數(shù)學(xué)蘇教版必修3知識(shí)導(dǎo)引3.1.2隨機(jī)事件的概率

3隨機(jī)事件的概率案例探究一個(gè)地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)nA2883497069948892（1）計(jì)算男嬰出生頻率（保留4位小數(shù)）；（2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？解析：（1）計(jì)算即得到男嬰出生頻率依次是：73,0.5173.（2）由于這些頻率非常接近0.5173，因而這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.5173.自學(xué)導(dǎo)引1．在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)na為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，比值稱為事件A出現(xiàn)的頻率，記作fn(A).2．對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，我們可以用這個(gè)常數(shù)來刻畫該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，把這個(gè)常數(shù)稱為事件A的概率，記作P（A）.3．一般地，如果隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P（A）≈.4．從定義中，可以看出隨機(jī)事件A的概率滿足0≤P(A)≤1.這是因?yàn)樵趎次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻數(shù)m滿足0≤m≤n，所以0≤m[]n≤1；當(dāng)A是必然事件時(shí)P（A）=1，當(dāng)A是不可能事件時(shí)，P（A）=0.5．如何正確理解“頻率”與概率之間的關(guān)系？答：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來越小.我們給這個(gè)常數(shù)取一個(gè)名字，叫做這個(gè)隨機(jī)事件的概率.概率可看做頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率.疑難剖析對(duì)概念的理解是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵.概率可以看作頻率在理論上的期望值，而隨機(jī)事件的頻率可以看作是其概率的隨機(jī)表現(xiàn)；隨機(jī)事件的概率是事件固有的，客觀存在的，可以在相同條件下通過大量重復(fù)試驗(yàn)予以識(shí)別和檢驗(yàn)，而不能以一次或少數(shù)次的試驗(yàn)結(jié)果下判斷.【例1】某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，各次訓(xùn)練的成績記錄如下：射擊次數(shù)100120150100150160150擊中飛碟數(shù)819512382119127121擊中飛碟的頻率（1）將各次記錄擊中飛碟的頻率填入表中；（2）這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為多少？思路分析：利用頻率公式依次計(jì)算出擊中飛碟的頻率，然后根據(jù)頻率估計(jì)出運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟概率的近似值.解：（1）射中次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是，同理可求得下面的頻率依次是；（2）擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在的附近.故這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為0.81.思維啟示：事件A發(fā)生的頻率記錄的是重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.事件A發(fā)生的概率描述的是事件A發(fā)生的可能性的大小，兩者是不同的概念，但在大量的試驗(yàn)結(jié)果面前，可用頻率近似表示概率.事件A的頻率可有小幅變化和波動(dòng)，但其概率是一個(gè)常數(shù).【例2】用一臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一批螺母，從中抽出100個(gè)逐個(gè)進(jìn)行直徑檢驗(yàn)，結(jié)果如下：直徑個(gè)數(shù)121017172615822從這100個(gè)螺母中，任意抽取一個(gè)，求事件A（6．92<d≤6．94）、事件B（6．90<d≤6．96)、事件C（6．96<d≤6．98)、事件D（6．88<d≤6．89)的頻率.解：事件A的頻率為：事件B的頻率為：事件C的頻率為：事件D的頻率為：思維陷阱：下表是計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，試對(duì)其頻率進(jìn)行分析.試驗(yàn)次數(shù)正面朝上的頻數(shù)正面朝上的頻率541061562014251130160.53333335180.514286402045200.444444502055260.47272760310.51666765300.461538703575340.453333803885430.50588290460.51111195560.58947410053錯(cuò)解1：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為5時(shí)，“正面朝上”的頻率是，故可作出結(jié)論：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為5時(shí)，正面朝上的概率是．錯(cuò)解2：根據(jù)對(duì)試驗(yàn)次數(shù)是5，10，15，20，25的頻率分析，正面朝上的頻率是．