橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程——仙女座星系星系中的橢圓一、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)F1、F2，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距|F1F2|1、橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。M幾點(diǎn)說(shuō)明：1、F1、F2是兩個(gè)不同的點(diǎn)；2、M是橢圓上任意一點(diǎn)，且|MF1||MF2|=常數(shù)；3、通常這個(gè)常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c；4、如果2a=2c，則M點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F25、如果2a<2c，則M點(diǎn)的軌跡不存在（由三角形的性質(zhì)知）的軌跡是否為橢圓。1到F1-2,0、F22,0的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡。2到F10,-2、F20,2的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡。4到F1-2,0、F20,2的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。因|MF1||MF2|=6>|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓。因|MF1||MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不是橢圓是線(xiàn)段F1F2。3到F10,-2、F20,2的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。因|MF1||MF2|=4＜|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不存在。如圖，建立直角坐標(biāo)系Oy，使軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1、F2，并且點(diǎn)O與線(xiàn)段F1F2的中點(diǎn)重合設(shè)點(diǎn)M,y是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為2cc＞0焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是－c,0、c,0．又設(shè)M與F1和F2的距離的和等于常數(shù)2a．|MF1|＋|MF2|＝2a2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：講授新課OYF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點(diǎn)，且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。解：以F1F2所在直線(xiàn)為軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為-c,0、c,0。-c,0c,0,y設(shè)M（,y為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則:|MF1||MF2|=2aOYF1F2M-c,0c,0,y兩邊平方得：a4-2a2cc22=a22-2a2ca2c2a2y2即：a2-c22a2y2=a2a2-c2因?yàn)?a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b22a2y2=a2b2兩邊同時(shí)除以a2b2得：a>b>0這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上。a＞b＞0橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：是F1c,0、F2－c,0，且c2＝a2－b2它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)講授新課講授新課如果使點(diǎn)F1、F2在y軸上，點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)是F10,－c、F20,c，則橢圓方程為：a＞b＞0如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？橢圓的方程兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：與

橢圓的焦點(diǎn)在x軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．橢圓的方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義圖形方程焦點(diǎn)a、b、c之間的關(guān)系F1F2MyxOyxOMF1F2|MF1||MF2|=2a2a>|F1F2|c,0、c,00,c、0,c分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪一根坐標(biāo)軸上答:在軸上-3,0和3,0）答:在y軸上0,-5和0,5）答:在y軸上0,-1和0,1焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)。寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1a=4，b=1，焦點(diǎn)在軸上；2a=4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；

或

例題講解例、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是－4,0、4,0，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx