幾何學(xué)與數(shù)學(xué)教育

幾何學(xué)與數(shù)學(xué)教育

蒲志林（四川師范大學(xué)）

數(shù)學(xué)國培計(jì)劃班2014、09前言■數(shù)學(xué)：空間形式/數(shù)量關(guān)系所謂空間：就是各種各樣的幾何學(xué)。

前言幾何學(xué)在數(shù)學(xué)中，特別是在20世紀(jì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中占有重要地位，這可以從近50年來菲爾茲的獲獎工作便可知道。幾何學(xué)與物理學(xué)之間的密切關(guān)系已為世人所知。前言近年來，由于信息科學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，在物理學(xué)之外的許多新興學(xué)科中也出現(xiàn)了系統(tǒng)利用幾何學(xué)知識的現(xiàn)象，例如：在量子計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，使用了許多拓?fù)鋵W(xué)的知識；在機(jī)器人理論領(lǐng)域中，需要關(guān)于李群的系統(tǒng)的拓?fù)浜蛶缀沃R；前言在編碼學(xué)和信息安全領(lǐng)域中，需要用到深刻的代數(shù)曲線理論；等等。前言但是，由于歷史的原因和認(rèn)識的偏差，我們從中小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)教育，關(guān)于幾何學(xué)的教育越來越薄弱，沒有受到足夠重視！幾何學(xué)的重要性幾何是很重要的，因?yàn)榇蠹矣X得幾何就是數(shù)學(xué)。比方說，現(xiàn)在還有這一印象，法國的科學(xué)院，它的數(shù)學(xué)組叫做幾何組。對于法國來講，搞數(shù)學(xué)的不稱數(shù)學(xué)家，而叫幾何學(xué)家，這都是受當(dāng)時(shí)幾何的影響。前言■一個(gè)永恒的科學(xué)主題——我們生活的宇宙空間究竟怎么樣？

各種各樣的幾何學(xué)是描摹宇宙的數(shù)學(xué)框架。前言按照辯證唯物主義的觀點(diǎn)：

空間----是物質(zhì)存在的普遍形式?，F(xiàn)實(shí)世界中的萬事萬物都存在于空間之中，在其中運(yùn)動、變化和發(fā)展。這種現(xiàn)實(shí)的空間就是通常所說的三維歐幾里得空間。前言19世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)都是在三維或低于三維的空間中討論的。19世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)家開始引入高于三維的多維空間，并逐步建立起了多維空間的幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)。進(jìn)入20世紀(jì)，數(shù)學(xué)中又引進(jìn)了無限維空間，并開始研究無限維空間上的幾何、代數(shù)和分析問題。幾何學(xué)的起源講到幾何學(xué)，我們第一個(gè)想到的是歐幾里德。很可惜的是關(guān)于歐幾里德的身世我們知道得很少，只知道他大概生活在紀(jì)元前三百年左右。他是亞歷山大學(xué)校的幾何教授，他的《幾何原本》大概是當(dāng)時(shí)的一個(gè)課本。亞歷山大大學(xué)是希臘文化最后集中的一個(gè)地方。歐氏幾何學(xué)歐幾里得的巨著《幾何原本》，是第一本系統(tǒng)研究幾何的書，而且并不僅僅是幾何，而是整個(gè)數(shù)學(xué)。因?yàn)槟菚r(shí)候的數(shù)學(xué)還沒有發(fā)現(xiàn)微積分。《幾何原本》全書分13卷，有5條“公理”或“公設(shè)”、23個(gè)定義和467個(gè)命題。歐氏幾何學(xué)■按照哲學(xué)原理時(shí)間是沒有起點(diǎn)的。但是人們可以人為地選擇一個(gè)標(biāo)志性時(shí)間作為計(jì)算的原點(diǎn)——公元零年。此前的時(shí)間無限，此后的時(shí)間也是無限的。■時(shí)間的幾何模型是一維的直線。沒有開端也沒有終結(jié)。一個(gè)具體的時(shí)刻（某年某月某日某時(shí)某分某秒）用數(shù)字表示，便是一個(gè)有理數(shù)。另一方面，時(shí)間與時(shí)間之間是連續(xù)的，沒有“非時(shí)間”的空隙存在。時(shí)間和實(shí)數(shù)集構(gòu)成一一對應(yīng)?！?/p>

