重難點(diǎn)專題21 三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題21三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總題型1新文化問(wèn)題 1題型2新定義問(wèn)題 6題型3黃金分割相關(guān)問(wèn)題 9題型4扇形相關(guān)問(wèn)題 13題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問(wèn)題 20題型6三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題 26題型7識(shí)圖問(wèn)題 35題型8湊角求值問(wèn)題 43題型9最值相關(guān)問(wèn)題 47題型10ω相關(guān)問(wèn)題 53題型11φ相關(guān)問(wèn)題 58題型12實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 61題型13恒成立問(wèn)題 68題型14零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題 74題型15與數(shù)列相關(guān)問(wèn)題 80題型1新文化問(wèn)題【例題1】（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量OA，OB夾角的余弦值，記作cosA,B，余弦距離為1-A．12 B．13 C．1【答案】A【分析】由題設(shè)得OP=(cosα,【詳解】由題意得OP則cosP,Q又tanα∴cosα∴sinαsinβ=1-cos故選：A【變式1-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）法國(guó)著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，且10sinB+C22=7-cos2A.以

【答案】π3/【分析】根據(jù)三角恒等變化可得2cos2A+5【詳解】10sinB+C2故51+cosA可得cosA=12（負(fù)值舍），由A∈故答案為：π【變式1-1】2.（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅文鼎，為清代“歷算第一名家”和“開山之祖”，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時(shí)的構(gòu)圖中，O為銳角三角形ABC外接圓的圓心.若sin∠BAC=33

A．223 B．-22【答案】D【分析】由已知得2∠OBC=π【詳解】已知∠BOC=2∠BAC，因?yàn)镺B=OC，所以∠OBC=∠OCB，因?yàn)椤螼BC+∠OCB+∠BOC=π所以2∠OBC+∠BOC=π，所以2∠OBC=因?yàn)閟in∠BAC=所以cos=2sin故選：D.【變式1-1】3.（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在公元前6世紀(jì)研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為a=2cos72°，則【答案】12/【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】acos故答案為：12【變式1-1】4.（2023·浙江·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無(wú)字證明，是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)C為半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB，垂足為H，記∠COB=θ，則由tan∠BCH=A．tanθ2C．tanθ2【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫出sinθ,cosθ，用θ【詳解】由已知∠COB=θ，則∠CBO=π2-又tanθ2=BHCH，sin因此1-cos故選：C．【變式1-1】5.（2023·江蘇南京·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)l與太陽(yáng)天頂距θ0°<θ<90°的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表．根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距θ正切值的乘積，即l=htanθ，對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為α、βA．1 B．23 C．52【答案】A【分析】由題意可得tanα=3，tan(α-β)=1【詳解】由題意可得tanα=3，tan所以tanβ=即第二次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的1倍.故選：A.【變式1-1】6.（2022秋·安徽合肥·高三?？计谥校?shù)學(xué)必修二101頁(yè)介紹了海倫-秦九韶公式：我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即S=14a2c2-a2+c2-b222，其中a、b、cA．3 B．5 C．2 D．2【答案】A【分析】將已知等式結(jié)合tanC=sinCcosC進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到sinC=3(sin【詳解】∵1-∴tan又tanC=所以3sin所以3sin所以3sin所以sinC=由正弦定理得

