第2章 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)《工業(yè)機(jī)器人》教學(xué)課件

《工業(yè)機(jī)器人》?精品課件合集第二章工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

2.1齊次坐標(biāo)變換基礎(chǔ)2.2機(jī)械手位姿分析2.3機(jī)械手速度分析

機(jī)器人，特別是其中最有代表性的關(guān)節(jié)型機(jī)器人，實(shí)質(zhì)上是由一系列關(guān)節(jié)連接而成的空間連桿開(kāi)式鏈機(jī)構(gòu)。要研究機(jī)器人，就必須對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)有一個(gè)基本的了解。本章主要討論機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問(wèn)題，引入齊次坐標(biāo)、齊次變換，進(jìn)行機(jī)器人的位姿分析，介紹機(jī)器人正向與逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本知識(shí)。2.1齊次坐標(biāo)變換基礎(chǔ)

齊次坐標(biāo)的定義:齊次坐標(biāo)是指在原有三維坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，增加一維坐標(biāo)而形成四維坐標(biāo)。在選定的直角坐標(biāo)系{A}中，空間任一點(diǎn)P的位置可以用3

1的位置矢量AP表示，其左上標(biāo)表示選定的坐標(biāo)系{A}，此時(shí)有

AP

=

[PX

PY

PZ]T(2.1)式中：PX、PY、PZ是點(diǎn)P在坐標(biāo)系{A}中的三個(gè)位置坐標(biāo)分量。

1.齊次坐標(biāo)定義2.齊次坐標(biāo)表示將一個(gè)n維空間的點(diǎn)用n

+

1維坐標(biāo)表示，則該n

+

1維坐標(biāo)即為n維坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)。一般情況下w稱為該齊次坐標(biāo)中的比例因子，當(dāng)取w=1時(shí)，其表示方法稱為齊次坐標(biāo)的規(guī)格化形式，即

P

=

[PX

PY

PZ

1]T (2.2)當(dāng)w不為1時(shí)，則相當(dāng)于將該列陣中各元素同時(shí)乘以一個(gè)非零的比例因子w，仍表示同一點(diǎn)P，即

P

=

[a

bc

w]T

(2.3)式中：a

=

wPX；b

=

wPY；c

=

wPZ。2.齊次坐標(biāo)表示將一個(gè)n維空間的點(diǎn)用n

+

1維坐標(biāo)表示，則該n

+

1維坐標(biāo)即為n維坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)。一般情況下w稱為該齊次坐標(biāo)中的比例因子，當(dāng)取w=1時(shí)，其表示方法稱為齊次坐標(biāo)的規(guī)格化形式，即

P

=

[PX

PY

PZ

1]T (2.2)當(dāng)w不為1時(shí)，則相當(dāng)于將該列陣中各元素同時(shí)乘以一個(gè)非零的比例因子w，仍表示同一點(diǎn)P，即

P

=

[a

bc

w]T

(2.3)式中：a

=

wPX；b

=

wPY；c

=

wPZ。例如：

P(3,4,5)可表示為

P=[3451]T=[68102]T=[-3-4-5-1]T

增加一個(gè)比例因子w是為了方便坐標(biāo)變換中的矩陣運(yùn)算。2.1.1齊次坐標(biāo)平移變換1.兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換圖2.1如圖

2.1

所示，坐標(biāo)系{A}和{B}的三個(gè)坐標(biāo)軸相互平行，指向也一致，具有相同的方位，但是{A}和{B}的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合?？梢杂梦恢檬噶?/p>

來(lái)表示{B}相對(duì)于{A}的位置?？臻g某一個(gè)確定點(diǎn)P在{A}坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)表示為

，在{B}坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)表示為

，容易知道兩者之間的矢量關(guān)系如式2.4：

（2.4）2.齊次坐標(biāo)平移變換矩陣對(duì)于{A}坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為對(duì)于{B}坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為

兩者之間的變化關(guān)系可以用齊次變換矩陣來(lái)描述如式2.5。（2.5）其中

表示從{B}到{A}的齊次平移變換矩陣對(duì)于空間某一由齊次坐標(biāo)表示的某點(diǎn)，用進(jìn)行平移變換后為（2.6）3.齊次平移變換應(yīng)用舉例【例2.1】

