平行四邊形超級難題學(xué)霸挑戰(zhàn)2

./2018年05月22日y冬夏y的初中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題〔共9小題1．如圖所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分別是AB,AC的中點,D,E為BC上的點,連接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,則圖中陰影部分的面積為〔A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm22．如圖,?ABCD中,點O是對角線BD上的任意一點,過點O作MN∥AB,PQ∥BC,則下列結(jié)論中正確的是〔A．S△MOD=S△NOB B．S四邊形BNOP=S四邊形DMOQC．S△ABD=2S四邊形AMOP D．S四邊形AMOP=S四邊形CNOQ3．如圖,一個四邊形花壇ABCD,被兩條線段MN,EF分成四個部分,分別種上紅、黃、紫、白四種花卉,種植面積依次是S1,S2,S3,S4,若MN∥AB∥DC,EF∥DA∥CB,則有〔A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不對4．如圖,M是△ABC的邊BC的中點,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足為N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,則△ABC的周長是〔A．28 B．32 C．18 D．255．根據(jù)如圖所示的三個圖所表示的規(guī)律,依次下去第n個圖中平行四邊形的個數(shù)是〔A．3n B．3n〔n+1 C．6n D．6n〔n+16．在平行四邊形ABCD中,點A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分別AB和CD的五等分點,點B1,B2和D1,D2分別是BC和DA的三等分點,已知四邊形A4B2C4D2的面積為1,則平行四邊形ABCD面積為〔A．2 B． C． D．157．AD是△ABC中BC邊上的中線,若AB=2,AC=4,則AD的取值圍是〔A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD＜38．如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分別是AB、AC的中點,F、G為BC上的兩點,FG=3,線段DG,EF的交點為O,當(dāng)線段FG在線段BC上移動時,三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之和恒為定值,則這個定值是〔A．15 B．12 C．9 D．69．△ABC與平行四邊形DEFG如圖放置,點D,G分別在邊AB,AC上,點E,F在邊BC上．已知BE=DE,CF=FG,則∠A的度數(shù)〔A．等于80° B．等于90°C．等于100° D．條件不足,無法判斷二．選擇題〔共7小題10．如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,F為AC中點,AB=5,BC=7,則DF=．11．在?ABCD中,兩對角線交于點O,點E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點,那么以圖中的點為頂點的平行四邊形共有個．12．在△ABC中,BC=10,B1、C1分別是圖①中AB、AC的中點,在圖②中,B1,B2,C1,C2分別是AB,AC的三等分點,在圖③中B1,B2…B9；C1C2…C9分別是AB、AC的10等分點,則B1C1+B2C2+…+B9C9的值是．13．已知四邊形ABCD中,AC交BD于點O,如果只給條件"AB∥CD",那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形,給出以下四種說法：〔1如果再加上條件"BC=AD",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；〔2如果再加上條件"∠BAD=∠BCD",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；〔3如果再加上條件"AO=OC",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；〔4如果再加上條件"∠DBA=∠CAB",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形其中正確的說法是．14．已知△ABC周長為1,連接△ABC三邊中點構(gòu)成第二個三角形,再連接第二個三角形三邊中點構(gòu)成第三個三角形,以此類推,第2010個三角形的周長為．15．如圖,對面積為1的平行四邊形ABCD逐次進行以下操作：第一次操作,分別延長AB,BC,CD,DA至點A1,B1,C1,D1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1D=2CD,D1A=2AD,順次連接A1,B1,C1,D1,得到平行四邊形A1B1C1D1,記其面積為S1；第二次操作,分別延長A1B1,B1C1,C1D1、D1A1至點A2,B2,C2,D2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2D1=2C1D1,D2A1=2A1D1,順次連接A2,B2,C2,D2記其面積為S2；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去,可得到平行四邊形A5B5C5D5,則其面積S5=．