幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)

總復(fù)習(xí)

張小向

線性代數(shù)與解析幾何

東南大學(xué)國家級精品課程一.行列式二.矩陣三.向量四.線性方程組五.二次型六.在幾何中的應(yīng)用內(nèi)容提要

一.行列式

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式

行列式

定義

性質(zhì)

計(jì)算

方程組

秩

秩

極大無關(guān)組

線性相關(guān)性

特征多項(xiàng)式

伴隨矩陣

逆矩陣

應(yīng)用

克拉默法則

面積/體積

矩陣

向量組

叉積/混合積

幾何

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式

行列式

的

定義

低階

一般

一階

遞推公式

排列組合a11A11+a12A12+…+a1nA1na11A11+a21A21+…+an1An1

數(shù)

二階

三階

對角線法則

行列式的性質(zhì)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式性質(zhì)1.互換行列式中的兩列,行列式變號.推論.若行列式D中有兩列完全相同,則

D=0.性質(zhì)2.(線性性質(zhì))(1)det(

1,…,k

j,…,

n)=kdet(

1,…,

j,…,

n);(2)det(

1,…,

j+

j,…,

n)=det(

1,…,

j,…,

n)+det(

1,…,

j,…,

n).

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式推論.若行列式D中有兩列元素成比例,則

D=0.性質(zhì)3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不變.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式性質(zhì)4.設(shè)A,B為同階方陣,則|AB|=|A||B|.性質(zhì)5.設(shè)A方陣,則|AT|=|A|.注:根據(jù)方陣的性質(zhì)5,前面幾條關(guān)于列的性質(zhì)可以翻譯到行的情形.例如:性質(zhì)1’.互換行列式中的兩行,行列式變號.注(1)若A為n階方陣(n>1),且|A|=a,

則|A*||A|=|A*A|=|aE|=an.注(3)|P1AP|=|P1|

|A||P|=|P|1

|A||P|=|A|.注(2)若A可逆,則|A1||A|=|A1A|=|E|=1,

因而|A1|=|A|1.定理1.n階行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式性質(zhì)6.n階行列式的某一行(列)元素與另一行(列)的對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)一.行列式5.升階.3.按某一行(列)展開—降階.4.遞推/歸納.

行列式的計(jì)算

1.二,三階行列式—對角線法則.2.利用初等變換化為三角形或分塊三角形.AO

CB=|A|

|B|.ACOB=|A|

|B|,

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

二.矩陣

矩陣

運(yùn)算

分塊運(yùn)算

初等變換

線性方程組

向量空間

應(yīng)用

標(biāo)準(zhǔn)形

規(guī)范形

正定性

向量組

秩

線性表示

線性相關(guān)性

二次型

特征值特征向量

相似

秩

齊次

非齊次

線性變換

坐標(biāo)變換

基變換

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣運(yùn)算前提條件定義性質(zhì)加法A+BA與B是同類型的對應(yīng)元素相加A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+O=A;A+(

A)=O數(shù)乘kAk是一個(gè)數(shù)用k乘A的每一個(gè)元素k(lA)=(kl)A;(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;(

1)A=A乘法ABA的列數(shù)=B的行數(shù)(aij)m

l(bij)l

n=(cij)m

ncij=(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(kA)B=k(AB)冪AmA是方陣,m是正整數(shù)A1=A,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l;(Ak)l=Akl轉(zhuǎn)置AT無(aij)m

l

T=(aji)l

m(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT多項(xiàng)式f(A)A是一個(gè)方陣,f(x)=asxs+…+a1x+a0f(A)=asAs+…+a1A+a0IA

=

(

)f(A)

=f(

)

,A

=

(

),f(A)

=O

f(

)=0行列式|A|A是一個(gè)方陣

,|A

1|=|A|

1逆矩陣A

1A是一個(gè)方陣且|A|

0若AB=BA=I則B=A

1唯一性,(A

1)

1=A,(A

1)m=(Am)

1,(AT)

1=(A

1)T,(kA)

1=k

1A

1,

(AB)

1=B

1A

1,滿秩,特征值

0

矩陣的運(yùn)算

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣行矩陣A1

n:只有一行,又名行向量.列矩陣An

1:只有一列,又名列向量.零矩陣:每個(gè)元素都是0,常記為Om

n或O.初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得.方陣:行數(shù)=列數(shù).對稱矩陣:AT=A.對角矩陣:diag{

1,

2,…,

n},常用表示.