如圖2.2所示的楔塊Q，在坐標(biāo)系中的位置可用其上8個(gè)特征點(diǎn)完全確定，表示為圖2.2楔塊坐標(biāo)變換①將楔塊沿向量進(jìn)行平移，求平移后的楔塊Q在坐標(biāo)系xyz中的表示②將坐標(biāo)系

xyz

相對(duì)自身平移一個(gè)向量得到新坐標(biāo)系

x

y

z

，求楔塊

Q

在坐標(biāo)系x

y

z

中的表示【解】

①假想在楔塊上固定了某坐標(biāo)系，將楔塊進(jìn)行平移，即對(duì)該坐標(biāo)系進(jìn)行平移，顯然楔塊的特征點(diǎn)在平移后坐標(biāo)系中的表示仍然為Q，而其在原坐標(biāo)系xyz中的表示為②平移前的坐標(biāo)系

xyz

相對(duì)于平移后的坐標(biāo)系沿著向量反向移動(dòng)，于是有2.1.2齊次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換1.兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)系{A}和{B}具有相同的坐標(biāo)原點(diǎn)，但坐標(biāo)軸的方位不相同，如圖2.3所示。圖2.3坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換空間某一確定點(diǎn)P在{A}和{B}中的描述分別為和，不難理解，二者之間的關(guān)系仍然可用齊次坐標(biāo)矩陣變換的形式表示：（2.7）稱為從坐標(biāo)系{B}到坐標(biāo)系{A}的齊次旋轉(zhuǎn)變換矩陣。稱為從

B

坐標(biāo)系到A坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。如何進(jìn)行求解？具體分析如下.如圖2.4所示，向量在坐標(biāo)軸上的投影，分別為：，于是有：圖2.4坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換分析在上的投影分別為。由和矢量投影定理有同理有于是有(2.8)令有把在{B}坐標(biāo)系中的投影用{A}坐標(biāo)系的投影來(lái)標(biāo)記，與上上面過(guò)程類(lèi)似，有（2.5）于是令有顯然與互為逆矩陣，觀察發(fā)現(xiàn)與同時(shí)互為轉(zhuǎn)置矩陣,與為正交矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣的幾何意義1）

可以表示固定于剛體上的坐標(biāo)系{B}對(duì)參考坐標(biāo)的姿態(tài)矩陣2）可以作為坐標(biāo)變換矩陣，它使得坐標(biāo)系{B}中的點(diǎn)的坐標(biāo)變換成{A}中點(diǎn)的坐標(biāo)3）可作為算子，將{B}中的矢量或物體變換到{A}中

補(bǔ)充思考題：?jiǎn)朖1,J2,J0三個(gè)矩陣的行列式是否相等？2.繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換繞x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)變換稱為基本旋轉(zhuǎn)變換：任何旋轉(zhuǎn)變換可以由有限個(gè)基本旋轉(zhuǎn)變換合成得到。如圖

2.5

所示，坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一個(gè)位置，可以通過(guò)繞{A}坐標(biāo)系中的xyz三個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)得到。假設(shè)坐標(biāo)系{B}是坐標(biāo)系{A}繞自身的z軸旋轉(zhuǎn)而得，對(duì)于空間某一確定點(diǎn)

P，其在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)關(guān)系可以確定為圖2.5坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)所以式中，符號(hào)s，c分別代表sin，cos的簡(jiǎn)寫(xiě)，以后同于是可得繞（x或y或z）的旋轉(zhuǎn)算子如下。（2.9）3.齊次旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用舉例【例

2.2】

如圖2.6所示楔塊Q，在坐標(biāo)系xyz空間的位置可以用其上8個(gè)特征點(diǎn)完全確定，表示為圖2.6楔形塊旋轉(zhuǎn)變換分析①將楔塊繞坐標(biāo)系xyz的z軸旋轉(zhuǎn)60

