初中數(shù)學(xué)三角形全等教案、講義

-.z.1.4全等三角形教學(xué)目標(biāo)1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對應(yīng)元素；2．知道全等三角形的性質(zhì)，能用符號正確地表示兩個三角形全等；3．能熟練找出兩個全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊．教學(xué)重點全等三角形的性質(zhì)．教學(xué)難點找全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角．教學(xué)過程一、三角形全等的概念 如果我們把兩紙重疊起來，同時得到兩個三角形，你能發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有什么特征嗎？我們發(fā)現(xiàn)：這兩個三角形的形狀、大小完全一樣，我們把這兩個圖形放在一起，他們能夠完全重合，像這樣的圖形，我們就稱為是全等形.概括全等形的準(zhǔn)確定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．能夠完全重合的三角形叫做全等三角形. 將△ABC沿直線BC平移得△DEF；將△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得△AED．議一議：各圖中的兩個三角形全等嗎？不難看出△ABC和△DEF，△ABC和△DBC，△ABC和△AED都是全等三角形.我們把兩個三角形全等記作：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．（注意強調(diào)書寫時對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的位置上）啟示：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，所以平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，這也是我們通過運動的方法尋求全等的一種策略．二、三角形全等的性質(zhì) 甲圖中兩三角形的對應(yīng)元素，它們的對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角呢？引導(dǎo)學(xué)生從全等三角形可以完全重合出發(fā)找等量關(guān)系）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．例1：如圖，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是對應(yīng)頂點，說出這兩個三角形中相等的邊和角．例2：如圖，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的對應(yīng)邊和對應(yīng)角． 根據(jù)位置元素來找：有相等元素，它們就是對應(yīng)元素，然后再依據(jù)已知的對應(yīng)元素找出其余的對應(yīng)元素．常用方法有：（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊也是對應(yīng)邊．（2）全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．例3：已知如圖△ABC≌△ADE，試找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角．（由學(xué)生討論完成）1．如圖，已知△ABC≌△DCB，且AB=DC，則∠DBC等于（）A．∠AB．∠DCBC．∠ABCD．∠ACB2．已知△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，△DEF的周長為偶數(shù)，則EF的長為（）ABCABCDE（第4題）AODBC（第1題）3．已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，則∠F=___°，AB=____㎝．ABEABECD5．把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，邊AB旋轉(zhuǎn)到AD，得到△ADE，用符號“≌”表示圖中與△ABC全等的三角形，并寫出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角．AABFEDC6．如圖，把△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．求證：AC∥DF。ACFED7．如圖，△ACF≌△ADE，AD=9，ACFED1.5 全等三角形的判定(SSS)1、只給一個條件（一組對應(yīng)邊相等或一組對應(yīng)角相等），你可以畫出多少三角形呢？畫出的三角形一定都全等嗎？2、給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列條件做一做．①三角形一角為30°，一條邊為3cm．②三角形兩角分別為30°和50°．③三角形兩條邊分別為4cm、6cm．學(xué)生分組討論、探索、歸納，最后以組為單位出示結(jié)果作補充交流．結(jié)果展示：1．只給定一條邊時：只給定一個角時：2．給出的兩個條件可能是：一邊一角、兩角、兩邊．可以看出來當(dāng)只給出一個條件或兩個條件時，我們不能保證畫出來的三角形都是全等三角形，則如果給出來三個條件時，又會有怎樣的結(jié)果呢？給出三個條件時有下面四種情況：三條邊、三角、兩邊一角、兩角一邊，我們先來探索第一種情況. 請按照下面的方法，用刻度尺和圓規(guī)畫ΔDEF，使其三條邊分別為1.3cm，1.9cm，2.5cm.