歐幾里德幾何學(xué)歐幾里得點(diǎn)、線、面、角、園、三角形等23個(gè)定義后，選擇了5條公設(shè)和5條公理。公理是適用于一切科學(xué)的真理，公設(shè)則只適用于幾何學(xué)。

■

歐幾里德幾何學(xué)

歐幾里得所選擇的5條公理是：

（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。■

歐幾里德幾何學(xué)歐幾里得所選擇的5條公設(shè)是：（1）從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可無限延長；（3）以任意中心和任意一個(gè)距離為半徑可以作一個(gè)圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小雨兩直角，那么把兩直線無限延長，他們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交?！?/p>

歐幾里德幾何學(xué)歐幾里得本人對第五公設(shè)的敘述似乎并不是十分喜歡的。因?yàn)橄鄬τ谄渌臈l公設(shè)來說，第五公設(shè)的敘述比較復(fù)雜，雖然沒有人懷疑它的真理性，但是不像其它公設(shè)那樣有說服力。通常，第五公設(shè)還可以敘述成如下等價(jià)的平行公設(shè)：（5）^若一條直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和等于兩直角，那么把這兩條直線無論如何延長，它們都不會相交?！?/p>

歐幾里德幾何學(xué)歐幾里得選擇的公理和公設(shè)具有非凡的優(yōu)點(diǎn)，不膚淺，又可以被人們立刻接受，從它們出發(fā)可以導(dǎo)出深刻的結(jié)論，得到整個(gè)幾何學(xué)系統(tǒng)，一座精美的大夏就嚴(yán)密地建立了起來。更重要的是，歐幾里得幾何學(xué)的創(chuàng)立，對人類的貢獻(xiàn)不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的美妙的定理，更主要的是孕育出了一種理性精神。歐幾里得幾何學(xué)被認(rèn)為是數(shù)學(xué)發(fā)展史四個(gè)高峰的第一個(gè)高峰。

■

歐幾里德幾何學(xué)歐幾里德幾何學(xué)已經(jīng)沿用了二千多年，至今中學(xué)教材中的幾何內(nèi)容還是與早在公元前３００年左右的歐幾里德所寫的“幾何原本”的內(nèi)容基本一致。

歐氏幾何學(xué)與公理化數(shù)學(xué)歐幾里得用公理化方法建立起來幾何學(xué)，是數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。在之后的2000多年間，這一嚴(yán)格的思維形式，不僅用于數(shù)學(xué)，也用于其他科學(xué)，甚至用于神學(xué)、哲學(xué)和倫理學(xué)中。歐氏幾何學(xué)至高無尚的價(jià)值自面世之后，《幾何原本》歷經(jīng)多次翻譯和修訂，至今已有1000多種不同的版本，據(jù)說它的發(fā)行量曾僅次于《圣經(jīng)》而位居第二。我想歐幾里得當(dāng)初研究的動機(jī)肯定不是任何實(shí)際應(yīng)用，而是美的追求，真理的追求。后來事實(shí)證明，他的成果應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。

