第2節(jié)函數(shù)的單調性與最值

第2節(jié)函數(shù)的單調性與最值考試要求借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義1函數(shù)的單調性知識梳理1單調函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有_________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有__________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f1<f2f1>f2圖象描述自左向右看圖象是________自左向右看圖象是________上升的下降的2單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f在區(qū)間D上是________或________，那么就說函數(shù)y＝f在這一區(qū)間具有嚴格的單調性，________叫做函數(shù)y＝f的單調區(qū)間增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D2函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意x∈I，都有_________；(4)存在x0∈I，使得________結論M為最大值M為最小值f≤Mf≥Mf0＝M診斷自測1判斷下列結論正誤在括號內打“√”或“×”解析2此單調區(qū)間不能用并集符號連接，取1＝－1，2＝1，則f－1＜f1，故應說成單調遞減區(qū)間為－∞，0和0，＋∞3應對任意的1＜2，f1＜f2成立才可以4若f＝，f在[1，＋∞上為增函數(shù)，但y＝f的單調遞增區(qū)間是R答案1√2×3×4×2老教材必修1P39B3改編下列函數(shù)中，在區(qū)間0，＋∞上單調遞增的是答案A答案242017·全國Ⅱ卷函數(shù)f＝ln2－2－8的單調遞增區(qū)間是 A－∞，－2 B－∞，1 C1，＋∞ D4，＋∞ 解析由2－2－8>0，得>4或<－2 設t＝2－2－8，則y＝lnt為增函數(shù) 要求函數(shù)f的單調遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝2－2－8的單調遞增區(qū)間 ∵函數(shù)t＝2－2－8的單調遞增區(qū)間為4，＋∞， ∴函數(shù)f的單調遞增區(qū)間為4，＋∞ 答案D52020·長沙模擬函數(shù)y＝f是定義在上的減函數(shù)，且fa＋1<f2a，則實數(shù)a的取值范圍是________答案[－1，1答案2考點一確定函數(shù)的單調性區(qū)間答案A解法一設－1<1<2<1，當a>0時，f′<0，函數(shù)f在－1，1上單調遞減；當a<0時，f′>0，函數(shù)f在－1，1上單調遞增由于－1<1<2<1，所以2－1>0，1－1<0，2－1<0，故當a>0時，f1－f2>0，即f1>f2，函數(shù)f在－1，1上單調遞減；當a<0時，f1－f2<0，即f1<f2，函數(shù)f在－1，1上單調遞增規(guī)律方法11求函數(shù)的單調區(qū)間，應先求定義域，在定義域內求單調區(qū)間，如例112單調區(qū)間不能用集合或不等式表達，且圖象不連續(xù)的單調區(qū)間要用“和”“，”連接21函數(shù)單調性的判斷方法有：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調性；④導數(shù)法2函數(shù)y＝f的單調性應根據(jù)外層函數(shù)y＝ft和內層函數(shù)t＝g的單調性判斷，遵循“同增異減”的原則函數(shù)的圖象如圖所示的實線部分，根據(jù)圖象，g的遞減區(qū)間是[0，1答案[0，1由1≤1<2≤2，得2－1>0，2<1＋2<4證明f在上單調遞增，證明如下：從而f2－f1>0，即f2>f1，故當a∈1，3時，f在上單調遞增又因為1<a<3，所以2<a1＋2<12，考點二求函數(shù)的最值【例2】1已知函數(shù)f＝a＋logaa>0，且a≠1在上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為2法一在同一坐標系中，作函數(shù)f，g的圖象，依題意，h的圖象如圖所示的實線部分易知點A2，1為圖象的最高點，因此h的最大值為h2＝1解析1f＝a＋loga在上是單調函數(shù)，所以f1＋f2＝loga2＋6，則a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即a－2a＋3＝0，又a>0，所以a＝2當0<≤2時，h＝log2是增函數(shù)，當>2時，h＝3－是減函數(shù)，因此h在＝2時取得最大值h2＝1答案1C21規(guī)律方法求函數(shù)最值的四種常用方法1單調性法：先確定函數(shù)的單調性，再由單調性求最值2圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值3基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值4導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值【訓練2】1多選題2020·山東新高考模擬已知函數(shù)f＝ln－2＋ln6－，則 Af在2，6上單調遞增 Bf在2，6上的最大值為2ln2 Cf在2，6上無最小值 Df的圖象關于直線＝4對稱2當≤1時，f＝2的最小值為0，解析1f＝ln－2＋ln6－＝ln，定義域為2，6令t＝－26－，則y＝ln＝－26－的圖象的對稱軸為直線＝4，且在2，4上單調遞增，在4，6上單調遞減，所以當＝4時，t有最大值，所以fma＝f4＝2ln2，f在2，6角度1利用單調性比較大小考點三函數(shù)單調性的應用多維探究答案D角度2求解函數(shù)不等式解得<－1或－1≤<0，即<0答案D解析當≤0時，函數(shù)f＝2－是減函數(shù)，則f≥f0＝1角度3求參數(shù)的值或取值范圍【例3－3】12018·全國Ⅱ卷若f＝cos－sin在上是減函數(shù)，則a的最大值是所以y＝f在－∞，＋∞上是增函數(shù)規(guī)律方法1比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決2求解函數(shù)不等式，其實質是函數(shù)單調性的逆用，由條件脫去“f”3利用單調性求參數(shù)的取值范圍的思路是：根據(jù)其單調性直接構建參數(shù)滿足的方程組不等式組或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解