16．如圖,平行四邊形ABCD中,E是AB上一點,DE與AC交于點F,且S△AEF=6cm2,S△DCF=54cm2,則S平行四邊形ABCD=cm2．三．選擇題〔共23小題17．如圖,平行四邊形ABCD中,M是BC的中點,AM=9,BD=12,AD=10,求平行四邊形ABCD的面積．18．如圖,AB∥CD,∠ACB=90°,E是AB的中點,CE=CD,DE和AC相交于點F．求證：〔1DE⊥AC；〔2∠ACD=∠ACE．19．如圖1,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,連接EF并延長,分別與BA、CD的延長線交于點M、N,則∠BME=∠CNE〔不需證明．〔溫馨提示：在圖1中,連接BD,取BD的中點H,連接HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理,證明HE=HF,從而∠1=∠2,再利用平行線性質(zhì),可證得∠BME=∠CNE．問題一：如圖2,在四邊形ADBC中,AB與CD相交于點O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,連接EF,分別交DC、AB于點M、N,判斷△OMN的形狀,請直接寫出結(jié)論；問題二：如圖3,在△ABC中,AC＞AB,D點在AC上,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,連接EF并延長,與BA的延長線交于點G,若∠EFC=60°,連接GD,判斷△AGD的形狀并證明．20．已知：如圖,AD∥BC,AC⊥BD于O,AD+BC=5,AC=3,AE⊥BC于E．求AE的長．21．已知：如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,CN⊥AD于E交AB于N,F是AC的中點,FE的延長線交BC于M．試判斷BM=MC的正確性．如果正確,請給出證明過程；若不正確,請說明理由．22．已知：如圖在?ABCD中,AC,BD交于O,CE⊥BD于E,AF⊥BD于F,連接AE,CF．〔1判斷四邊形AFCE的形狀；〔2證明你的結(jié)論．23．已知：如圖,四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于O,AD∥BC,AC=4,BO=,AB=5,BC=3．〔1判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由；〔2求四邊形ABCD的邊AB上的高．24．已知：如圖〔1,AC是?ABCD的對角線,直線MN過點D,且MN∥AC,分別交BA、BC的延長線于點M、N,我們?nèi)菀椎玫組D=DN．探究：〔1如圖〔2,若將MN向左平移,MN分別交AD、CD于P、Q,在直線MN上相等的線段有〔只寫一組；〔2如圖〔3,若將MN向右平移,MN分別交AD、CD的延長線于P、Q,在直線MN上相等的線段有〔只寫一組．請在探究〔1、〔2中任選一結(jié)論加以證明．25．如圖,在△ABC中,AB=6cm,BC=8cm．線段BC所在直線〔即動點E以每秒2cm的速度沿BA方向運動,并始終保持與原位置平行,運動過程中與AB的交點為E,與AC的交點為D．〔1經(jīng)過多少秒后ED是△ABC的中位線？此時ED的長為多少？〔2經(jīng)過多少秒后ED的長為2cm？26．如圖,已知△ABC為等邊三角形,D、F分別為BC、AB邊上的點,CD=BF,以AD為邊作等邊△ADE．〔1△ACD和△CBF全等嗎？請說明理由；〔2判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由；〔3當(dāng)點D在線段BC上移動到何處時,∠DEF=30°．27．如圖,在?ABCD中,E,F分別是AD、BC上的點,且DE=CF,BE和AF的交點為M,CE和DF的交點為N,求證：MN∥AD,MN=AD．28．如圖,任意四邊形ABCD中,AB=CD,M、N分別為BC、AD的中點．說明∠1與∠2的大小關(guān)系．29．如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF．〔1請在圖中找出一對全等三角形,用符號"≌"表示,并加以證明；〔2判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由；〔3若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積．30．如圖,△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形．〔1當(dāng)AB≠AC時,證明：四邊形ADFE為平行四邊形；〔2當(dāng)AB=AC時,順次連接A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件．31．如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是邊AD的中點,BE的延長線與CD的延長線相交于點F．〔1求證：△ABE≌△DFE；〔2試連接BD、AF,判斷四邊形ABDF的形狀,并證明你的結(jié)論．32．在△HBC中,∠B=∠C,在邊HC上取點D,在邊BH上取點A,使HD=BA,連接AD．求證：AD≥BC．33．如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F．若PE=PF,且AP+AE=CP+CF．〔1求證：PA=PC．〔2若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四邊形ABCD的面積．34．