數(shù)量矩陣:kE,kI,其中k為常數(shù).單位矩陣:主對角線元素都是1,其余元素都是0,

常記為E或I.反對稱矩陣:AT=

A.

正交矩陣:QTQ=QQT=E.正定矩陣:AT=A且

x

有xTAx>0.可逆矩陣:AB=BA=E.

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

矩陣的乘積

向量組之間的線性表示(系數(shù)矩陣)

線性變換的合成(z=By=BAx)

二次型的矩陣表達(dá)式(f(x)=xTAx)

不滿足消去律

結(jié)合律的妙用

不滿足交換律

線性方程組的矩陣表達(dá)式(Ax=b)

兩組基之間的聯(lián)系(過渡矩陣)

有非平凡的零因子

應(yīng)用

定義

性質(zhì)(

T)k

(P1AP)k

向量的內(nèi)積(

,=

T

)

實(shí)際問題(背景)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣值得注意的現(xiàn)象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(5)“AB=AC且A

O”推不出“B=C”.(2)(AB)2和A2B2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:(10)02

=0

=(10)

03

,但,02

03

又如:=10000002

0000,10000003

=.0002

0003

但

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

逆矩陣n階方陣A可逆的充要條件定義:AB=BA=I

存在方陣B使AB=I存在方陣B使BA=I|A|

0Ax=

只有零解Ax=b

有唯一解秩(A)=nA的行(列)向量組線性無關(guān)A與I相抵(等價(jià))A為有限多個(gè)初等矩陣的乘積A的特征值全非零

計(jì)算A

1

利用伴隨矩陣?yán)贸醯茸儞Q(A

1)

1=A唯一性(A

1)m=(Am)

1(AT)

1=(A

1)T(kA)

1=k

1A

1(AB)

1=B

1A

1|A

1|=|A|

1若A可逆,則秩(AB)=秩(B)秩(CA)=秩(C)

是A的特征值

1是A

1的特征值n階可逆矩陣的性質(zhì)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行最簡形——單位矩陣E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A

1

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行最簡形——單位矩陣E.下面用初等變換解矩陣方程AX=B.注意到X=A

1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A

1B=X

分塊矩陣

初等行變換

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

加法

逆矩陣

乘法

數(shù)乘

轉(zhuǎn)置

行列式用初等行變換求A1(A,E)

(E,A1)解AX=B(A,B)

(E,A1B)Ax=b的增廣矩陣(A,b)

向量組矩陣矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形(Jordan標(biāo)準(zhǔn)形)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形Em

n(r)分塊矩陣運(yùn)算應(yīng)用

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

轉(zhuǎn)置A=A11…A1t………As1…AstAT=A11

…

A1tA1t

…

AstTTTT……

加法

數(shù)乘

逆矩陣

行列式

乘法

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

行列式其中A,B都是方陣.也未必成立,例如A

C

O

B

=|A|

|B|,A

OCB

=|A|

|B|,但即使A,B,C,D都是方陣,A

CDB

=|A|

|B|

|C|

|D|00

10

00

01

1000

0100

=

100000

01

00

100100

=10000100

00

1000

01=1.A1

…At

分塊對角矩陣的行列式=|A1|…|At|.