，求旋轉(zhuǎn)后的8個(gè)特征點(diǎn)在xyz中的表示②坐標(biāo)系x

y

z

是坐標(biāo)系xyz相對(duì)自身z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60

得到的新坐標(biāo)系，現(xiàn)求楔塊的8個(gè)特征點(diǎn)在坐標(biāo)系x

y

z

中的表示【解】

①假想在楔塊上固定了某坐標(biāo)系，對(duì)楔塊進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并對(duì)該坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，顯然楔塊的特征點(diǎn)Q在該旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系中的表示仍然為Q，在原坐標(biāo)系xyz中的表示為②旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)系xyz相對(duì)于平移后的坐標(biāo)系x

y

z

繞z

軸反向旋轉(zhuǎn)60

，于是有2.1.3齊次坐標(biāo)復(fù)合變換如圖

2.7

所示，坐標(biāo)系{C}是由坐標(biāo)系{A}平移變換得到的，坐標(biāo)系{B}是由坐標(biāo)系{C}旋轉(zhuǎn)變換得到的，那么從坐標(biāo)系{A}到坐標(biāo)系{C}之間的變換關(guān)系既有平移又有旋轉(zhuǎn)，這樣的變換稱為復(fù)合變換。圖2.7坐標(biāo)系復(fù)合變換1.復(fù)合變換的齊次變換矩陣圖2.7中坐標(biāo)系{A}經(jīng)過(guò)復(fù)合變換到坐標(biāo)系{B}的過(guò)程，可以分成兩步來(lái)實(shí)現(xiàn)：首先坐標(biāo)系{A}經(jīng)過(guò)平移變換到坐標(biāo)系{C}，然后坐標(biāo)系{C}繞自身坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換到坐標(biāo)系{B}。設(shè)空間某一確定點(diǎn)P在{A}，{B}，{C}坐標(biāo)系中的描述分別為，于是有（2.10）（2.11）由式（2.10）和（2.11）可得（2.12）其中，稱為從坐標(biāo)系{C}到坐標(biāo)系{A}的復(fù)合變換矩陣。2.復(fù)合變換的算子左右乘規(guī)則（1）算子右乘規(guī)則。復(fù)合變換是一系列的平移和旋轉(zhuǎn)變換的過(guò)程，如果在這一系列變換中，每次變換都是相對(duì)于上一次變換后的坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行的，那么適用于算子右乘規(guī)則，舉例說(shuō)明如下：如圖2.8所示，某動(dòng)坐標(biāo)系初始時(shí)與坐標(biāo)系{A}重合，該動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系{A}經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或平移變換后與坐標(biāo)系{B}重合，該動(dòng)坐標(biāo)系再相對(duì)于坐標(biāo)系{B}經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或平移變換后與坐標(biāo)系{C}重合，那么對(duì)于空間某一確定點(diǎn)P在{A}{B}{C}中的關(guān)系描述如下：圖2.8算子右乘分析第一次變換是從坐標(biāo)系{A}運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)系{B}的變換，其變換矩陣為，有第二次變換是將坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{B}自身運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)系{C}的位姿，其變換矩陣為，有結(jié)合上面兩式有（2.13）從式（2.14）可以看出，該復(fù)合變換中后發(fā)生的變換算子乘在先發(fā)生的變換算子的右側(cè)，稱為算子右乘規(guī)則。（2）算子左乘規(guī)則。如果在這一系列變換中，每次變換都是相對(duì)于同一個(gè)固定的坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行的，那么適用于算子左乘規(guī)則，舉例說(shuō)明如下：如圖

2.9

所示，某動(dòng)坐標(biāo)系初始時(shí)與坐標(biāo)系{A}重合，該動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系

{A}

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或平移變換后與坐標(biāo)系{B}重合，該動(dòng)坐標(biāo)系再相對(duì)于坐標(biāo)系{A}經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或平移變換T后與坐標(biāo)系{C}重合，那么對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系中某一確定點(diǎn)P在{A}{B}{C}中的關(guān)系描述如下：圖2.9算子左乘分析第一次變換是從坐標(biāo)系{A}到坐標(biāo)系{B}的變換，其變換矩陣為，第二次變換是將坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}變換到坐標(biāo)系{C}的位姿，并同時(shí)將坐標(biāo)系{B}中某點(diǎn)變換到了，設(shè)第二次變換矩陣為T(mén)，T是一個(gè)的齊次變換矩陣（T不等于，因?yàn)樽儞Q前坐標(biāo)系{B}與{A}不重合），于是有因?yàn)椋视校?.14）從以上推導(dǎo)過(guò)程可以看出，該復(fù)合變換中后發(fā)生的變換算子