c=∵b=2,△ABC的面積S=1=1將a2看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)a2=4即a=2時(shí)，△ABC故選：A.題型2新定義問(wèn)題【例題2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┱睿⊿ecant）及余割（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，sec，csc這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割secα=1cosα，余割A(yù)．-1,1 B．-C．-2,2 D．-【答案】D【分析】根據(jù)新定義及輔助角公式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】fx=1所以-2≤fx即fx的值域?yàn)?故選：D.【變式2-1】1.（多選）（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，sec,csc這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割secα=1cosA．fx的定義域?yàn)閤B．fx的最小正周期為2C．fx的值域?yàn)?D．fx圖象的對(duì)稱軸為直線x=-【答案】BC【分析】由輔助角公式化一，再根據(jù)cosx≠0,【詳解】fx由cosx≠0,sinx≠0即fx的定義域?yàn)閤fx故fx的最小正周期與函數(shù)y=2sin當(dāng)x=0,π2,π,而函數(shù)y=2sinx+再結(jié)合周期性可知，fx的值域?yàn)?令x+π4=即fx圖象的對(duì)稱軸為直線x=故選：BC.【變式2-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Tn(x)，使得cosnx=Tn(cosx)，這些多項(xiàng)式Tn(x)稱為切比雪夫多項(xiàng)式．由cos2x=2cos【答案】4x3【分析】方法一：把3x變?yōu)?x+x，然后利用兩角和余弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)即可得到T3(x)=4x3-3x；結(jié)合T3【詳解】[方法一]：cos=(2cos∴T3設(shè)cos36°=x，∵cos∴4x3-3x=-(2∴x=-1（舍去）或x=∴cos36°=故答案為：4x3-3x[方法二]：cos3α=4∵sin36°=∴2sin∵cos18°≠0，∴22sin18°=4(1-sin解得sin18°=-1+5∴sin18°=5-1故答案為：4x3-3x題型3黃金分割相關(guān)問(wèn)題【例題3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）黃金分割點(diǎn)是指將一條線段分為兩部分，使得較長(zhǎng)部分與整體線段的長(zhǎng)的比值為5-12的點(diǎn)．利用線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)可以作出正五角星，如圖所示，已知C，D為AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：ACAB=BDAB=

A．5-14 B．5+14【答案】B【分析】設(shè)AB=m，根據(jù)已知可求出BC=3-52m，CD=5-2m.取CD【詳解】設(shè)AB=m，由已知可得AC=BD=5則BC=AB-AC=m-5所以，CD=BD-BC=5

如圖，取CD中點(diǎn)為F，連接EF，則EF⊥CD.在Rt△EFC中，有CF=12CD=5則sinθ所以，cosθ=1-2sin2θ2故選：B.【變式3-1】1.（2023·江西·校聯(lián)考二模）被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生于1946年9月應(yīng)普林斯頓大學(xué)邀請(qǐng)去美國(guó)講學(xué)，之后又被美國(guó)伊利諾依大學(xué)聘為終身教授.新中國(guó)成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國(guó)的優(yōu)厚待遇，克服重重困難，終于回到祖國(guó)懷抱，投身到我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)研究事業(yè)中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到感染?受到激勵(lì)，其中他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，0.618就是黃金分割比t=5-12的近似值，黃金分割比還可以表示成2A．-4 B．4 C．-2 D．2【答案】D【分析】利用三角恒等變形及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【詳解】由題意可得t=2sint4-故選∶D．【變式3-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618，這一數(shù)值也可以表示為λ=2sin18°，則A．12 B．1 C．22【答案】B【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)求解.【詳解】解：因?yàn)棣?2sin所以3sin=3=3=cos故選：B【變式3-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中．在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形．達(dá)·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個(gè)畫面里形成了一個(gè)黃金三角形．如圖，在黃金三角形ABC中，BCAC=5A．25-1C．5+48【答案】B【分析】由題意cos72°=5-14，結(jié)合二倍角余弦公式、平方關(guān)系求得cos36°=【詳解】由題設(shè)，可得cos72°=1-2sin2所以cos236°=5所以cos36°=cos(90°-54°)=故選：B【變式3-1】4.（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越來(lái)越得到人們的喜愛(ài)，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺(jué)更自然.更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn).如圖，分別用A,B,C,D表示黃金分割點(diǎn).若照片長(zhǎng)?寬比例為4:3，設(shè)∠CAB=α，則1+cosA．-18 B．18 C．【答案】D【分析】由題意得到tanα=【詳解】由題意得BC=3×0.6181+0.618+1，AB=4×0.618所以1+cos故選：D題型4扇形相關(guān)問(wèn)題【例題4】（2023秋·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知“水滴”的表面是一個(gè)由圓錐的側(cè)面和部分球面（常稱為“球冠”）所圍成的幾何體．如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段AB，AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點(diǎn)B，C所在直線與水平面平行，AB和AC與圓弧相切．已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長(zhǎng)度的最大值）的比值為43，則sinA．