加法

數(shù)乘

乘法

逆矩陣

轉(zhuǎn)置

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣矩陣的分塊運(yùn)算

逆矩陣若A1,…,At都是可逆方陣A1

…At

1.=A1

…At

11(不必是同階的),則

加法

數(shù)乘

乘法

轉(zhuǎn)置

行列式

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

與初等矩陣的聯(lián)系

解矩陣方程

求逆矩陣

可逆性

解線性方程組求L(

1,…,

s)的基和維數(shù)

求矩陣的秩

保矩陣的秩

求合同標(biāo)準(zhǔn)形

求極大無關(guān)組矩陣的初等變換

求向量組的秩

性質(zhì)

分類

初等行變換

初等列變換

線性方程組的初等變換

來源

應(yīng)用

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

矩陣的秩

最高階非零子式的階數(shù)

行向量組的秩

列向量組的秩r(A)=r(AT)A與B等價(jià)

r(A)=r(B)P與Q可逆

r(A)=r(PAQ)max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B)

A與B相似

r(A)=r(B)A與B合同

r(A)=r(B)r(A+B)r(A)+r(B)

r(A)+r(B)nr(As

nBn

t)r(A),r(B)

不等式

等式

行空間的維數(shù)

列空間的維數(shù)

定義

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

特征值

和

特征向量

|

E–A|=|

E–(P1AP)|

i=tr(A),

i=|A|A可逆

A的特征值全不為零,此時(shí)A

=

A1

=

1

|

E–A|=|

E–AT|A

=

f(A)

=f(

)

對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)AT=A

R且對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交

性質(zhì)

應(yīng)用

計(jì)算

定義相似對角化

用A=P1

P

計(jì)算Ak

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

|

E–A|=0

(

E–A)x=0

A

=

其中

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程|

E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多項(xiàng)式

E–A

特征矩陣

特征值

特征向量n階方陣

非零向量

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣計(jì)算|

E–A|例4.A=211121112,

–2–1–1

–1

–2–1

–1–1

–2例3.A=1230

4

0

567,|

E–A|=

–1–2–3

0

–4

0

–5–6

–7=(

–4)….例1.A=123045006

,|

E–A|=

–1

–2–30

–4

–500

–6

=(

–1)(

–4)(

–6).=

–4

–4

–4

–1

–2–1

–1–1

–2=(

–4)….例2.A=120

04

0

356

,|

E–A|=

–1

–200

–4

0

–3–5

–6

=(

–1)(

–4)(

–6).例5.A=1–2–210–31–1–2,

–12

2

–1

3

–1

1

+2=

–12

2

0

–1

–

+1

–1

1

+2=(

–1)….

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)二.矩陣

相似矩陣

反身性,對稱性,傳遞性A~B

A

B(相抵/等價(jià))A~B

|A|=|B|A~B

r(A)

=r(B)A~B

多項(xiàng)式f(A)~f(B)

A~B

|

E–A|=|

E–B|

性質(zhì)

A與B相似(A~B):存在可逆陣P使P

1AP=BA~Btr(A)

=tr(B)

定義

相似對角化An

n有n個(gè)不同的特征值

An

n~對角陣

An

n~對角陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

實(shí)對稱矩陣一定可以正交相似對角化

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)

矩陣之間的三種等價(jià)關(guān)系相抵(又稱等價(jià))相似

相合(又稱合同)定義

設(shè)A,B為兩個(gè)m

n矩陣,若A可經(jīng)過有限次初等變換化為B,即存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q,使得PAQ=B,則稱A與B相抵(等價(jià)).設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣,若存在n階可逆矩陣P,使得P

1AP=B,則稱A與B相似.設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣,若存在n階可逆矩陣P,使得PTAP=B,則稱A與B相合(合同).不變量

秩秩,特征多項(xiàng)式,特征值,跡,行列式一般情況:秩實(shí)對稱矩陣:正慣性指數(shù)二.矩陣

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)相抵(等價(jià))相似

相合(又稱合同)標(biāo)準(zhǔn)形/規(guī)范形

若m

n矩陣A的秩為r,則其相抵標(biāo)準(zhǔn)形為一般情況:Jordan矩陣若A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則其相似標(biāo)準(zhǔn)形為:其中

1,

2,…,

n為A的全部特征值.若A為實(shí)對稱矩陣,則其相合標(biāo)準(zhǔn)形為:若A為實(shí)對稱矩陣,則其相合規(guī)范形為:其中p+q=秩(A).A與單位矩陣相抵

A可逆

|A|0…A與單位矩陣E相似

A=EA與單位矩陣相合

A正定Ir

OO

O

1

2

n…k1k2kn…Ip

IqO二.矩陣

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)相抵(又稱等價(jià))相似

相合(又稱合同)判別

A與B相抵的大前提是它們是同類型的,但不要求一定是方陣.