T

乘在先發(fā)生的變換算子的左側(cè)，稱為算子左乘規(guī)則。3.復(fù)合變換應(yīng)用舉例【例2.3】

已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量U＝[8431]T，將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，如圖2.10所示，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點(diǎn)W。【解】

根據(jù)算子左乘規(guī)則有圖2.10復(fù)合應(yīng)用舉例【例

2.4】

設(shè)某動(dòng)坐標(biāo)系固定在機(jī)械手的手腕上，并隨機(jī)械手運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)該動(dòng)坐標(biāo)系到定坐標(biāo)系的變換矩陣為①手臂繞Z0軸旋轉(zhuǎn)＋90°，動(dòng)坐標(biāo)系到達(dá)G2；②動(dòng)坐標(biāo)系繞Z1軸旋轉(zhuǎn)＋90°，到達(dá)G3。寫(xiě)出手部坐標(biāo)系{G2}及{G3}的矩陣表達(dá)式?！窘狻?/p>

①適用于算子左乘法則：②手部繞手腕軸旋轉(zhuǎn)是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系變換，所以適用于算子右乘法則：2.2機(jī)械手位姿分析位姿確定方法的定義：在該物體上建立某一坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)用來(lái)確定物體的位置，該坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的方位用來(lái)確定該物體的姿態(tài)的空間位置和姿態(tài)的確定方法。機(jī)械手位姿分析的目的是確定機(jī)械手末端執(zhí)行器的空間位置與各連桿之間空間位置的關(guān)系，是機(jī)械手空間位置分析的基礎(chǔ)。圖2.11所示的機(jī)械手是由轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)關(guān)節(jié)副連接而成的多連桿機(jī)構(gòu)圖2.11機(jī)械手位姿分析2.2.1機(jī)械手連桿坐標(biāo)系的建立對(duì)于不同的機(jī)械手的各連桿之間位姿關(guān)系的分析很難找到一個(gè)通用的分析方法，為了解決這個(gè)問(wèn)題，Denauit和Hartenbery在1956年提出了D-H廣義連桿以及相應(yīng)坐標(biāo)系的分析方法，該方法得到了廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)將對(duì)其進(jìn)行具體介紹。2.2.1機(jī)械手連桿坐標(biāo)系的建立對(duì)于不同的機(jī)械手的各連桿之間位姿關(guān)系的分析很難找到一個(gè)通用的分析方法，為了解決這個(gè)問(wèn)題，Denauit和Hartenbery在1956年提出了D-H廣義連桿以及相應(yīng)坐標(biāo)系的分析方法，該方法得到了廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)將對(duì)其進(jìn)行具體介紹。1.機(jī)械手連桿、關(guān)節(jié)和坐標(biāo)系的編號(hào)機(jī)械手的各個(gè)連桿通過(guò)移動(dòng)副或轉(zhuǎn)動(dòng)副連接在一起，從基座到機(jī)械手末端執(zhí)行器需要對(duì)連桿、關(guān)節(jié)和連桿坐標(biāo)系進(jìn)行編號(hào)，基座的編號(hào)為0，末端執(zhí)行器的編號(hào)為n，連桿的編號(hào)是從1到n－1遞增的中間某個(gè)數(shù)i，每個(gè)連桿有前后兩個(gè)關(guān)節(jié)，前面一個(gè)關(guān)節(jié)軸線編號(hào)和連桿編號(hào)一致。如圖2.12所示：連桿i－1的前一個(gè)關(guān)節(jié)軸線編號(hào)為i－1，末端執(zhí)行器的前一個(gè)關(guān)節(jié)編號(hào)為n－1，連桿以及末端執(zhí)行器的位姿確定是由固定在其上的坐標(biāo)系來(lái)確定的，按照D-H連桿坐標(biāo)系的確定方法，該坐標(biāo)系的z軸規(guī)定為通過(guò)關(guān)節(jié)軸線，規(guī)定該坐標(biāo)系的編號(hào)與關(guān)節(jié)軸線編號(hào)一致。圖2.12機(jī)械手坐標(biāo)系確定2.機(jī)械手連桿坐標(biāo)系的D-H方法（1）連桿扭角和廣義連桿長(zhǎng)度的定義。的長(zhǎng)度稱為連桿