325 B．925 C．16【答案】D【分析】設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OC，設(shè)球冠的半徑為R，根據(jù)幾何性質(zhì)可得OA=53R，從而可得sin【詳解】設(shè)優(yōu)弧BC所在圓的圓心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，如圖所示．易知“水滴”的“豎直高度”為OA+R，“水平寬度”為2R，由題意知OA+R2R=4因?yàn)锳B與圓弧相切于點(diǎn)B，所以O(shè)B⊥AB．在Rt△ABO中，sin∠BAO=又∠BAO∈0,π2由對(duì)稱性知，∠BAO=∠CAO，則∠BAC=2∠BAO，所以sin∠BAC=2故選：D.【變式4-1】1.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài).古人曾有詩(shī)贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=3OA=3，動(dòng)點(diǎn)P在CD上（含端點(diǎn)），連接OP交扇形OAB的弧AB于點(diǎn)QA．若y=2x，則OB?OPC．PA?PB【答案】BC【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)Qcosθ,sinθ,θ∈【詳解】如圖，作OE⊥OC，分別以O(shè)C，OE為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0),C(3,0),B(-1設(shè)Qcosθ,sin由OQ=xOC+yOD可得cosθ=3x-若y=2x，則cosθ=3x-32y=0，sinθ=1所以O(shè)B?由y=233所以x+y==2因?yàn)棣取?,2π3，所以所以x+y∈1由于PA=(1-3故PA=172-3sinθ+所以PA?PB=-23sinθ-π3故-3≤-23故選：BC【變式4-1】2.（2023春·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）以∠ACB的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點(diǎn)；取線段AB三等分點(diǎn)O，D；以B為焦點(diǎn)，A，D為頂點(diǎn)作雙曲線，與圓弧AB交于點(diǎn)E，連接CE，則∠ACB=3∠BCE.若圖中CE交AB于點(diǎn)P，5AP=6PB，則cos

【答案】-【分析】根據(jù)正弦定理及二倍角的正弦公式，得∠BCE的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出cos∠ACP【詳解】設(shè)∠BCE=α，則∠ACB=3∠BCE=3α，∠ACP=2α.在△ACP中，由正弦定理，得APsin在△BCP中，由正弦定理，得BPsin又因?yàn)镃A=CB，∠APC+∠BPC=π所以CAsin∠APC=即APBP又因?yàn)?AP=6PB，所以AP所以cos∠ACP=cos2α=故答案為：-7【變式4-1】3.（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知P，Q分別為∠AOB兩邊上的點(diǎn)，∠AOB=π6，PQ=3，過(guò)點(diǎn)P，Q作圓弧，R為PQ的中點(diǎn)，且∠PQR=π6則線段【答案】3+2【分析】設(shè)∠PQO=θ，在△OPQ中由正弦定理可得OP=6sinθ，在△RPQ由余弦定理求出PR、QR，在△ORP中由余弦定理表示出OR【詳解】解：設(shè)∠PQO=θ，則0<θ<5π6，在△OPQ中，由正弦定理知所以O(shè)P=6sinθ，因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以則PR=QR，在△RPQ中由余弦定理PQ解得PR=QR=3在△ORP中，∠OPR=∠OPQ+∠QPR=5π由余弦定理可得O=18所以當(dāng)θ=5π12時(shí)，O即OR的得最大值3+23故答案為：3+2【變式4-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，上饒市政府決定對(duì)某小區(qū)內(nèi)一個(gè)近似半圓形場(chǎng)地進(jìn)行改造，場(chǎng)地如圖，以O(shè)為圓心，半徑為一個(gè)單位，現(xiàn)規(guī)劃出以下三塊場(chǎng)地，在扇形AOC區(qū)域鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OBD區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，若∠AOC=∠COD，且使這三塊場(chǎng)地面積之和最大，則cos∠AOC=【答案】17【分析】設(shè)出∠AOC=θ，表達(dá)出三塊場(chǎng)地的面積和S=12θ+【詳解】設(shè)∠AOC=θ，則∠COD=θ，根據(jù)題意易知θ∈∵OD=OB，△OBD為等腰三角形，則∠ODB=∠OBD又∵∠AOD=∠ODB+∠OBD，∴∠COD=∠ODB=∠OBD=θ∴OC∥DB∴則三塊場(chǎng)地的面積和為S=12則S'=令S'=0，cosθ=設(shè)φ為cosθ=∵y=cosθ在∴θ∈0,φ∴θ∈φ,∴當(dāng)cosθ=故答案為：17-1【變式4-1】5.（2022·湖北·恩施市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）共和國(guó)勛章，是中華人民共和國(guó)最高榮譽(yù)勛章，授予在中國(guó)特色社會(huì)主義建設(shè)和保衛(wèi)國(guó)家中作出巨大貢獻(xiàn)、建立卓越功勛的杰出人士.2020年8月11日，國(guó)家主席習(xí)近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國(guó)勛章”.某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個(gè)人，制作的榮譽(yù)勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，O為圖中兩個(gè)同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC，大圓半徑OA=2，小圓半徑OB=OC=1，記S'為三角形OAB與三角形OAC的面積之和.