〔1如圖,如果四邊形ABCD是任意四邊形〔不是梯形或平行四邊形的紙片,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．依次沿EF、FG、GH、HE剪開得到四邊形紙片EFGH．請判斷四邊形紙片EFGH的形狀,并說明理由．〔2你能將上述四邊形紙片ABCD經(jīng)過恰當(dāng)?shù)丶羟泻笃春稀矡o重疊無縫隙成一個平行四邊形紙片嗎？請在圖上畫出對應(yīng)的示意圖．〔3如圖,E,F,G,H分別是四邊形ABCD各邊的中點,若△AEH,△BEF,△CFG,△DGH的面積分別為S1,S2,S3,S4,且S1=2,S3=5,則四邊形ABCD是面積是．〔不要求說明理由35．操作1：如圖1,一三角形紙片ABC,分別取AB、AC的中點D、E,連接DE,沿DE將紙片剪開,并將其中的△ADE紙片繞點E旋轉(zhuǎn)180°后可拼合〔無重疊無縫隙成平行四邊形紙片BCFD．操作2：如圖2,一平行四邊形紙片ABCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點,沿EF剪開并將其中的△BFE紙片繞點E旋轉(zhuǎn)180°到△AF1E位置；沿HG剪開并將其中的△DGH紙片繞點H旋轉(zhuǎn)180°到△AG1H位置；沿FG剪開并將△CFG紙片放置于△AF1G1的位置,此時四紙片恰好拼合〔無重疊無縫隙成四邊形FF1G1G．則四邊形FF1G1G的形狀是．36．如下圖,已知BE、CD分別是△ABC的角平分線,并且AE⊥BE于E點,AD⊥DC于D點．求證：〔1DE∥BC；〔2．37．已知：如圖,點P是平行四邊形ABCD的邊DC上一點,且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA．〔1求證：AP⊥PB；〔2如果AD=5,AP=8,求△APB的面積．38．在平行四邊形ABCD中,AE,CF分別平分∠BAD和∠BCD,〔1AC與EF互相平分嗎？試說明理由．〔2若∠B=60°,BE=2CE,AB=4,求四邊形AECF的周長和面積．39．如圖,已知AD與BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F．〔1求證：CD∥AB；〔2求證：△BDE≌△ACE；〔3若O為AB中點,求證：OF=BE．四．解答題〔共1小題40．如圖所示,在?ABCD中,AB＞BC,∠A與∠D的平分線交于點E,∠B與∠C的平分線交于F點,連接EF．〔1延長DE交AB于M點,則圖中與線段EM一定相等的線段有哪幾條？說明理由；〔不再另外添加字母和輔助線〔2EF、BC與AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？〔3如果將條件"AB＞BC"改為"AB＜BC",其它條件不變,EF、BC與AB的關(guān)系又如何？請畫出圖形并證明你的結(jié)論．2018年05月22日y冬夏y的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共9小題1．如圖所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分別是AB,AC的中點,D,E為BC上的點,連接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,則圖中陰影部分的面積為〔A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2[解答]解：連接MN,作AF⊥BC于F．∵AB=AC,∴BF=CF=BC=×8=4,在Rt△ABF中,AF==,∵M、N分別是AB,AC的中點,∴MN是中位線,即平分三角形的高且MN=8÷2=4,∴NM=BC=DE,∴△MNO≌△EDO,O也是ME,ND的中點,∴陰影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75,∴S陰影=4×0.75÷2=1.5．故選B．2．如圖,?ABCD中,點O是對角線BD上的任意一點,過點O作MN∥AB,PQ∥BC,則下列結(jié)論中正確的是〔A．S△MOD=S△NOB B．S四邊形BNOP=S四邊形DMOQC．S△ABD=2S四邊形AMOP D．S四邊形AMOP=S四邊形CNOQ[解答]解：∵平行四邊形中,MN∥AB,PQ∥BC,∴S△BOP=S△BON,S△MOD=S△QOD,S〔△BOP+?APOM+△MOD=S〔△BON+?CQON+△QOD．∴S?APOM=S?CQON∴A、B、C說法都不正確,故選D．3．如圖,一個四邊形花壇ABCD,被兩條線段MN,EF分成四個部分,分別種上紅、黃、紫、白四種花卉,種植面積依次是S1,S2,S3,S4,若MN∥AB∥DC,EF∥DA∥CB,則有〔A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不對[解答]解：設(shè)紅、紫四邊形的高相等為h1,黃、白四邊形的高相等,高為h2,則S1=DE?h1,S2=AF?h2,S3=EC?h1,S4=FB?h2,因為DE=AF,EC=FB,故A錯誤；S1+S4=DE?h1+FB?h2=AF?h1+FB?h2,S2+S3=AF?h2+EC?h1=AF?h2+FB?h1,故B錯誤；S1S4=DE?h1?FB?h2=AF?h1?FB?h2,S2S3=AF?h2?EC?h1=AF?h2?FB?h1,所以S1S4=S2S3,故C正確；故選：C．4．如圖,M是△ABC的邊BC的中點,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足為N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,則△ABC的周長是〔A．28 B．32 C．