數(shù)學(xué)發(fā)展史的四個(gè)高峰公元前300年的歐幾里德《幾何原本》——對人類的影響至今不衰；微積分的發(fā)明和應(yīng)用——是人類思辯能力的高峰；１９世紀(jì)至２０世紀(jì)初的公理化數(shù)學(xué)——法國大革命帶來了偉大的法國數(shù)學(xué)學(xué)派；以計(jì)算機(jī)技術(shù)為基礎(chǔ)的當(dāng)代數(shù)學(xué)。非歐幾里得幾何學(xué)長期以來，關(guān)于歐幾里德幾何公理體系的完備性、無矛盾性引起了很多數(shù)學(xué)家的興趣，特別是歐幾里德的第五公設(shè)（平行公設(shè)）是否與其它公設(shè)獨(dú)立的問題，即平行公設(shè)能否用其它的公設(shè)推導(dǎo)出來的研究更導(dǎo)致了非歐幾何學(xué)的誕生，其中決定性的工作應(yīng)歸功于J。Bolyai（匈牙利）和N.I.Lobachevsky（俄國）。非歐幾里德幾何學(xué)很多學(xué)者（包括一些著名數(shù)學(xué)家）曾宣稱證明了平行公設(shè)能用其它公設(shè)推導(dǎo)出來，但最后發(fā)現(xiàn)這些論證都是不正確的。對歐氏幾何中平行公設(shè)的研究，導(dǎo)致非歐幾何學(xué)的誕生。例如，球面上的幾何學(xué)（以大圓作“直線”看）就不滿足歐氏幾何的公理體系。非歐幾里德幾何學(xué)非歐氏幾何的創(chuàng)立使人們認(rèn)識到數(shù)學(xué)空間和物理空間的區(qū)別，歐氏空間不再是描寫物理空間唯一正確的數(shù)學(xué)模式，它的公理系統(tǒng)不能認(rèn)為是先驗(yàn)的“真理”，它只是歐幾里得根據(jù)經(jīng)驗(yàn)明智地提出來的一種先驗(yàn)假定，非歐氏幾何的公理同樣也是一種合理的先驗(yàn)假定。