設(shè)陰影部分的面積為S，當(dāng)S'-S【答案】2-【分析】設(shè)∠BOC=α,α∈(0,π)，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式得到S=α2-12【詳解】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，又AB=AC，∴A，O，D三點(diǎn)共線，設(shè)∠BOC=α,α∈(0,π)，∴∠AOB=∠AOC=π-α則S=12×α×12從而S'令f(α)=2sinα2由f'(α)=0，解得：cosα記cos∴f(α)在(0,θ)上單調(diào)遞增，在θ,π2上單調(diào)遞減，故當(dāng)cosα2=故答案為：2-【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)的值域時(shí)，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡(jiǎn)整理為f(x)=Asin（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.（3）關(guān)于三角函數(shù)的二次型，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域.題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問(wèn)題【例題5】（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知α∈0,π，且3tanαA．-1010 B．-55【答案】B【分析】由3tanα=10cos2α得3tanα=10×【詳解】由3tanα=10cos2α所以3tanα所以3tanα整理得3tan3(tanα所以tanα+2=0或所以tanα=-2或①當(dāng)tanα=-2時(shí)，sinα因?yàn)閟in2α+cos所以cosα因?yàn)棣痢师?②當(dāng)tanα=-2+因?yàn)閟in2α+cos由于α∈0,π③當(dāng)tanα=-2-因?yàn)閟in2α+cos由于α∈π2綜上，cosα=-55，或故選：B【變式5-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知0<α<β<2π，函數(shù)fx=5sinx-πA．2325 B．-2325 C．【答案】B【分析】由已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得π6<α<2π3，【詳解】解：令fx=5sinx-π6=0令fx=5sinx-π又0<α<β<2π，fα所以π6<α<2π3，2π3因?yàn)?<α-π6<所以cosα-π6所以cosβ-α=cos故選：B.【變式5-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且A>B，若sinC=2cosAsinB+【答案】3【分析】由題可得tanA-B，將tanB用含tanA的式子表示，然后根據(jù)角A的范圍，求【詳解】∵sinC=2∴sinA+B=sin∵又A>B，且A,B都為銳角，故cosA-B=24因?yàn)殇J角三角形ABC，所以tan所以tan所以1-724?又因?yàn)閠an所以tan所以12tan2B+7tanB-12>0故34故答案為：34【變式5-1】3.（2023秋·黑龍江七臺(tái)河·高三勃利縣高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，已知sinAsinBsin(C-θ)=λsin2C，其中【答案】5【分析】由k=1tanA+1【詳解】1tanA+1tan∴25sinC-5cos故答案為：5【變式5-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，C(433【答案】2【分析】由重心的坐標(biāo)與三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系有G(cosα+cosβ+4【詳解】由題意知：G(cos∴{cosα+cos∴(cos(sin將兩式相加，得：2+2(cos∴cos(α-β)=故答案為：23【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形的重心坐標(biāo)與頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合已知條件列方程組，利用同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差余弦公式求函數(shù)值【變式5-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，且GA⊥GC，若1tanA+1【答案】1【分析】由GA⊥GC得到GA?GC=0，結(jié)合G是△ABC的重心，得到5【詳解】依題意GA⊥GC，所以GA?GC=0因?yàn)镚是三角形ABC的中心，所以BG=把②代入①并化簡(jiǎn)得5AC即5b由余弦定理得a2所以4b由正弦定理得2sin已知1tan所以cosAsinA所以sinB=由③④得2sinB=cos故答案為：1【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及三角恒等變換，屬于難題.【變式5-1】6.（2021秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，已知sinAsinBsinC-θ=λsin2CA．1020 B．55 C．10【答案】A【分析】sinAsinBsinC-θ=λsin【詳解】由tanθ=13,(0<θ<π因?yàn)閟inAsinB即1λ又由1=sinC=1即3sin即3sin可得3=210?λ×k21=2故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：解答中把1tanA+題型6三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題【例題6】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）設(shè)函數(shù)fx=cosωx-2π5+A．ω的取值范圍是19B．fx在0,C．若fx的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于yD．若將fx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12，得到函數(shù)gx的圖象，則g【答案】AC【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到fx【詳解】fx因?yàn)閒x的圖象與直線y=-1在0,且ωx-2π

