計(jì)中遇到了很多問題,最后在老師的指導(dǎo)下,終于游逆而解。在今后社會(huì)的發(fā)展和學(xué)習(xí)實(shí)踐過程中,一定要不懈努力,不能遇到問題就想到要退縮,一定要不厭其煩的發(fā)現(xiàn)問題所在,然后一一進(jìn)行解決,只有這樣,才能成功的做成想做的事,才能在今后的道路上劈荊斬棘,而不是知難而退,那樣永遠(yuǎn)不可能收獲成功,收獲喜悅,也永遠(yuǎn)不可能得到社會(huì)及他人對(duì)你的認(rèn)可！課程設(shè)計(jì)誠然是一門專業(yè)課,給我很多專業(yè)知識(shí)以及專業(yè)技能上的提升,同時(shí)又是一門講道課,一門辯思課,給了我許多道,給了我很多思,給了我莫大的空間。同時(shí),設(shè)計(jì)讓我感觸很深。使我對(duì)抽象的理論有了具體的認(rèn)識(shí)。此次設(shè)計(jì)也讓我明白了思路即出路,有什么不懂不明白的地方要及時(shí)請(qǐng)教或上網(wǎng)查詢,只要認(rèn)真鉆研,動(dòng)腦思考,動(dòng)手實(shí)踐,就沒有弄不懂的知識(shí),收獲頗豐。東華理工大學(xué)軟件學(xué)院課程設(shè)計(jì)評(píng)分表學(xué)生：班級(jí)：學(xué)號(hào)：課程設(shè)計(jì)題目：利用雙線性變換法切貝雪夫低通濾波器項(xiàng)目容滿分實(shí)評(píng)選題能結(jié)合所學(xué)課程知識(shí)、有一定的能力訓(xùn)練。符合選題要求〔5人一題10工作量適中,難易度合理10能力水平能熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí),有一定查閱文獻(xiàn)及運(yùn)用文獻(xiàn)資料能力10理論依據(jù)充分,數(shù)據(jù)準(zhǔn)確,公式推導(dǎo)正確10能應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行編程、資料搜集錄入、加工、排版、制圖等10能體現(xiàn)創(chuàng)造性思維,或有獨(dú)特見解10成果質(zhì)量總體設(shè)計(jì)正確、合理,各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)符合要求。10說