解析幾何學(xué)的誕生推動幾何學(xué)第二個(gè)重要的、歷史性發(fā)展的人是Descarte（1596~1650），中國人翻譯成為笛卡兒。他是法國哲學(xué)家，不是專門研究數(shù)學(xué)的。他用坐標(biāo)的方法，把幾何變成了代數(shù)。當(dāng)時(shí)沒有分析或者無窮的觀念。所以他就變成代數(shù)。解析幾何與線性代數(shù)笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，為歐氏空間安上了坐標(biāo)架，使數(shù)形結(jié)合了起來，解析幾何學(xué)由此誕生。所帶來的新的問題:如何選取坐標(biāo)系?平面和空間的幾何學(xué)是直觀的，但是更高維的幾何學(xué)需要新的抽象表示方法。平面向量、空間向量推廣到Ｎ維向量。用向量構(gòu)成了線性空間，矩陣成為描述幾何變換的有力工具。線性代數(shù)和幾何學(xué)成為密切的伙伴。射影幾何學(xué)■幾何圖形可以搬來搬去，不改變圖形的面積和體積。但是相似變換可以把圖形放大或縮小，面積、體積隨之而變化。把物體投影在墻上，形狀有變化的部分，也有不變的部分。這種變與不變成了幾何學(xué)的研究對象。射影幾何學(xué)成了一門學(xué)問。Ｆ．Ｋlein的觀點(diǎn)：幾何學(xué)應(yīng)當(dāng)按變換群進(jìn)行分類。Ｆ．Ｋlein的基本思想是把幾何看作某個(gè)變換群作用下的不變量。根據(jù)Ｋlein的思想，有一個(gè)變換群就有一個(gè)幾何與之對應(yīng)，歐幾里德幾何就是研究幾何圖形在歐幾里德變換群下不變的性質(zhì)和量。拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)是一種幾何學(xué)，它是研究幾何圖形的。但是，拓?fù)鋵W(xué)所研究的并不是大家最熟悉的普通的幾何性質(zhì)，而是圖形的一類特殊性質(zhì)，即所謂“拓?fù)湫再|(zhì)”。拓?fù)鋵W(xué)---幾個(gè)有趣的問題1、從一筆畫問題到七橋問題一筆畫是一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)游戲。平面上由曲線段構(gòu)成的一個(gè)圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上不重復(fù)？例如漢字：“日”、“中”都是可以一筆寫出來的，而“田”和“目”則不能一筆寫成。拓?fù)鋵W(xué)---一筆畫問題拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題著名的七橋問題：流經(jīng)格尼斯堡的普雷格河的河彎處有兩個(gè)小島，七座橋連接了兩岸和小島（如圖）。當(dāng)?shù)亓鱾饕粋€(gè)游戲：要求在一次散步中恰好通過每座橋一次。很長一段時(shí)間沒有人能做到。拓?fù)鋵W(xué)----七橋問題拓?fù)鋵W(xué)---幾個(gè)有趣問題后來大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)研究了這個(gè)游戲，他用點(diǎn)代表陸地（兩岸和島），用連接各點(diǎn)的線代表橋，得到圖中右邊的圖形。于是上述游戲變成：這個(gè)圖形能不能一筆畫成的問題了。Euler證明他是不能一筆畫成的。拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題2、地圖著色問題給地圖著色時(shí)，要把相鄰的國家（或地區(qū)）著上不同的顏色，以便容易地加以區(qū)分。那么繪圖員至少要準(zhǔn)備多少種顏色才能給任何地圖著色？這個(gè)問題看起來簡單，卻出人意料地難以解決！拓?fù)鋵W(xué)----地圖著色問題拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題從1852年由F.Guthrie提出后，知道上世紀(jì)七十年代才借助計(jì)算機(jī)得到解答！地圖著色問題同一筆畫問題一樣，具有所謂的“拓?fù)洹碧匦裕核c度量（區(qū)域的面積、邊界線的長度等）和形狀都沒有關(guān)系，關(guān)鍵是區(qū)域的個(gè)數(shù)和他們的鄰接關(guān)系：地圖經(jīng)過變形（縮放或作各種投影）所需顏色數(shù)不變！拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題3、Euler多面體定理這是立體幾何中的一個(gè)有名的定理：凸多面體的面數(shù)f,棱數(shù)l和頂點(diǎn)數(shù)v滿足Euler公式：f-l+v=2拓?fù)鋵W(xué)----歐拉多面體問題拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題表面上看，似乎它和前面的一筆畫問題、地圖著色問題不一樣，而且凸多面體是平直圖形，不能隨意變形，但只要對Euler多面體定理稍作變形，就可看出它的“拓?fù)洹碧匦粤?。拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題把多面體放進(jìn)一個(gè)大球體內(nèi)，是球心在多面體內(nèi)部。從球心作中心投影：把凸多面體的棱映射成球面上的曲線（實(shí)際上是大圓?。?，定點(diǎn)映射成球面上的點(diǎn)。這些點(diǎn)和大圓弧構(gòu)成球面上的一個(gè)圖（網(wǎng)絡(luò)），它把球面分割成f塊，有l(wèi)條枝（大圓?。┖蛌個(gè)節(jié)點(diǎn)。拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題Euler定理可以推廣為：定理：球面上一個(gè)聯(lián)通的圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)v,枝數(shù)l以及它分割球面所成的面塊數(shù)f滿足公式f-l+v=2拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題這種推廣了的Euler定理具有拓?fù)湫再|(zhì)：一方面，當(dāng)圖在球面上變形時(shí)，f,l,和v這三個(gè)數(shù)不會變化；另一方面，當(dāng)球面本身變形時(shí)（其上圖也隨著變化）f,l,和v也不會變化。球面可以變形為橢球面、葫蘆形或其它各種形狀的曲面，對這些曲面定理照樣成立。拓?fù)鋵W(xué)-----幾個(gè)有趣問題但是，有的曲面不能由球面變形而得到，例如：環(huán)面。事實(shí)上上述定理對環(huán)面不成立！對環(huán)面，相應(yīng)定理結(jié)論為：f-l+v=0.對于一些更復(fù)雜的曲面，f–l+v是個(gè)負(fù)數(shù)！拓?fù)鋵W(xué)----幾個(gè)有趣問題以上事實(shí)說明：整數(shù)f–l+v與曲面上圖的選擇無關(guān)，完全由曲面本身決定，這個(gè)數(shù)被稱為曲面的Euler數(shù)----它反映出曲面的一種幾何性質(zhì)，當(dāng)曲面被變形時(shí)，它是不會改變的！拓?fù)鋵W(xué)----一種幾何學(xué)Euler和他那個(gè)時(shí)代的其他數(shù)學(xué)家認(rèn)識到：存在著某種新的幾何性質(zhì)，它們和歐式幾何中研究的幾何性質(zhì)完全不同！這些幾何性質(zhì)涉及到圖形在整體結(jié)構(gòu)上的特性----這就是“拓?fù)湫再|(zhì)”：與幾何圖形的大小、形狀，以及所含線段的曲直等等都無關(guān)，不能用幾何方法來處理。需要一種新的幾何學(xué)----拓?fù)鋵W(xué)。微分幾何學(xué)