i－1的廣義連桿長(zhǎng)度。公垂線夾角稱為連桿i－1的扭角。隨連桿形狀的確定而確定的，二者均是常量。圖2.13連桿扭角和長(zhǎng)度定義（2）相鄰連桿間的夾角和距離的定義。夾角：連桿i－1的廣義長(zhǎng)度和連桿的廣義長(zhǎng)度之間存在的夾角。描述了相鄰兩個(gè)連桿間的角位移。距離和之間存在的距離。：描述了相鄰兩個(gè)連桿間的角位移。當(dāng)連桿i是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)是變量，是常量，而當(dāng)連桿i為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)是變量，是常量。圖2.14連桿夾角和距離的定義（3）D-H連桿坐標(biāo)系的確定。如圖2.15所示，連桿i－1的坐標(biāo)系的z軸在關(guān)節(jié)i－1的軸線上，連桿i－1的坐標(biāo)原點(diǎn)是公垂線和軸的垂足，坐標(biāo)系的x軸沿著公垂線的方向指向軸線i。同理，連桿i的坐標(biāo)系的z軸在關(guān)節(jié)i的軸線上，坐標(biāo)原點(diǎn)為軸線i與軸線的公垂線的垂足，沿的方向。于是連桿

i－1

和連桿

i

之間的位置變換關(guān)系就可以完全通過(guò)坐標(biāo)系與坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系來(lái)確定。圖2.15D-H連桿坐標(biāo)系的確定對(duì)于基座而言，其坐標(biāo)系的確定應(yīng)該滿足這樣的原則：盡量使得從基座坐標(biāo)系變換到連桿1的坐標(biāo)系的過(guò)程計(jì)算越簡(jiǎn)單越好，于是基座坐標(biāo)系的確定應(yīng)該盡量與連桿1的坐標(biāo)系之間的位置常量（廣義長(zhǎng)度、扭角、夾角或者距離之一）為零的個(gè)數(shù)越多越好，如圖2.16所示。圖2.16機(jī)座坐標(biāo)系的確定（一）將圖2.16中基座的軸線Z調(diào)整為圖2.17所示。與重合之后，使得基座與連桿1的關(guān)節(jié)

1

之間的廣義連桿長(zhǎng)度以及與之間的扭角均為零，如果連桿

1

是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，這時(shí)基座與連桿

1

之間的距離為常量，就讓連桿

1

的坐標(biāo)原點(diǎn)與基座坐標(biāo)原點(diǎn)重合使得；如果連桿1是移動(dòng)關(guān)節(jié)，就將基座的X軸與連桿1的X軸（圖2.17中的方向）的方向一致，使得轉(zhuǎn)動(dòng)常量圖2.17機(jī)座坐標(biāo)系的確定（二）如圖2.18所示，對(duì)于最后一個(gè)關(guān)節(jié)（末端執(zhí)行器的關(guān)節(jié)）坐標(biāo)系的確定，為便于計(jì)算，如果是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，就讓其坐標(biāo)原點(diǎn)在前一個(gè)關(guān)節(jié)的X軸上，這樣使得常量d為零；如果是移動(dòng)關(guān)節(jié)，就讓其坐標(biāo)系的X軸與前一關(guān)節(jié)的X軸線平行，使得常量圖2.18末關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的確定對(duì)于末端執(zhí)行器而言，如果單獨(dú)指定了末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系，則需要確定末端執(zhí)行器與最后一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，那么最后一個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系的X

軸須是末端執(zhí)行器Z軸與最后一個(gè)關(guān)節(jié)軸線的公垂線。末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的確定方法如下：機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)也可以用固連于手部的坐標(biāo)系{B}的位姿來(lái)表示，如圖2.19所示。坐標(biāo)系{B}可以這樣來(lái)確定：取手部的中心點(diǎn)為原點(diǎn)

OB；關(guān)節(jié)軸為

ZB軸，ZB

軸的單位方向矢量a稱為接近矢量，指向朝外；兩手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量O稱為姿態(tài)矢量，指向可任意選定；XB軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法向矢量，且n＝o×a，指向符合右手法則。圖2.19末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的確定3.相鄰兩關(guān)節(jié)軸線相交或者重合的情況如果某連桿的相鄰關(guān)節(jié)軸線相交，如圖