18 D．25[解答]解：延長線段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,∴△ABN≌△AEN,∴AE=AB=6,BN=NE,又∵M是△ABC的邊BC的中點,∴CE=2MN=2×1.5=3,∴△ABC的周長是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,故選：D．5．根據(jù)如圖所示的三個圖所表示的規(guī)律,依次下去第n個圖中平行四邊形的個數(shù)是〔A．3n B．3n〔n+1 C．6n D．6n〔n+1[解答]解：從圖中我們發(fā)現(xiàn)〔1中有6個平行四邊形,6=1×6,〔2中有18個平行四邊形,18=〔1+2×6,〔3中有36個平行四邊形,36=〔1+2+3×6,∴第n個中有3n〔n+1個平行四邊形．故選：B．6．在平行四邊形ABCD中,點A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分別AB和CD的五等分點,點B1,B2和D1,D2分別是BC和DA的三等分點,已知四邊形A4B2C4D2的面積為1,則平行四邊形ABCD面積為〔A．2 B． C． D．15[解答]解：設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S,設(shè)AB=5a,BC=3b．AB邊上的高是3x,BC邊上的高是5y．則S=5a?3x=3b?5y．即ax=by=．△AA4D2與△B2CC4全等,B2C=BC=b,B2C邊上的高是?5y=4y．則△AA4D2和△B2CC4的面積是2by=．同理△D2C4D與△A4BB2的面積是．則四邊形A4B2C4D2的面積是S﹣﹣﹣﹣=,即=1,解得S=．故選：C．7．AD是△ABC中BC邊上的中線,若AB=2,AC=4,則AD的取值圍是〔A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD＜3[解答]解：延長AD至E,使AD=DE,連接BE、CE,∵AD=DE∵AD是△ABC中BC邊上的中線∴BD=DC∴四邊形ABEC為平行四邊形∴BE=AC=4∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB即2＜2AD＜6∴1＜AD＜3故選：D．8．如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分別是AB、AC的中點,F、G為BC上的兩點,FG=3,線段DG,EF的交點為O,當(dāng)線段FG在線段BC上移動時,三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之和恒為定值,則這個定值是〔A．15 B．12 C．9 D．6[解答]解：如圖：連接DE,過A向BC作垂線,H為垂足,∵△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,∴DE,AH分別是△ABC的中位線和高,BH=CH=BC=×6=3,∵AB=AC=5,BC=6,由勾股定理得AH===4,∴S△ADE=BC?=×3×=3,設(shè)△DOE的高為a,△FOG的高為b,則a+b==2,∴S△DOE+S△FOG=DE?a+FG?b=×3〔a+b=×3×2=3,∴三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之和恒為定值,則這個定值是S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．故選：D．9．△ABC與平行四邊形DEFG如圖放置,點D,G分別在邊AB,AC上,點E,F在邊BC上．已知BE=DE,CF=FG,則∠A的度數(shù)〔A．等于80° B．等于90°C．等于100° D．條件不足,無法判斷[解答]解：∵BE=DE∴∠B=∠BDE∵四邊形DEFG是平行四邊形∴∠ADG=∠B∴∠ADG=∠BDE同理：∠AGD=∠CGF∵∠AGD+∠CGF+∠DGF=180°,∠DGF+∠GDE=180°∴∠AGD+∠CGF=∠GDE∵∠ADG+∠BDE+∠GDE=180°∴∠ADG+∠BDE+∠AGD+∠CGF=180°∴∠ADG+∠AGD=90°∴∠B+∠C=90°∴∠A=90°故選：B．二．選擇題〔共7小題10．如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,F為AC中點,AB=5,BC=7,則DF=1．[解答]解：延長AD交BC于E∵AD⊥BD,BD平分∠ABC∴△ABD≌△EBD∴BE=AB=5又∵BC=7∴EC=BC﹣BE=7﹣5=2∵DF為△AEC的中位線∴DF=EC=×2=1．故答案為1．11．在?ABCD中,兩對角線交于點O,點E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點,那么以圖中的點為頂點的平行四邊形共有4個．[解答]解：根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,可判定四邊形EFGH是平行四邊形；根據(jù)SAS可分別證明：△AHD≌△CFB,△AFB≌△CGD,可得,AH=CF,AF=CH,所以AHCF是平行四邊形；同理可得BGDE是平行四邊形,則以圖中的點為頂點的平行四邊形是四邊形EFGH、ABCD、AHCF、BGDE,故有4個．故答案為4．12．在△ABC中,BC=10,B1、C1分別是圖①中AB、AC的中點,在圖②中,B1,B2,C1,C2分別是AB,AC的三等分點,在圖③中B1,B2…B9；C1C2…C9分別是AB、AC的10等分點,則B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．