歐氏幾何學(xué)使用的工具很簡單，所以只能研究直線、平面、直方體。

由“直”向“曲”的進(jìn)化，來自微積分的推動。例如：用微積分的知識可以度量光滑曲線的長度。

微分幾何學(xué)

最簡單的曲面是球面，地球相當(dāng)于一個(gè)橢球面（近似）。地球上兩點(diǎn)之間以怎樣的曲線為最短？曲面上的最短線——稱為“測地線”。球面上的測地線就是大圓。微分幾何學(xué)

曲面上的幾何學(xué)——經(jīng)典的微分幾何學(xué)。Ｅular和Ｍonge對微分幾何的早期發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。

微分幾何學(xué)Ｇauss關(guān)于曲面的理論，給出了一系列的基本度量，其中最重要的是曲率——曲面上各處的彎曲程度。

Ｇauss建立了基于曲面第一基本形式的幾何，并把歐幾里德幾何推廣到曲面上“彎曲”的幾何，使微分幾何真正成為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科。曲面論的主要想法是把用參數(shù)(u，v)表示的曲面上兩個(gè)無限鄰近的點(diǎn)之間的距離ds表示成其中E，F(xiàn)，G都是參數(shù)u，v的函數(shù)。我們稱矩陣為該曲面的度量矩陣，曲面上的許多彎曲性質(zhì)都可用度量矩陣刻劃出來。流形（Ｍinifold）

從平坦的歐氏空間到彎曲的一般空間，不僅僅是彎曲程度起了變化，更重要的是整體結(jié)構(gòu)有改變。例如：球面和環(huán)面具有很不相同的整體結(jié)構(gòu)。但是，從局部看都差不多，環(huán)面上一點(diǎn)周圍的一小片和球面上一點(diǎn)周圍的一小片沒有什么大的不同，可以和歐氏平面上的一個(gè)小圓片一一對應(yīng)起來——這種把曲面看成許多小塊圓片堆積而成（堆成不同的結(jié)構(gòu)）的觀點(diǎn)，就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)家所說的流形（Ｍinifold）。

流形流形是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的概念之一，是點(diǎn)、線、面等幾何空間概念的推廣。它可以描述任何可以用局部平坦空間所覆蓋的物體。

宇宙空間原來也是一種流形。

流形（Ｍinifold）

文天祥的著名詩句：

天地有正氣雜然賦流形下則為河岳上則為日星

流形流形的整體結(jié)構(gòu)是拓?fù)鋵W(xué)的研究對象。黎曼幾何學(xué)黎曼生活在1826~1866年。德國的教學(xué)制度在博士畢業(yè)之后，為了有資格在大學(xué)教書，一定要做一個(gè)公開演講，黎曼在1854年到哥廷根大學(xué)去做教授，做了一個(gè)演講，就討論了這些問題。黎曼的這篇1854年的論文，是非常重要的，也是幾何里的一個(gè)基本文獻(xiàn)，相當(dāng)一個(gè)國家的憲法似的。黎曼幾何學(xué)黎曼是大名鼎鼎的德國數(shù)學(xué)家高斯的學(xué)生，他在1851年創(chuàng)立黎曼幾何。黎曼引進(jìn)了流形和度量的概念，證明曲率是度量的唯一內(nèi)涵不變量，具有劃時(shí)代的意義。黎曼幾何是現(xiàn)代幾何研究的基礎(chǔ)，在物理學(xué)和天文學(xué)等很多學(xué)科的研究當(dāng)中有著許許多多的應(yīng)用。黎曼幾何學(xué)■