所以3π解得：1920由圖可知，fx在0,fx的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得到則-ωπ12因?yàn)棣亍?920,gx則2ωx-因?yàn)棣亍?920,因?yàn)?π2<-2π故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)圖象有交點(diǎn)，可用數(shù)形結(jié)合法：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【變式6-1】1.（多選）（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x-π2)為奇函數(shù)，f(x+π2A．f(5π2)=-1C．點(diǎn)(3π2,0)是函數(shù)f【答案】CD【分析】利用奇偶函數(shù)的定義分析、探討函數(shù)的性質(zhì)，并判斷選項(xiàng)ABC；作出函數(shù)y=f(x),y=lg【詳解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x-π2)為奇函數(shù)，得f(-x-由f(x+π2)為偶函數(shù)，得f(-x+π2即f(x+2π)=-f(x)，于是f(x+4π)=-f(x+2π當(dāng)x∈[-π2,對(duì)于A，f(5對(duì)于B，函數(shù)f(x)在[-π2,0]上單調(diào)遞增，由f(-x-π)=-f(x)則函數(shù)f(x)在[-π,-π2]上單調(diào)遞增，即有函數(shù)f(x)在[-對(duì)于C，由f(x+2π)=-f(x)及f(-x+π)=f(x)，得因此函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(3π對(duì)于D，當(dāng)x∈[-π2,π2]時(shí)，知當(dāng)x∈[-3π2,-π2]時(shí)，由f(-x+π)=f(x)，知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱，則當(dāng)于是當(dāng)x∈[-3π2,5π2]時(shí)，-1≤f(x)≤1，而函數(shù)f(x)的周期是方程f(x)-lgx=0，即f(x)=lgx，因此f(x)-lg在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=lg

觀察圖象知，函數(shù)y=f(x)與y=lgx圖象在而當(dāng)x≥7π2時(shí)，f(x)≤1,lgx>1，即函數(shù)y=f(x)所以方程f(x)-lg故選：CD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，?x∈D，(1)存在常數(shù)a，b使得f(x)+f(2a-x)=2b?f(a+x)+f(a-x)=2b，則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.(2)存在常數(shù)a使得f(x)=f(2a-x)?f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.【變式6-1】2.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)fxA．fxB．fx在區(qū)間-C．fx在-D．fx的值域是【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用偶函數(shù)的定義判斷即可，對(duì)于B，t=sinx，ft=2t2+3t+1，然后利用復(fù)合函數(shù)判斷單調(diào)性的方法分析判斷即可，對(duì)于C，由于fx在-π【詳解】fx=2對(duì)于A：f-x∴fx對(duì)于B：當(dāng)x∈-π令t=sinx，∵t=sinx在∴t∈又∵ft=2t∴ft在t∈由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，fx在-對(duì)于C：∵fx在-π,π上為偶函數(shù)，只需考查當(dāng)x∈0,π時(shí)，令fx=0，即：2sinx-1sinx-1=0，∴sinx=12由對(duì)稱性得，∵fx在-對(duì)于D：當(dāng)x>0時(shí)，fx令t=sinx-1≤t≤1對(duì)稱軸為t=34，∴當(dāng)t=34時(shí)，當(dāng)t=-1時(shí)，ft∴結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得fx的值域?yàn)?故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和值域的求法，解題的關(guān)鍵是通過(guò)換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.【變式6-1】3.（2023秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=mA．1 B．3 C．-1或3 D．1或3【答案】D【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程m2cosx-2m2x+2-x+3=0【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=m所以方程m2即m2令h(x)=m2cosx-2m2因?yàn)閔(-x)=m所以h(x)為偶函數(shù)，因?yàn)閔(x)在R上有唯一零點(diǎn)，所以h(x)唯一的零點(diǎn)為x=0，所以h(0)=0，即m2得m2-4m+3=0，解得m=1或故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h(x)=m2cos【變式6-1】4.（2023秋·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinA．?x∈B．?x∈[0,C．f(x)是奇函數(shù)D．f(x)的最大值大于2【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)值域、函數(shù)的奇偶性、周期性、最值等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，f=sinB選項(xiàng)，f=sin由于cosx+sinx=所以cosx+sinx當(dāng)x∈0,π時(shí)，cosx∈而y=sinx在所以sincos所以x∈0,π時(shí)，C選項(xiàng)，fx的定義域是R，f所以fxD選項(xiàng)，由于π4<1<π所以f0故選：C【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)周期性的方法，需要通過(guò)函數(shù)的解析式，證得fx+T=fx，由此求得fx的周期.判斷函數(shù)的奇偶性的方法，可利用函數(shù)奇偶性的定義，f-x=fx【變式6-1】5.