[解答]解：當(dāng)B1、C1是AB、AC的中點時,B1C1=BC；當(dāng)B1,B2,C1,C2分別是AB,AC的三等分點時,B1C1+B2C2=BC+BC；…當(dāng)B1,B2,C1,…,Cn分別是AB,AC的n等分點時,B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1=BC+BC+…+BC=BC=5〔n﹣1；當(dāng)n=10時,5〔n﹣1=45；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．故答案為45．13．已知四邊形ABCD中,AC交BD于點O,如果只給條件"AB∥CD",那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形,給出以下四種說法：〔1如果再加上條件"BC=AD",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；〔2如果再加上條件"∠BAD=∠BCD",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；〔3如果再加上條件"AO=OC",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；〔4如果再加上條件"∠DBA=∠CAB",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形其中正確的說法是〔2〔3．[解答]解：其中正確的說法是〔2、〔3．因為再加上條件"∠BAD=∠BCD",即可求得另一組對角相等,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；如果再加上條件"AO=OC",即可證明△AOB≌△COD,所以,AB=DC,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形．故答案為：〔2〔3．14．已知△ABC周長為1,連接△ABC三邊中點構(gòu)成第二個三角形,再連接第二個三角形三邊中點構(gòu)成第三個三角形,以此類推,第2010個三角形的周長為．[解答]解：∵連接△ABC三邊中點構(gòu)成第二個三角形,∴新三角形的三邊與原三角形的三邊的比值為1：2,∴它們相似,且相似比為1：2,同理：第三個三角形與第二個三角形的相似比為1：2,即第三個三角形與第一個三角形的相似比為：1：22,以此類推：第2010個三角形與原三角形的相似比為1：22009,∵△ABC周長為1,∴第2010個三角形的周長為．故答案為：．15．如圖,對面積為1的平行四邊形ABCD逐次進行以下操作：第一次操作,分別延長AB,BC,CD,DA至點A1,B1,C1,D1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1D=2CD,D1A=2AD,順次連接A1,B1,C1,D1,得到平行四邊形A1B1C1D1,記其面積為S1；第二次操作,分別延長A1B1,B1C1,C1D1、D1A1至點A2,B2,C2,D2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2D1=2C1D1,D2A1=2A1D1,順次連接A2,B2,C2,D2記其面積為S2；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去,可得到平行四邊形A5B5C5D5,則其面積S5=135．[解答]解：如圖,連接BD,B1D,∵B1C=2BC,∴△B1DC的面積是△DBC的面積的兩倍,又∵C1D=2DC,△B1C1D的面積是△B1DC的兩倍,∴△B1C1C的面積是△DBC的面積的6倍,也就是平行四邊形ABCD的面積的三倍,以此類推,其余三個三角形的面積都是平行四邊形面積的三倍,∴新的平行四邊形的面積是原來平行四邊形面積的13倍,按此規(guī)律繼續(xù)下去,那么平行四邊形A5B5C5D5的面積是135．故填空答案135．16．如圖,平行四邊形ABCD中,E是AB上一點,DE與AC交于點F,且S△AEF=6cm2,S△DCF=54cm2,則S平行四邊形ABCD=144cm2．[解答]解：設(shè)S△AEF的高為h1,S△DCF的高為h2,平行四邊形的高為h∵平行四邊形ABCD∴△AEF∽△CDF∵S△AEF=6cm2,S△DCF=54cm2∴AE：DC=AE：AB=1：3,h1：h2=1：3∴AB=3AE∵h=h1+h2∴h=4h1∵S△AEF=AE?h1=6∴AE?h1=12∴S平行四邊形ABCD=AB?h=3AE?4h1=12AE?h1=144cm2三．選擇題〔共23小題17．如圖,平行四邊形ABCD中,M是BC的中點,AM=9,BD=12,AD=10,求平行四邊形ABCD的面積．[解答]解：過D作DE∥AM交BC的延長線于E．∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∵DE∥AM,∴四邊形AMED是平行四邊形,∴AD=ME,AM=DE,∵M是BC的中點,AD=10,∴MB==5,∴BE=BM+ME=15,∵四邊形AMED是平行四邊形,∴AM=DE=9,∵BD=12,∴92+122=152,即BD2+DE2=BE2,∴△DBE為直角三角形．∴BE邊上的高為=,∴平行四邊形ABCD的面積為10×=72．18．如圖,AB∥CD,∠ACB=90°,E是AB的中點,CE=CD,DE和AC相交于點F．求證：〔1DE⊥AC；〔2∠ACD=∠ACE．[解答]證明：〔1直角三角形ACB中,∵CE是斜邊AB的中線,∴CE=AE=BE=CD,又∵AB∥CD,∴BCDE為平行四邊形,∴BC∥DE,∵AC⊥BC,∴DE⊥AC．