2.20

所示，和相交，的方向應(yīng)該是向的右手螺旋方向，如果不采用這個(gè)方向，約定扭角取負(fù)值。圖2.20軸線相交或者重合時(shí)坐標(biāo)軸的確定當(dāng)相鄰兩關(guān)節(jié)軸線重合或平行時(shí)，公垂線x軸線的方向和坐標(biāo)原點(diǎn)由下一個(gè)關(guān)節(jié)的軸線的坐標(biāo)原點(diǎn)來(lái)確定，如圖2.21所示。連桿的坐標(biāo)系原點(diǎn)和x軸由連桿的坐標(biāo)原點(diǎn)到的垂線和垂足來(lái)確定。圖2.21軸線平行時(shí)坐標(biāo)軸的確定2.2.2機(jī)械手連桿坐標(biāo)變換機(jī)械手連桿坐標(biāo)變換：代表從一個(gè)連桿的位姿變換到另外一個(gè)連桿的位姿的過(guò)程。采用了D-H連桿坐標(biāo)系的構(gòu)建方法相鄰連桿坐標(biāo)系的變換如下：如圖2.22所示，連桿和i的坐標(biāo)系分別為和設(shè)空間有某一點(diǎn)P在坐標(biāo)系中描述為，在坐標(biāo)系i中描述為，那么二者的關(guān)系為；其中是從

i

坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換矩陣。變換矩陣的求解過(guò)程如下：有某一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系與坐標(biāo)系重合，動(dòng)坐標(biāo)系繞自身X軸旋轉(zhuǎn)到達(dá)坐標(biāo)系{R}，動(dòng)坐標(biāo)系再沿自身

x

軸移動(dòng)距離，到達(dá)圖2.22中所示坐標(biāo)系{q}，動(dòng)坐標(biāo)系再繞自身z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度到達(dá)坐標(biāo)系{P}，動(dòng)坐標(biāo)系再沿自身z軸移動(dòng)距離最終到達(dá)坐標(biāo)系這個(gè)變換過(guò)程中動(dòng)坐標(biāo)系始終是相對(duì)于自身坐標(biāo)系在做旋轉(zhuǎn)或者平移運(yùn)動(dòng)，根據(jù)算子右乘法則可以得到式（2.15）的變換關(guān)系：圖2.22相鄰連桿坐標(biāo)變換（2.15）其中表示繞x軸旋轉(zhuǎn)的變換為（2.16）表示沿x軸移動(dòng)距離的變換為（2.17）表示繞z軸旋轉(zhuǎn)的變換為（2.18）表示沿z軸移動(dòng)距離的變換為（2.19）由式（2.15）～（2.19）可得（2.20）通過(guò)前面的分析可知，要確定機(jī)械手相鄰連桿的位姿變換關(guān)系，如圖2.23所示需要用到4個(gè)參數(shù)，，，。根據(jù)前面對(duì)機(jī)械手連桿和關(guān)節(jié)以及坐標(biāo)系的編號(hào)規(guī)則知道：為與之間的扭角；為與之間的長(zhǎng)度；為與之間的距離；為與之間的扭角。圖2.23相鄰連桿坐標(biāo)變換2.2.3機(jī)械手正向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的定義：已知機(jī)械手各個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)或者移動(dòng)變量，要求獲取機(jī)械手末端執(zhí)行器在空間的位姿。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過(guò)程以6連桿機(jī)械手為例。設(shè)有一個(gè)六連桿機(jī)械手，機(jī)械手末端執(zhí)行器坐標(biāo)系（即連桿6的坐標(biāo)系6）到連桿5的變換矩陣為，連桿1的坐標(biāo)系1到基座0的變換矩陣為，中間相鄰連桿i到連桿i－1的變換矩陣為，可知：（2.21）根據(jù)算子右乘法則可知，空間某點(diǎn)P在末端執(zhí)行器中描述為，在基座坐標(biāo)系中描述為，那么有其中，就是從連桿6到基座坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。推廣之，可知如果有P點(diǎn)在連桿3中描述為，則有

（2.22）【例2.5】

如圖2.24所示，平面三自由度機(jī)械手，三個(gè)關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（RRRarm），已知連桿長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1，L2，L3。求：各個(gè)相鄰連桿之間的變換矩陣Ai，以及末端連桿（執(zhí)行器）L3到機(jī)座的變換矩陣。圖2.24三自由度機(jī)械手示例【解】