A與B相似的大前提是它們是同階方陣.

矩陣A與B相合的大前提是它們是階方陣.容易證明與對稱矩陣相合的矩陣一定是對稱的.若A與B不是同類型的,肯定不會(huì)相抵.若同類型的矩陣A與B的秩不相等,則它們不相抵.若矩陣A與B的秩(或:跡,行列式)不相等,則它們不相似.若兩個(gè)同階方陣A與B的秩(或:跡,行列式)相等,再進(jìn)一步比較它們的特征值,若它們的特征值不完全相同,則它們不相似.若矩陣A與B的秩不相等,則它們不相合.若兩個(gè)同階方陣A與B的中一個(gè)是對稱的,而另一個(gè)不是對稱的,則它們不相合.若兩個(gè)同階實(shí)對稱矩陣A與B的正慣性指數(shù)不相等,則它們不相合.若A與B是同類型的,且秩相等,則它們相抵.

若方陣A與B的相似標(biāo)準(zhǔn)形相同,則它們相似.

若兩個(gè)同階實(shí)對稱矩陣A與B的秩相等,正慣性指數(shù)也相等,則它們相合.二.矩陣

幾個(gè)概念之間的聯(lián)系

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量

三.向量

線性運(yùn)算

度量

內(nèi)積

線性映射

向量

向量組

矩陣

線性方程組

代數(shù)向量

幾何向量

線性組合

線性表示

線性相關(guān)性

基

維數(shù)

極大無關(guān)組

秩

向量空間

長度

夾角

單位向量

正交

線性變換

正交變換

正交矩陣Schmidt正交化方法

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量n維向量的概念

n維向量

本質(zhì)

表現(xiàn)形式

幾何背景

n個(gè)數(shù)a1,a2,…,an構(gòu)成的有序數(shù)組

向量/點(diǎn)的坐標(biāo)

列矩陣

行矩陣

行向量

列向量

分量

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量列向量組:

1,

2,…,

s

矩陣A=(

1,

2,…,

s)

矩陣A的秩

向量組

1,

2,…,

s的秩

r(

1,

2,…,

s)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量行向量組:

1,

2,…,

s

矩陣A的秩

向量組

1,

2,…,

s的秩

矩陣A=

1

2

s…r(

1,

2,…,

s)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量r(

1,

2,…,

s)

sr(

1,

2,…,

s)

<sr(

1,

2,…,

s)

=s

1,

2,…,

s

線性無關(guān)

1,

2,…,

s

線性相關(guān)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans=(

1,

2,…,

s),

=b1b2bn…

,x=x1x2xs…,a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量=b1

b2

…bn=

a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

a11a21…an1=x1+x2a12a22…an2+…+xsa1sa2s…ans

a11x1+a12x2+…+a1sxs

a21x1+a22x2+…+a2sxs…

………an1x1+an2x2+…+ansxs

=x1

1+x2

2+…+xs

s

Ax=

有解

能由

1,

2,…,

s

線性表示Ax=

有非零解

1,

2,…,

s

線性相關(guān)

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量矩陣的乘積Cm

n

=

Am

sBs

n,=行向量

i=ai1

1

+ai2

2

+…+ais

s,i=1,2,…,m.列向量

j=b1j

1

+b2j

2

+…+bsj

s,j=1,2,…,n,向量組的線性表示:

向量組的線性表示與矩陣乘積

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量設(shè)A與B是同類型的矩陣,但是反過來,都未必成立.例如:(1)若它們的行向量組等價(jià),則r(A)=r(B),從而可得A與B等價(jià)(相抵).(2)若它們的列向量組等價(jià),則r(A)=r(B),從而可得A與B等價(jià)(相抵).則A與B等價(jià)(相抵),但它們的行向量組不等價(jià),A=1000,B=0001,列向量組也不等價(jià).