〔2∵CD∥AB,∴∠ACD=∠CAE．由〔1知EC=EA,∴∠A=∠ACE．∴∠ACD=∠ACE．19．如圖1,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,連接EF并延長,分別與BA、CD的延長線交于點M、N,則∠BME=∠CNE〔不需證明．〔溫馨提示：在圖1中,連接BD,取BD的中點H,連接HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理,證明HE=HF,從而∠1=∠2,再利用平行線性質(zhì),可證得∠BME=∠CNE．問題一：如圖2,在四邊形ADBC中,AB與CD相交于點O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,連接EF,分別交DC、AB于點M、N,判斷△OMN的形狀,請直接寫出結(jié)論；問題二：如圖3,在△ABC中,AC＞AB,D點在AC上,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,連接EF并延長,與BA的延長線交于點G,若∠EFC=60°,連接GD,判斷△AGD的形狀并證明．[解答]解：〔1取AC中點P,連接PF,PE,可知PE=,PE∥AB,∴∠PEF=∠ANF,同理PF=,PF∥CD,∴∠PFE=∠CME,又PE=PF,∴∠PFE=∠PEF,∴∠OMN=∠ONM,∴△OMN為等腰三角形．〔2判斷出△AGD是直角三角形．證明：如圖連接BD,取BD的中點H,連接HF、HE,∵F是AD的中點,∴HF∥AB,HF=AB,同理,HE∥CD,HE=CD,∵AB=CD∴HF=HE,∵∠EFC=60°,∴∠HEF=60°,∴∠HEF=∠HFE=60°,∴△EHF是等邊三角形,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,∴△AGF是等邊三角形．∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．20．已知：如圖,AD∥BC,AC⊥BD于O,AD+BC=5,AC=3,AE⊥BC于E．求AE的長．[解答]解：過點A作AF∥DB交CB的延長線于點F,〔1分∵AD∥BC,∴四邊形AFBD是平行四邊形．∴FB=AD．∵AD+BC=5,∴FC=FB+BC=AD+BC=5．〔2分∵AC⊥BD,∴FA⊥AC．〔3分在△FAC中,∠FAC=90°,AC=3,FC=5,∴AF=4．〔4分∵AE⊥BC于E,∴AF?AC=FC?AE．∴AE=．〔5分21．已知：如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,CN⊥AD于E交AB于N,F是AC的中點,FE的延長線交BC于M．試判斷BM=MC的正確性．如果正確,請給出證明過程；若不正確,請說明理由．[解答]解：結(jié)論BM=MC正確．證明過程如下：∵AD平分∠BAC,∴∠NAE=∠CAE．∵CE⊥AD,∴∠AEN=∠AEC=90°．∵AE=AE,∴△ANE≌△ACE．∴NE=CE．∵F為AC的中點,∴AF=CF．∴EF∥AB．∵AF=CF,∴BM=MC．22．已知：如圖在?ABCD中,AC,BD交于O,CE⊥BD于E,AF⊥BD于F,連接AE,CF．〔1判斷四邊形AFCE的形狀；〔2證明你的結(jié)論．[解答]解：〔1四邊形AFCE是平行四邊形．〔2∵在△ABE和△CDF中∠ABE=∠CDF,∠AEB=∠CFD=90°,AB=CD,∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．又∵ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD．∴OE=OF．∴AECF是平行四邊形．23．已知：如圖,四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于O,AD∥BC,AC=4,BO=,AB=5,BC=3．〔1判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由；〔2求四邊形ABCD的邊AB上的高．[解答]解：〔1四邊形ABCD為平行四邊形．∵AC=4,BC=3,AB=5,∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°在Rt△OBC中,OB=,BC=3,∴．∵AC=4,∴OA=2,∴OA=OC．∵AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO．又∵∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB．∴BC=AD．∵BC∥AD,∴四邊形ABCD為平行四邊形．〔2設(shè)AB邊上的高為h,∵S平行四邊形ABCD=BC?AC=AB?h,∴3×4=5h,∴h=2.4．即AB邊上的高為2.4．24．已知：如圖〔1,AC是?ABCD的對角線,直線MN過點D,且MN∥AC,分別交BA、BC的延長線于點M、N,我們?nèi)菀椎玫組D=DN．探究：〔1如圖〔2,若將MN向左平移,MN分別交AD、CD于P、Q,在直線MN上相等的線段有MP=NQ〔只寫一組；〔2如圖〔3,若將MN向右平移,MN分別交AD、CD的延長線于P、Q,在直線MN上相等的線段有MP=NQ〔只寫一組．請在探究〔1、〔2中任選一結(jié)論加以證明．[解答]解：探究〔1：如圖〔2,在直線MN上相等的線段有MP=NQ．探究〔2：如圖〔3,在直線MN上相等的線段有MP=NQ．選擇探究〔1：如圖〔2,證明MP=NQ．理由：如圖〔2∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC；又MN∥AC,∵四邊形ACNP是平行四邊形,∴NP=AC．