即使當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為50時(shí)，正面朝上的頻率仍為．故正面朝上的頻率不具有一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.錯(cuò)因分析：上述兩種解法錯(cuò)誤的原因是把頻率等同于概率.隨機(jī)事件的概率是事件固有的，不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變.而頻率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，在相同條件下可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)，利用頻率的穩(wěn)定值來估計(jì)概率，但是不能以一次或少數(shù)次的試驗(yàn)結(jié)果下判斷.正解：在拋擲硬幣的試驗(yàn)中，“正面朝上”的頻率仍是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很小時(shí)，頻率不具有規(guī)律性，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后，隨著次數(shù)的增加，頻率逐步地穩(wěn)定在上，在其附近擺動(dòng).因此可以估計(jì)“正面朝上”的頻率是．【例3】已知如下兩表：表1拋擲硬幣試驗(yàn)結(jié)果表拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)（m）正面向上頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500530000149840.499672088361240.5011表2某批兵兵球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率試根據(jù)表1、表2結(jié)果比較兩個(gè)不同事件發(fā)生的可能性的大小.解：從表1可以看出，當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面向上的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)，在它附近擺動(dòng).所以擲一枚硬幣擲出“正面向上”的概率為，即出現(xiàn)“正面向上”的可能性是50%．從表2可以看出，當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率接近于0.95,在它附近擺動(dòng).所以任取一個(gè)乒乓球得到優(yōu)等品的概率是，即得到優(yōu)等品的可能性是95%．于是拋擲硬幣時(shí)正面向上的可能性比抽查乒乓球時(shí)抽到優(yōu)等品的可能性要小得多.思維啟示：利用隨機(jī)事件概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以比較不同事件發(fā)生的可能性大小.【例4】孟德爾的豌豆試驗(yàn)數(shù)據(jù)，孟德爾用黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆都是黃色的.第二年，當(dāng)他把第一年收獲的黃色豌豆再種下時(shí)，收獲的豌豆既有黃色的，又有綠色的.具體數(shù)據(jù)如下表：性狀顯性隱性顯性∶隱性子葉的顏色黃色6022綠色2001∶1請(qǐng)你用概率的知識(shí)解釋一下這個(gè)遺傳規(guī)律.解析：純黃色和純綠色的豌豆均有兩個(gè)特征（用符號(hào)YY代表純黃色豌豆的兩個(gè)特征，符號(hào)yy代表純綠色豌豆的兩個(gè)特征）.如右圖所示，當(dāng)純黃色和純綠色這兩種豌豆雜交時(shí)，下一代是從父母輩中各隨機(jī)地選取一個(gè)特征，于是第一年收獲的豌豆特征為Yy．當(dāng)把第一代雜交豌豆再種下時(shí)，下一代同樣是從父母輩中各隨機(jī)地選取一個(gè)特征，所以第二代的豌豆特征為：YY，Yy，yy．這里對(duì)于豌豆來說Y是顯性因子，y是隱性因子，當(dāng)顯性因子與隱性因子組合時(shí)，表現(xiàn)出顯性因子的特征，即YY，Yy皆呈黃色，yy呈綠色，因此在第二代中YY與yy出現(xiàn)的概率都是，Yy出現(xiàn)的概率為，所以黃色豌豆（YY，Yy）∶綠色豌豆（yy）=3∶1.拓展遷移【拓展點(diǎn)1】某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個(gè)病人都沒有治愈，第10個(gè)人就一定能治愈嗎？解析：如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈率是10%，指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即治療的病人數(shù)的增加，大約有10%的人能夠治愈，對(duì)于一次試驗(yàn)來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前9個(gè)病人沒有治愈是可能的.對(duì)第10個(gè)人來說，其結(jié)果仍然是隨機(jī)的，即有可能治愈，也可能沒有治愈.【拓展點(diǎn)2】在42位美國總統(tǒng)中，有兩人的生日相同，三人卒日相同.什爾克生于1795年11月2日，哈定則生于1865年11月2日；門羅卒于1831記n為相關(guān)的人數(shù)，n個(gè)人中至少有兩人的生日在同一天的概率為P（A），則有下表：n102023304050P(A)試用上表解釋上述現(xiàn)象.解析：上表所列的答案足以引起多數(shù)人的驚奇，因?yàn)椤爸辽賰蓚€(gè)人的生日相同”這件事情發(fā)生的概率，并不如大多數(shù)人直覺想象中的那樣小，而是相當(dāng)大，由表中可以看出，當(dāng)人數(shù)是40時(shí)，“至少有兩人相同生日”的概率為，因此，在42位美國總統(tǒng)中，有兩人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正