Ｒiemann在１８５４年著名的就職演講“關(guān)于幾何學(xué)的基本假設(shè)”中，把Ｇauss的曲面內(nèi)蘊(yùn)微分幾何理論推廣到任意維空間，提出了現(xiàn)今人們稱之為“黎曼幾何學(xué)”的思想，Ｒiemann幾何就此誕生。歐氏幾何是一種簡單的黎曼幾何。首先，他提出了維流形的概念。其次，切向量dx的長度ds（稱為線元）可以是dx的分量的任意的一次齊次函數(shù)，要求該函數(shù)的值在dx的分量全部反號時(shí)不改變；并且該函數(shù)的系數(shù)與x有關(guān)（現(xiàn)在，稱這種度量為Finsler度量）。

黎曼幾何學(xué)Ｒiemann的思想引起了許多工作來處理和發(fā)展他的新幾何。流形、變換群、李代數(shù)等是描述和理解黎曼幾何的重要語言和工具，同時(shí)也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。前蘇聯(lián)一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為：曲線和曲面的微分幾何已逐漸被看成是過時(shí)的了。

黎曼（Riemann）幾何學(xué)的思想在已采用了坐標(biāo)系{x1,x2,…,xn}的n維空間中，他引入了無限鄰近的兩點(diǎn){x1,x2,…,xn}和{x1+dx1,x2+dx2,…,xn+dxn}之間的“距離”ds的概念，ds2可用dx1,dx2,…,dxn的一個(gè)正定二次型來表示：其中（gij）是一個(gè)正定矩陣。

后來，人們將這種帶有度量ds2的空間稱為黎曼（Riemann）空間。歐氏幾何是一種最簡單的黎曼幾何，這時(shí)gij=δ

ij，即利用度量ds，可以導(dǎo)出黎曼空間中曲線的弧長、區(qū)域的面積、向量的平行移動等幾何概念，并由此發(fā)展成一種嶄新的幾何學(xué)。后來，Minkowski和Lorentz等人將黎曼幾何中度量正定性的限制去掉，即(gij((x))也可以不是正定的(但要求它是非退化的)，這樣就導(dǎo)出了Lorentz幾何。這時(shí)其中矩陣（gij）是一個(gè)非正定的、但行列式不等于零的矩陣。特別地，當(dāng)時(shí)，稱這時(shí)的Lorentz空間為Minkowski空間。黎曼幾何學(xué)與相對論1915年，愛因斯坦創(chuàng)立了新的引力理論——廣義相對論，也使用到了黎曼創(chuàng)立的幾何。黎曼幾何及其運(yùn)算方法為廣義相對論研究提供了有效的數(shù)學(xué)工具。在廣義相對論中，宇宙一切物質(zhì)的運(yùn)動都可以用曲率來描述，引力場實(shí)際上就是一個(gè)彎曲的時(shí)空，而時(shí)空就是數(shù)學(xué)中的度量化的流形。