同理可證MQ=AC,∴NP=MQ∴PQ+QN=MP+PQ,∴MP=NQ．25．如圖,在△ABC中,AB=6cm,BC=8cm．線段BC所在直線〔即動點E以每秒2cm的速度沿BA方向運動,并始終保持與原位置平行,運動過程中與AB的交點為E,與AC的交點為D．〔1經(jīng)過多少秒后ED是△ABC的中位線？此時ED的長為多少？〔2經(jīng)過多少秒后ED的長為2cm？[解答]解：〔1ED是△ABC的中位線即E、D分別為AB、AC的中點,則ED=BC=4cm,∴BE=AB=3cm,∵動點速度為每秒2cm,∴時間為t==1.5s；〔2ED的長為2cm,即ED=BC,∴AE=AB=1.5cm,∴BE=6cm﹣1.5cm=4.5cm故時間t==2.25秒,答：〔1經(jīng)過1.5秒后ED是△ABC的中位線,此時ED的長為4cm,〔2經(jīng)過2.25秒后ED的長為2cm．26．如圖,已知△ABC為等邊三角形,D、F分別為BC、AB邊上的點,CD=BF,以AD為邊作等邊△ADE．〔1△ACD和△CBF全等嗎？請說明理由；〔2判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由；〔3當(dāng)點D在線段BC上移動到何處時,∠DEF=30°．[解答]解：〔1△ACD≌△CBF證：∵△ABC為等邊三角形∴AC=BC∠ACD=∠B=60°∵CD=BF∴△ACD≌△CBF〔SAS〔2四邊形CDEF為平行四邊形∵△ACD≌△CBF∴∠DAC=∠BCF,CF=AD∵△AED是等邊三角形∴AD=DE∴CF=DE①∵∠ACG+∠BCF=60°∴∠ACG+∠DAC=60°∴∠AGC=180°﹣〔∠ACG+∠DAC=120°∴∠DGF=∠AGC=120°∵△AED是等邊三角形∴∠ADE=60°∴∠DGF+∠ADE=180°∴CF∥DE②綜合①②可得四邊形CDEF是平行四邊形．〔3∵AC=BC,當(dāng)點D是BC中點時,BF=CD=BC=AB,∴CF為AB邊上的中線,CF平分∠ACB,∴∠DEF=∠ACB=30°,∴當(dāng)點D是BC中點時,∠DEF=30°．27．如圖,在?ABCD中,E,F分別是AD、BC上的點,且DE=CF,BE和AF的交點為M,CE和DF的交點為N,求證：MN∥AD,MN=AD．[解答]證明：連接EF,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC．∵DE=CF,∴AE=BF．∴四邊形ABFE和四邊形CDEF都是平行四邊形．∴BM=ME,CN=NE．∴MN是△BCE的中位線．∴MN∥AD,MN=AD．28．如圖,任意四邊形ABCD中,AB=CD,M、N分別為BC、AD的中點．說明∠1與∠2的大小關(guān)系．[解答]解：連接BD,取BD的中點G,連接MG,NG∵G、N、M分別是BD、BC、AD的中點,∴GN是△ADB的AB對的中位線,GM是△BCD的CD對的中位線∴NG∥AB,NG=AB,GM∥CD,GM=CD∴∠1=∠GNM,∠2=∠GME又∵AB=CD∴MG=NG∴∠GNM=∠GME∴∠1=∠2．29．如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF．〔1請在圖中找出一對全等三角形,用符號"≌"表示,并加以證明；〔2判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由；〔3若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積．[解答]解：〔1〔選證一△BDE≌△FEC．證明：∵△ABC是等邊三角形,∴BC=AC,∠ACB=60度．∵CD=CE,∴△EDC是等邊三角形．∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120度．又∵EF=AE,∴BD=FE．∴△BDE≌△FEC．〔選證二△BCE≌△FDC．證明：∵△ABC是等邊三角形,∴BC=AC,∠ACB=60度．又∵CD=CE,∴△EDC是等邊三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°,DE=CE．∵EF=AE,∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．〔選證三△ABE≌△ACF．證明：∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60度．∵CD=CE,∴△EDC是等邊三角形．∴∠AEF=∠CED=60度．∵EF=AE,△AEF是等邊三角形．∴AE=AF,∠EAF=60度．∴△ABE≌△ACF．〔2四邊形ABDF是平行四邊形．理由：由〔1知,△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．∴AB∥DF,BD∥AF．∴四邊形ABDF是平行四邊形．〔3由〔2知,四邊形ABDF是平行四邊形．∴EF∥AB,EF≠AB．∴四邊形ABEF是梯形．過E作EG⊥AB于G,則EG=．∴S四邊形ABEF=EG?〔AB+EF=〔6+4=10．30．如圖,△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形．〔1當(dāng)AB≠AC時,證明：四邊形ADFE為平行四邊形；〔2當(dāng)AB=AC時,順次連接A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件．[解答]〔1證明：∵△ABE、△BCF為等邊三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC為等邊三角形,∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．