第6講函數(shù)的奇偶性與周期性2022版高三數(shù)學(xué)

第6講函數(shù)的奇偶性與周期性課前雙基鞏固課前考點(diǎn)探究教師備用例題第二單元函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用內(nèi)容與要求1結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義2會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性3了解函數(shù)的周期性知識(shí)聚焦1函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有

,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

都有

,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

圖像特征關(guān)于

對(duì)稱

關(guān)于

對(duì)稱

f-=ff-=-fy軸原點(diǎn)2函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有,那么就稱函數(shù)y=f為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期

2最小正周期如果在周期函數(shù)f的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就叫作f的最小正周期

fT=f最小的正數(shù)最小正數(shù)常用結(jié)論4已知函數(shù)f滿足f3=f,當(dāng)∈時(shí),f=log424,則f2019=

1=fa是偶函數(shù),則函數(shù)y=f的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;若函數(shù)y=gb是奇函數(shù),則函數(shù)y=g的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱

的圖像關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱,f25=2,則f-05=

探究點(diǎn)一函數(shù)奇偶性及其延伸微點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷

利用函數(shù)的奇偶性可以解決以下問題:1求函數(shù)值:將待求函數(shù)值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值2求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式區(qū)間上,再利用奇偶性的定義求出3求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f±f-=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得方程組,進(jìn)而得出參數(shù)的值4畫函數(shù)圖像:利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖像5求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值例31已知函數(shù)f,g的定義域都為R,且f是奇函數(shù),g是偶函數(shù),設(shè)h=|f1|g1,則下列結(jié)論中正確的是 Ah的圖像關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱Bh的圖像關(guān)于點(diǎn)-1,0對(duì)稱Ch的圖像關(guān)于直線=1對(duì)稱Dh的圖像關(guān)于直線=-1對(duì)稱微點(diǎn)3奇偶性延伸到其他對(duì)稱性問題從平移角度說說對(duì)稱性問題

由奇偶性延伸所得對(duì)稱性問題的常見結(jié)論有:1若函數(shù)y=f為奇函數(shù)或偶函數(shù),則函數(shù)y=fa的圖像關(guān)于點(diǎn)-a,0對(duì)稱或關(guān)于直線=-a對(duì)稱;2若函數(shù)y=fa為奇函數(shù)或偶函數(shù),則函數(shù)y=f的圖像關(guān)于點(diǎn)a,0對(duì)稱或關(guān)于直線=a對(duì)稱探究點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用

變式題2多選題函數(shù)f的定義域?yàn)镽,若f1與f-1都是奇函數(shù),則 Af是偶函數(shù) Bf是奇函數(shù)Cf的周期為4 Df3是奇函數(shù)1注意周期性的常見表達(dá)式的應(yīng)用2根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式或函數(shù)值得到整個(gè)定義域內(nèi)的解析式或相應(yīng)的函數(shù)值3在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則T∈且≠0也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用探究點(diǎn)三以函數(shù)性質(zhì)的綜合為背景的問題

微點(diǎn)1奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合

1比較函數(shù)值的大小問題,可以利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小;2對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解,應(yīng)變形為f1>f2的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常規(guī)不等式如1<2或1>2求解

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型三高頻考點(diǎn)命題點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合例42017·全國(guó)Ⅰ改編函數(shù)f在－∞，＋∞上單調(diào)遞減，1＝－1，則滿足－1≤f－2≤1的的取值范圍是________【備選理由】例1考查抽象函數(shù)的周期性和奇偶性的判斷,注意運(yùn)用定義法,考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力;例2考查了函數(shù)圖像對(duì)稱性的應(yīng)用,結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)圖像的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵,是對(duì)正文例3對(duì)稱性學(xué)習(xí)的補(bǔ)充;例3、例4主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用,解抽象函數(shù)不等式的問題有兩種方法,一種是將函數(shù)表達(dá)式直接寫出,解不等式即可,一種是通過研究函數(shù)的單調(diào)性直接將不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系命題點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性相結(jié)合例6已知定義在R上的函數(shù)f，對(duì)任意實(shí)數(shù)有f＋4＝－f，若函數(shù)f－1的圖象關(guān)于直線＝1對(duì)稱，f－2＝2，則f2018＝________例7已知f的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于＝－1對(duì)稱，且f＋4＝f－2若當(dāng)∈時(shí)，f＝6－，則f919＝_______22018·全國(guó)Ⅱ已知f是定義域?yàn)椋?，＋∞的奇函?shù)，滿足f1－＝f1＋若f1＝2，則f1＋f2＋f3＋…＋f50等于A－50 B0 C2 D503已知函數(shù)y＝f是R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意∈R，都有f