物理學(xué)與數(shù)學(xué)劉克峰：《物理激發(fā)的數(shù)學(xué)》上海世博會期間在法國館的演講2010年10月12日

物理學(xué)與數(shù)學(xué)曾經(jīng)有一些偉大的數(shù)學(xué)公式改變了人類歷史的進(jìn)程，如：牛頓的第二力學(xué)定律：F=ma愛因斯坦的質(zhì)能方程：E=mc2以及牛頓的萬有引力定律。這些公式極其簡單，卻蘊(yùn)含了萬物的相互作用和變化規(guī)律。物理學(xué)與數(shù)學(xué)今天我們能夠制造飛船登上月球，能夠利用核能量為人類服務(wù)，這些公式為此提供了重要的理論基礎(chǔ)。老子的名言：大道至簡物理學(xué)與數(shù)學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代物理密切相關(guān)。特別是，例如：（１）廣義相對論和規(guī)范場論與現(xiàn)代微分幾何理論相互依賴、互相滲透，互相促進(jìn)和發(fā)展；（２）在量子場論方面的物理學(xué)著作中，很大篇幅講述的是高維變分理論、李群；（３）黎曼幾何可以用物理觀點(diǎn)去全面處理；（４）連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、剛體理論則大量地使用了張量、群論這些現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具。物理學(xué)與數(shù)學(xué)在歷史上，最成功的兩個(gè)物理理論是：（1）量子場論——描述微觀世界里粒子的運(yùn)動規(guī)律，基本方程是Schrodinger方程。（2）廣義相對論——描述宏觀世界里星球的運(yùn)動規(guī)律，基本方程是：愛因斯坦場方程。直到19世紀(jì)末,黎曼幾何學(xué)或Lorentz幾何學(xué)仍停留在純理論的發(fā)展階段。長期以來，人們習(xí)慣地認(rèn)為歐幾里德空間是現(xiàn)實(shí)空間的一種最好的描述。牛頓就采用歐幾里德空間來描述物體所在的空間。在牛頓力學(xué)中，時(shí)間是絕對的，時(shí)間和空間是兩種類型截然不同的參量。四維時(shí)空，愛因斯坦相對論例如，在三維歐氏空間中選用笛卡爾直角坐標(biāo)系{O;x,y,z}，則物體在時(shí)刻t的空間位置可用{t;x,y,z}來表示。如果將坐標(biāo)系{O;x,y,z}沿x軸按常速a作平移運(yùn)動(無轉(zhuǎn)動)，則運(yùn)動坐標(biāo)系{O′;x′,y′,z′}與靜止坐標(biāo)系{O;x,y,z}只見的坐標(biāo)變換為于是同一質(zhì)點(diǎn)在這兩個(gè)不同坐標(biāo)系中所觀察到的速度是不同的：質(zhì)點(diǎn)在靜止坐標(biāo)系{O;x,y,z}中的速度向量與在運(yùn)動坐標(biāo)系{O′;x′,y′,z′}中的速度向量之間有如下的關(guān)系：

但是，從19世紀(jì)末新發(fā)現(xiàn)的著名的Michelson實(shí)驗(yàn)中知道，在這兩個(gè)不同的慣性系下所測到的光速（即光子的速度）卻總是相同的。這一現(xiàn)象是很難用牛頓力學(xué)的理論來解釋的?！皶r(shí)間相對論”一個(gè)鐘靜止，另一個(gè)鐘在運(yùn)動。根據(jù)相對論，接近光速運(yùn)動的鐘會走得很慢，而靜止的鐘則正常。同理，如果雙生子之一乘宇宙飛船以接近光速運(yùn)動，而另一人留在地球上，那么留在地球上的這人將會比他的兄弟老得快得多。狹義相對論1905年,愛因斯坦提出了“狹義相對論”。他把一維的時(shí)間和三維的歐氏空間放在一起考察，成為四維時(shí)空。引起了物理學(xué)的革命。他認(rèn)為四維時(shí)空中的幾何學(xué)應(yīng)該是Minkowski幾何學(xué)。愛因斯坦認(rèn)為這個(gè)四維空間的幾何學(xué)應(yīng)該是Minkowski幾何學(xué)，即兩個(gè)無限鄰近的事件{t,

x,y,z}和{t+dt,

x+dx,y+dy,z+dz}之間的“距離”(物理學(xué)中稱為“時(shí)空間隔”)，ds應(yīng)滿足而兩個(gè)慣性系之間的坐標(biāo)變換應(yīng)使無限鄰近的兩個(gè)事件的“時(shí)空間隔”保持不變。于是，愛因斯