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=cosωx+φ，ω∈N+，φ∈0,π，在【答案】0,【詳解】∵fx在x∈-2π3,π3則T2<π3--2π又ω∈N+，∴ω=2或∵T2<π≤3T2∴-π6ω+φ=k當(dāng)ω=2時(shí)，φ=kπ+5π6k∈Z當(dāng)ω=3時(shí)，φ=kπ+π，又φ∈0,π綜上所述：φ的所有可能取值構(gòu)成的集合為0,5π故答案為：0,5π【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)值的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和對(duì)稱性確定函數(shù)的最小正周期與區(qū)間長(zhǎng)度之間的關(guān)系，由此可構(gòu)造不等式求得ω的值.【變式6-1】6.（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ<π2，滿足①fx圖像的對(duì)稱軸方程為②fx在-π③將函數(shù)y=2sin2x-π6+1④fx在π【答案】②④【分析】根據(jù)題意fx的圖象關(guān)于點(diǎn)-π6,1對(duì)稱，又當(dāng)x=-5π12時(shí)，fx取得最小值，當(dāng)ω取最小值時(shí)，即周期最大可得T=π，即ω=2，函數(shù)【詳解】因?yàn)閒x+f-π3又對(duì)任意x∈R，都有fx≥f-5π當(dāng)ω取最小值時(shí)，即周期最大，可得T4=-π6-函數(shù)fx在x=-5π12時(shí)取得最小值，所以2sin-可得fx對(duì)于①，令2x+π3=π2對(duì)于②，當(dāng)x∈-π12因此當(dāng)2x+π3=π2時(shí)，f所以fx在-π12,π對(duì)于③，將函數(shù)y=2sin2x-π6+1不是fx=2sin對(duì)于④，當(dāng)x∈π6,π3時(shí)，2x+故答案為：②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將fx≥f-5π12轉(zhuǎn)換成x=-5π題型7識(shí)圖問(wèn)題已知fx＝Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的部分圖象求其解析式時(shí)，(1)由ω=2πT即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【例題7】（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=λsinπ2x+φλ>0,0<φ<π的部分圖象如圖1所示，A、B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線，交x軸于A'，點(diǎn)C為該部分圖象與給出下列四個(gè)結(jié)論：①φ=π②圖2中，AB?③圖2中，過(guò)線段AB的中點(diǎn)且與AB垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C；④圖2中，S是△A'BC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T=Q∈SAQ其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】3②③【分析】在圖2中，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、A'A的方向分別為y'、z'軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-x'y'z'，根據(jù)已知條件求出λ的值，結(jié)合φ的取值范圍求出【詳解】函數(shù)fx的最小正周期為T=在圖2中，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、A'A的方向分別為y'、z設(shè)點(diǎn)A'0,t,0，則點(diǎn)A0,t,λAB=0-λ2+t+2-t所以，fx=3sinπ又因?yàn)楹瘮?shù)fx在x=0附近單調(diào)遞減，且0<φ<π，所以，因?yàn)閒t=3又因?yàn)辄c(diǎn)A是函數(shù)fx的圖象在y軸左側(cè)距離y軸最近的最高點(diǎn)，則πt2所以，fx因?yàn)辄c(diǎn)C是函數(shù)fx在y軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，πxC翻折后，則有A0,-23,3、B所以，AB=3,2,-所以，在圖2中，AB?在圖2中，線段AB的中點(diǎn)為M3因?yàn)镃M=32,0,3在圖2中，設(shè)點(diǎn)Qx,y,0，AQ=xA'C=0,1,0，易知∠BA'C所以，區(qū)域T是坐標(biāo)平面x'Oy'內(nèi)以點(diǎn)A'故區(qū)域T的面積ST故答案為：3；②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查翻折問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量法來(lái)求解相應(yīng)問(wèn)題.【變式7-1】1.（2021秋·重慶銅梁·高三銅梁一中階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0),x∈[-π12,2π3A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】結(jié)合圖象求得ω，【詳解】由圖象得3T由2由x1+x【點(diǎn)睛】已知函數(shù)y=Asin(1)A=y(2)由函數(shù)的周期T求ω,T=(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求φ【變式7-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P(-2，a)和點(diǎn)Q(1，b)分別是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)cos(ωx+?)(A>0，ω>0，0<?<πA．在區(qū)間[-4，2]上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間C．在區(qū)間[1，7]上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間【答案】C【分析】首先利用二倍角公式將f(x)化簡(jiǎn)為f(x)=12Asin(2ωx+2?)