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量其中

1,…,

s是維數(shù)相同的列向量(

1,

2,…,

s也是維數(shù)相同的列向量),則

1,…,

s也是線性相關(guān)的.

一些常用的結(jié)論

(1)含有零向量的向量組一定線性相關(guān).(2)單個(gè)向量

構(gòu)成的向量組線性相關(guān)

=

.(3)兩個(gè)向量

,

線性相關(guān)

與

的分量成比例.(4)若

1,…,

s線性相關(guān),則

1,…,

s,

s+1,…,

t也線性相關(guān).

若

1,…,

s,

s+1,…,

t線性無關(guān),則

1,…,

s也線性無關(guān).

(5)任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).(6)如果向量組,…,線性相關(guān),

1

1

s

s

線性無關(guān).若

1,

2,…,

s線性無關(guān),則,…,

1

1

s

s

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量則I0與I等價(jià).(7)向量組

1,…,

s

(s

2)線性相關(guān)的充分必要條件是:其中至少有某一個(gè)向量可由其余的向量線性表示.(8)若向量組

1,…,

s線性無關(guān),而

1,…,

s,

線性相關(guān),則

一定能由

1,…,

s線性表示,且表示的方式是唯一的.(9)若向量組I:

1,…,

s可由向量組II:

1,…,

t

線性表示,并且s>t,則向量組I是線性相關(guān)的.(10)若

1,…,

s線性無關(guān),且可由

1,…,

t線性表示,則s

t.(11)若向量組

1,…,

s和

1,…,

t都線性無關(guān),并且這兩個(gè)向量組等價(jià),則s=t.(12)設(shè)I0:

1,…,

r是向量組I:

1,…,

s的一個(gè)極大無關(guān)組,

一些常用的結(jié)論

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)三.向量這兩個(gè)向量組的秩都是2,但它們不等價(jià).事實(shí)上,I中的不能由II線性表示.)例如:

一些常用的結(jié)論

(13)若向量組I:

1,…,

s可由向量組II:

1,…,

t線性表示,則秩(I)秩(II);若這兩個(gè)向量組等價(jià),則秩(I)=秩(II).(注:一般情況下,兩個(gè)向量組的秩相等時(shí),它們未必等價(jià)!,1000I:;0100II:,0010,00011000

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)四.線性方程組

四.線性方程組

基本概念

基本理論

應(yīng)用(非)齊次線性方程組

基礎(chǔ)解系

解空間(非)零解

解的存在性與通解的結(jié)構(gòu)

研究線性相關(guān)性

線性表示,求坐標(biāo)

求矩陣的特征向量

平面的位置關(guān)系

特解

解(向量)

通解

系數(shù)矩陣

增廣矩陣

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)四.線性方程組定理1.設(shè)A

Rm

n.若m<n(方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)),則齊次線性方程組Ax

=

有非零解,且其通解中至少含n

m個(gè)自由未知量.性質(zhì)1.若

,

都是Ax=

的解向量,則

+

也是Ax=

的解向量.性質(zhì)2.若

是Ax=

的解向量,k

R,則k也是Ax=

的解向量.定理2.設(shè)ARm

n,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=

沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=

確有基礎(chǔ)解系,

且任一基礎(chǔ)解系中均含有n

r個(gè)解向量.

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)四.線性方程組解齊次線性方程組Am

nx=

的一般步驟性質(zhì)3.與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系.性質(zhì)4.若ARm

n,秩(A)=

r,則Ax=

的任意n

r個(gè)

線性無關(guān)的解向量都是Ax=

的基礎(chǔ)解系.A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡形

解最簡方程只有零解N初等行變換Y

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)四.線性方程組定理3.設(shè)ARm

n,bRm,則(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);

(2)當(dāng)秩