首先需要確定連桿1-3的坐標(biāo)系，按照D-H坐標(biāo)系的方法確定，如圖2.25所示，連桿1，2，3對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系1，2，3，坐標(biāo)系1，2，3的z軸分別為關(guān)節(jié)1，2，3的軸線垂直紙面朝外，x1，x2，x3分別是三個(gè)關(guān)節(jié)軸線的公垂線，基座坐標(biāo)系

0

的坐標(biāo)原點(diǎn)與坐標(biāo)系

1的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，z0軸與z1軸重合，使得d1＝0。根據(jù)下面的關(guān)系可得：為與之間的扭角；為與之間的長(zhǎng)度；為與之間的距離；為與之間的扭角。由此可以得到表2.1。表2.1序號(hào)i連桿編號(hào)i－1連桿扭角

連桿長(zhǎng)度

連桿間距

連桿夾角

基座到連桿1之間的參數(shù)0000連桿1到連桿2之間的參數(shù)10L10連桿2到連桿3之間的參數(shù)20L20連桿1到基座的變換矩陣：連桿2到連桿1的變換矩陣：連桿3到連桿2的變換矩陣：從連桿3到基座0的變換矩陣為【例2.6】

圖2.26所示為RPRR型機(jī)械手，末端夾持器的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系已經(jīng)確定為坐標(biāo)系5，求各相鄰連桿的齊次變換矩陣和坐標(biāo)系5到基座之間的變換矩陣?！窘狻?/p>

如圖2.27～圖2.30所示，圖中，d2為變量，L2～L4為常量。注意x的方向與扭角正負(fù)之間的關(guān)系。圖2.26RPRR型機(jī)械手分析圖2.27RPRR型機(jī)械手連桿編號(hào)圖2.28RPRR型機(jī)械手坐標(biāo)系z(mì)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的確定圖2.29連桿間距離的確定圖2.30x軸的確定各連桿參數(shù)的確定如表2.2所示。表2.2各連桿參數(shù)的確定序號(hào)i連桿編號(hào)i－1連桿扭角

連桿長(zhǎng)度

連桿間距

連桿夾角：

1.基座到連桿1之間的參數(shù)00

002.連桿1到2之間的參數(shù)1－90

0d2－90

3.連桿2到3之間的參數(shù)2－90

L204.連桿3到4之間的參數(shù)390

005.連桿3到4之間的參數(shù)40

L4L50

【例2.7】

如圖2.31（a）所示的斯坦福機(jī)械手，其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2.31（b）所示。求各相鄰連桿的齊次變換矩陣。（a）（b）圖2.31斯坦福機(jī)械手機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖【解】

Z軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的確定如圖2.32、圖2.33所示。圖2.32Z軸及相鄰連桿距離的確定圖2.33機(jī)械手各坐標(biāo)系的確定相鄰連桿間參數(shù)的確定如表2.3所示。表2.3相鄰連桿間的參數(shù)序號(hào)i連桿編號(hào)i－1連桿扭角