，再由P，Q分別為f(x)的圖像上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)得到b=-a，再由P，Q兩點(diǎn)之間距離為5得32+b-a2=5，從而求得a,b的值，進(jìn)而求得A的值，由題可知f(x)的最小正周期為6，由此得到ω的值，再由f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)【詳解】f(x)=A如圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，設(shè)兩垂線的交點(diǎn)為B，連接PQ，可知ΔPQB為直角三角形，|PQ|=5，|PB|=3，則|QB|=b-a=4，易知b=-a，解得a=-2，b=2，∴12A=2，12T=|PB|，得∴ω=π6，故由函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(1,2)可得f(1)=2sin則π3+2?=π2+2kπ，k∈Z，又0<?<π∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為π+2kπ≤π6x-π6g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ≤π6x-π6∴當(dāng)k=0時(shí)g(x)在區(qū)間[1，【變式7-1】3.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，A．1633 B．833【答案】A【分析】由題意設(shè)出Q(2a,0)a＞0，用a表示出R點(diǎn)坐標(biāo)以及M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)【詳解】解：設(shè)Q(2a,0),a>0，∵函數(shù)f(x)=Asin(?x+φ)（其中A>0,ω>0,|?|≤∴R(0,-2a∵M(jìn)為QR的中點(diǎn)，∴M(a,-a)，∵PM=25∴(a-2)解得a=4∴Q（8，∴1∴T解得ω=π∵函數(shù)經(jīng)過(guò)P(2∴Asin∵|φ|≤π∴φ=-π解得A=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查由y=Asin（ωx+φ【變式7-1】4.（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，直線AB與單位圓相切于點(diǎn)O，射線OP從OA出發(fā)，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)分入過(guò)程中，記∠AOP=x(0<x<π)，OP經(jīng)過(guò)的單位圓O內(nèi)區(qū)域（陰影部分）的面積為S，記S=f(x)，對(duì)函數(shù)f(x)有如下四個(gè)判斷：①當(dāng)x=3π4時(shí)，②x∈(0,π)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；③對(duì)任意x∈0,π2④對(duì)任意x∈0,π其中判斷正確的序號(hào)是．【答案】①③【分析】先求出S=x-1【詳解】如圖，設(shè)圓心為C,OP交圓于另一點(diǎn)D，連接CO,CD，則∠OCD=2∠AOP=2x∴S=1當(dāng)x=3π4時(shí)，∵S'=1-當(dāng)x∈0,fπ當(dāng)x∈0,π2∴fx+故答案為①③．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值，三角函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.題型8湊角求值問(wèn)題三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．【例題8】（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若α∈0,π，β∈-π4,π4，λ∈R，且αA．13 B．12 C．3【答案】A【解析】設(shè)fx=x3-cosx-2λ，因?yàn)閒'x=3x2+sinx≥0，x∈0,π，fx在0,π上單調(diào)遞增，又由π2-3β【詳解】由π2-3β即π2設(shè)fx=x3-所以fx在0,π由π2-2β3α3-cos所以fπ2-2β=fα由α∈0,π，β∈-π4,∴π2-2β=α，∴α+2β=π2由sin2β=35>0∴cos2β=45，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性尋找變量的關(guān)系，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系以及倍角公式，屬于中檔題.【變式8-1】1.（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知sin(2α-π12)=【答案】5【分析】由條件等式右邊含有2，可聯(lián)想到2α-π12中分離出π4來(lái)處理，設(shè)x=2α-【詳解】設(shè)x=2α-π3，于是整理可得sinx+cosx=整理可得tan2由x=2α-π3可得，故tan(α+根據(jù)誘導(dǎo)公式，tanx根據(jù)兩角和的正切公式，tanx故tan(α+故答案為：5【變式8-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P(0,m)是y軸上到A1,1,B2,4距離和最小的點(diǎn)，且cos(α-π【答案】-1【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，求出直線A【詳解】依題意，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-1,1)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'直線A'B的方程為y=x+2，于是得點(diǎn)此時(shí)有|P1A|+|P1B|=|P因此，m=2，cos(α-π3所以sin(2α-π6故答案為：-【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：給值求值問(wèn)題，將所求值的角用已知值的角表示，再借助三角變換公式求解．【變式8-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知cos2α-π3=p【答案】2【解析】設(shè)A=sinαsinα-π3，B=cosαcosα-π【詳解】設(shè)A=sinαsin故cos2α-cos-π3=costanαtanα-π3故答案為：2-1【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，取A=sinαsin【變式8-1】4.