〔2解：構(gòu)成的圖形有四類,一類是菱形,一類是線段．當(dāng)圖形為菱形時,∠BAC≠60°〔或A與F不重合、△ABC不為正三角形；當(dāng)圖形為線段時,∠BAC=60°〔或A與F重合、△ABC為正三角形．31．如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是邊AD的中點,BE的延長線與CD的延長線相交于點F．〔1求證：△ABE≌△DFE；〔2試連接BD、AF,判斷四邊形ABDF的形狀,并證明你的結(jié)論．[解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CF．∴∠1=∠2,∠3=∠4∵E是AD的中點,∴AE=DE．∴△ABE≌△DFE．〔2解：四邊形ABDF是平行四邊形．∵△ABE≌△DFE,∴AB=DF又∵AB∥DF∴四邊形ABDF是平行四邊形．32．在△HBC中,∠B=∠C,在邊HC上取點D,在邊BH上取點A,使HD=BA,連接AD．求證：AD≥BC．[解答]〔1證明：如圖,當(dāng)A、D為BH、CH的中點時,AD=BC．〔2證明：如圖,當(dāng)A,D不是BH、CH的中點時．∵∠B=∠C,∴BH=HC．∵DH=AB,∴AH=CD．過B作BE∥AD,過D作DE∥BH,BE與DE交于E點,連接EC∴四邊形ABED為平行四邊形,∠EDC=∠H．∴DE=AB,BE=AD．∴DH=DE．又∵CD=AH∴△ADH≌△CED．∴CE=AD．∴BE=CE．在△BEC中,BE+EC＞BC,∴2AD＞BC．∴AD＞BC．綜合〔1,〔2可得,AD≥BC．33．如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F．若PE=PF,且AP+AE=CP+CF．〔1求證：PA=PC．〔2若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四邊形ABCD的面積．[解答]〔1證明：在PA和PC的延長線上分別取點M、N,使AM=AE,CN=CF．∵AP+AE=CP+CF,∴PN=PM．∵PE=PF,∴四邊形EMFN是平行四邊形．∴ME=FN,∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM,∠CNF=∠CFN,∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN,∴PA=PC．〔2解：∵PA=PC,EP=PF,∴四邊形AFCE為平行四邊形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB,∠EPD=∠FPB,EP=PF,∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由〔1知PA=PC,∴四邊形ABCD為平行四邊形．∵AB=15,AD=12,∠DAB=60°,∴四邊形ABCD的面積為90．34．〔1如圖,如果四邊形ABCD是任意四邊形〔不是梯形或平行四邊形的紙片,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．依次沿EF、FG、GH、HE剪開得到四邊形紙片EFGH．請判斷四邊形紙片EFGH的形狀,并說明理由．〔2你能將上述四邊形紙片ABCD經(jīng)過恰當(dāng)?shù)丶羟泻笃春稀矡o重疊無縫隙成一個平行四邊形紙片嗎？請在圖上畫出對應(yīng)的示意圖．〔3如圖,E,F,G,H分別是四邊形ABCD各邊的中點,若△AEH,△BEF,△CFG,△DGH的面積分別為S1,S2,S3,S4,且S1=2,S3=5,則四邊形ABCD是面積是28．〔不要求說明理由[解答]解：〔1四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．連接AC．在△ABC中,因為E、F分別是AB、BC的中點,即EF是△ABC的中位線,所以EF∥AC,EF=AC．在△ADC中,同樣可以得到HG∥AC,HG=AC．所以四邊形EFGH是平行四邊形．〔2如圖,〔3四邊形ABCD是面積是28．35．操作1：如圖1,一三角形紙片ABC,分別取AB、AC的中點D、E,連接DE,沿DE將紙片剪開,并將其中的△ADE紙片繞點E旋轉(zhuǎn)180°后可拼合〔無重疊無縫隙成平行四邊形紙片BCFD．操作2：如圖2,一平行四邊形紙片ABCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點,沿EF剪開并將其中的△BFE紙片繞點E旋轉(zhuǎn)180°到△AF1E位置；沿HG剪開并將其中的△DGH紙片繞點H旋轉(zhuǎn)180°到△AG1H位置；沿FG剪開并將△CFG紙片放置于△AF1G1的位置,此時四紙片恰好拼合〔無重疊無縫隙成四邊形FF1G1G．則四邊形FF1G1G的形狀是平行四邊形．[解答]解：操作2：四邊形FF1G1G的形狀是平行四邊形連接AC．在△ABC中,因為E、F分別是AB、BC的中點,即EF是△ABC的中位線,所以EF∥AC,EF=AC．在△ADC中,同樣可以得到HG∥AC,HG=AC．又△BFE紙片繞點E旋轉(zhuǎn)180°到△AF1E位置所以EF1∥AC,EF1=AC同理HG1∥AC,HG1=AC∴FF1∥GG1且FF1=GG1四邊形FF1G1G是平行四邊形．36．如下圖,已知BE、CD分別是△ABC的角平分線,并且AE⊥BE于E點,AD⊥DC于D點．求證：〔1DE∥BC；〔2．[解答]證明：〔1延長AD、AE,交BC于F、G；∵BE⊥AG,∴∠AEB=∠BEG=90°；∵BE平分∠ABG,∴∠ABE=∠GBE；∴∠BAE=∠BGE；∴△ABG是等腰三角形；∴AB=BG,E是AG中點；同理可