連桿長(zhǎng)度

連桿間距

連桿夾角

1.基座到連桿1之間的參數(shù)00

002.連桿1到2之間的參數(shù)1－90

0d23.連桿2到3之間的參數(shù)290

0d304.連桿3到4之間的參數(shù)30

005.連桿4到5之間的參數(shù)4－90

006.連桿5到6之間的參數(shù)590

00由相鄰連桿間變換矩陣變換公式：得到相鄰連桿之間的變換矩陣：式中，，表示對(duì)該關(guān)節(jié)i的變量求余弦值和正弦值。從而得到各連桿到基座的變換矩陣：其中符號(hào)項(xiàng)：2.2.4機(jī)械手逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析機(jī)械手逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的定義：已知手部到達(dá)某確定位姿的前提下，求解各個(gè)關(guān)節(jié)的變量值的問(wèn)題。以斯坦福機(jī)械手的手部位姿為例進(jìn)行分析已知斯坦福機(jī)械手的手部位姿矩陣：求各關(guān)節(jié)變量值：求解過(guò)程如下：由機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)可知求用左乘上式，對(duì)比左右等式的第3行、第4列元素，可得采用三角代換令：，式中，；進(jìn)行三角代換后解得式中，正、負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解對(duì)應(yīng)于的兩個(gè)可能解。根據(jù)同樣的方法，分別用的逆矩陣左乘兩側(cè)，利用矩陣元素相等建立相關(guān)的方程組，可得到其他各關(guān)節(jié)變量如下：機(jī)械手逆向求解的注意事項(xiàng)：（1）在求解關(guān)節(jié)變量的過(guò)程中如出現(xiàn)反正切函數(shù)的分子和分母太小，則計(jì)算結(jié)果誤差會(huì)很大，此時(shí)應(yīng)重新選擇矩陣元素建立新的方程組后再進(jìn)行計(jì)算，直到獲得滿意的結(jié)果為止。同樣，如果計(jì)算結(jié)果超出了機(jī)械手關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，也需要重新計(jì)算，直到符合機(jī)械手關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍。機(jī)械手逆向求解的注意事項(xiàng)：（1）在求解關(guān)節(jié)變量的過(guò)程中如出現(xiàn)反正切函數(shù)的分子和分母太小，則計(jì)算結(jié)果誤差會(huì)很大，此時(shí)應(yīng)重新選擇矩陣元素建立新的方程組后再進(jìn)行計(jì)算，直到獲得滿意的結(jié)果為止。同樣，如果計(jì)算結(jié)果超出了機(jī)械手關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，也需要重新計(jì)算，直到符合機(jī)械手關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍。（2）由于機(jī)械手各關(guān)節(jié)變量相互耦合，后面計(jì)算的關(guān)節(jié)變量與前面的關(guān)節(jié)變量有關(guān)，因此，當(dāng)前面關(guān)節(jié)變量的計(jì)算結(jié)果發(fā)生變化時(shí)，后面關(guān)節(jié)變量計(jì)算的結(jié)果也會(huì)發(fā)生變化，所以逆運(yùn)動(dòng)方程的解不是唯一的，我們應(yīng)該根據(jù)機(jī)械手的組合形態(tài)和各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，經(jīng)過(guò)多次反復(fù)計(jì)算，從中選擇一組合理的解。由此可見(jiàn)，求解機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)十分復(fù)雜的過(guò)程。2.3機(jī)械手速度分析機(jī)械手瞬時(shí)速度分析的定義：對(duì)某一時(shí)刻機(jī)械手運(yùn)動(dòng)速度和關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換和分析對(duì)機(jī)械手位姿的齊次變換矩陣作微分可以用來(lái)分析機(jī)械手某連桿坐標(biāo)系微小運(yùn)動(dòng)到另一連桿坐標(biāo)系微小運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。分別就機(jī)械手雅克比矩陣的速度分析方法和機(jī)械手矢量積的速度分析方法進(jìn)行分析并用實(shí)例進(jìn)行講解分析。2.3.1機(jī)械手雅克比矩陣的速度分析方法機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)可以看做是一個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，設(shè)機(jī)械手最末端的連桿坐標(biāo)系為坐標(biāo)系

6，那么該連桿的速度可以表示為坐標(biāo)系6坐標(biāo)原點(diǎn)的速度矢量及其平移運(yùn)動(dòng)矢量，以及坐標(biāo)系6轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量，這兩部分速度稱為連桿6的廣義速度。其中坐標(biāo)原點(diǎn)速度矢量可以表示為，表示其在基坐標(biāo)系中的

xyz

三個(gè)方向的速度投影分量。轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量可以表示為，表示連桿6在某時(shí)刻繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量，二者合并起來(lái)表示為稱為該連桿的廣義速度矢量。機(jī)械手末端連桿的運(yùn)動(dòng)速度可以完全由各個(gè)關(guān)節(jié)的速度來(lái)確定，設(shè)某6自由度機(jī)械手關(guān)節(jié)變量為，則（2.23）于是有

（2.24）J稱為從關(guān)節(jié)空間到操作空間的雅可比矩陣。其中：（2.25）（2.26）分別表示平移速度雅可比矩陣和旋轉(zhuǎn)速度雅可比矩陣。（1）雅可比矩陣平移速度部分的求解。平移速度可以表示為由于（其中表示從連桿6到基座0的變換矩陣的第1行4列），可得（2.27）由此可見(jiàn)，可以通過(guò)對(duì)連桿變換矩陣中的位置變換部