畫法：1、畫線段EF=1.3cm；分別以E、F為圓心，1.9cm，2.5cm長為半徑畫兩條弧，交于點D；連結(jié)DE，DF；ΔDEF就是所求的三角形. 按照上述方法你畫出了幾個三角形，它們有什么關(guān)系呢？通過上面的討論我們有如下判定三角形全等的邊邊邊定理：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）用上面的規(guī)律可以判斷兩個三角形全等．判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等．所以“SSS”是證明三角形全等的一個依據(jù)．例1：如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)點A與BC中點D的支架．求證：△ABD≌△ACD．例2：如圖，已知AC=FE、BC=DE，點A、D、B、F在一條直線上，AD=FB．要用“邊邊邊”證明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個條件？ 如何利用直尺和圓規(guī)作一個已知角的角平分線呢？按照下面的步驟，我們可以作出來一條直線，求證這條直線即是角平分線.ABCABC分別以E、F為圓心，大于EF長的半徑；作圓弧，兩條圓弧交于一點D；過點A、D作射線AD.射線AD就是所求作的的平分線.根據(jù)我們作出的圖形，找到已知條件，并證明AD是的平分線.把兩根木條的一端固定在一起，木條會自由轉(zhuǎn)動。在轉(zhuǎn)動過程中，連結(jié)另兩個端點所組成的三角形的形狀、大小會隨之改變.如果把另外兩個端點用一根木條固定住，則構(gòu)成的三角形的形狀，大小就完全確定.這就告訴我們一個生活實踐的有關(guān)知識：用三根木條釘成三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，而用四根木條釘成的框架，它的形狀是可以改變的．三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的穩(wěn)定性．1.5 全等三角形的判定(SAS) 1、怎樣的兩個三角形是全等三角形？全等三角形的性質(zhì)？ 3、上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了什么方法來判定三角形全等？ 除了這個方法，還有沒有其它的方法呢？如右圖2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的長度如圖所標(biāo)，則△ABO和△CDO是否能完全重合呢？如果把△OAB繞著O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，因為OA＝OC，所以可以使OA與OC重合；又因為∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以點B與點D重合．這樣△ABO與△CDO就完全重合．根據(jù)這個圖形我們來探討一下判定三角形全等的另一個方法.不難看出，這ΔAOB和ΔCOD有三對元素是相等的，從而我們得到：ΔAOB≌ΔCOD由此，我們得到啟發(fā)：判定兩個三角形全等，只需要這兩個三角形有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等．這就是邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”或“SAS”) 按下面的步驟畫圖：①畫∠DAE＝45°， ②在AD、AE上分別取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③連結(jié)BC，得△ABC． ④按上述畫法再畫一個△A＇B＇C＇．觀察△A＇B＇C＇與△ABC是否能夠完全重合？ 任意給出三角形的兩條邊和一個角，我們畫出的三角形是否都全等呢？已知△ABC中=，AC=3cm，BC=2cm，則你可以畫出怎樣的三角形呢？試著畫一畫. 利用邊角邊定理判定三角形全等時，對應(yīng)角一定要是對應(yīng)邊的夾角.例1：已知：如圖，AB＝AC，F(xiàn)、E分別是AB、AC的中點．求證：△ABE≌△ACF．例2：已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．BBAC例3：直線⊥線段AB于點D，且AD=BD，點C是直線D上任意一點，證明AC=BCD像直線這樣，垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.(1)如圖3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用邊角邊公理證明△ABC≌△CDA，需要三個條件，這三個條件中，已具有兩個條件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；還需要一個條件_____________(這個條件可以證得嗎？)．(2)如圖4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用邊角邊公理證明△ABD≌ACE，需要滿足的三個條件中，已具有兩個條件：_________________________(這個條件可以證得嗎？)．1.5 全等三角形的判定(ASA或AAS) 有兩個角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形一定全等嗎？請用量角器和刻度尺畫ΔABC，使BC=3cm，∠B=，∠C=.根據(jù)要求我們只能畫出一個三角形，由此我們得到角邊角定理：有兩個角和這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫為“角邊角”或“ASA”） 在一個三角形中兩角確定，第三個角一定確定．我們是不是可以不作