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知8cos(2α+β)+5cosβ=0，且cos【答案】13【分析】利用2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α將條件整理可得3sin【詳解】∵2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α，∴8=8[cos(α+β)cos∴3∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的兩角和差的展開公式，解題的關(guān)鍵是配湊出“2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α”，屬于難題.題型9最值相關(guān)問(wèn)題【例題9】（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，則f(x)＝sin(x＋A)＋sin(x＋B)的最大值為（

）A．2 B．1 C．2 D．2【答案】C【分析】利用和差角正弦公式、誘導(dǎo)公式可得f(x)=2cos【詳解】sin(x+A)=sin(sin(x+B)=sin(所以f(x)=2sin(x+A+B所以f(x)=2cos當(dāng)cosA-B2=1，即A=B=故選：C【變式9-1】1.（2022秋·江蘇常州·高三?？奸_學(xué)考試）已知α,β,γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinαcosβ+sinβ【詳解】法1：由基本不等式有sinα同理sinβcosγ≤故sinα故sinαcosβ,取α=π6，β=π則sinα故三式中大于12故選：C.法2：不妨設(shè)α<β<γ，則cosα>由排列不等式可得：sinα而sinα故sinαcosβ,取α=π6，β=π則sinα故三式中大于12故選：C.【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問(wèn)題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.【變式9-1】2.（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知θ∈0,π2A．8 B．12-22 C．6【答案】A【分析】化簡(jiǎn)，得到4sin利用換元法，設(shè)t=tanθ，得到f(t)=2t2-2【詳解】4sin2=4+4tan2∵θ∈0,π2，設(shè)t=tanθ得f'(t)=4t-22-8則g(t)在t>0時(shí)，g(t)是單調(diào)遞增函數(shù)，且g(2t∈(0,2)，g(t)=ft∈2,+∞，g(t)=故f(t)≥f(2)=8，當(dāng)t>0時(shí)，故選：A【變式9-1】3.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點(diǎn)），A(1，0)，A．34-12 B．1【答案】D【分析】由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤2π3【詳解】由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤2π3則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，設(shè)t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=t2則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=tt=sinα+cosα=2sin（α+π4∵0≤α≤2π3，∴π4≤α+π4∴3-1∴當(dāng)t=2時(shí)，xy+x+y取得最大值為：2+故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用，由t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=t2-12，將xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=t【變式9-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC中，角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sinC【答案】233【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得A，利用三角函數(shù)的最值的求法求得1tan【詳解】依題意，cos2A-1-2sinsin2B+sin所以cosA=b2+1====3sin2B-π6所以-π6<2B-所以-1所以3sin2B-π6+所以1tanB+故答案為：2【點(diǎn)睛】利用正弦定理或余弦定理來(lái)求角時(shí)，要注意角的范圍，如sinA=12，則A可能是π6或5π6.求解含角的表達(dá)式的最值或范圍時(shí)，首先將表達(dá)轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的形式，如轉(zhuǎn)化為y=A【變式9-1】5.（2023秋·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，若sinA=2cosBcosC【答案】2【分析】先由題證明得cos2A+cos【詳解】首先證明：在△ABC中，有cos2在△ABC中，由余弦定理得a2由正弦定理得sinA令cos2上述兩式相加得M=2+=2+=2+所以cos=1-=12當(dāng)sin(2A+π4故答案為：2+1【變式9-1】6.（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)fx單調(diào)遞減，且滿足f1-x+f1+x=0，對(duì)于任意的【答案】2【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性建立不等式，再利用輔助角公式、基本不等式求解.【詳解】根據(jù)題意，f1-x+f1+所以可得fx=-f所以facosα根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得acosα+bsin所以a2+b2≤2故答案為：22題型10ω相關(guān)問(wèn)題【例題10】（2022秋·福建龍巖·高三福建省龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離小于π,fπ【答案】13【分析】先由對(duì)稱軸間的距離確定了ω>1，再利用fx≤fπ6得到πω6+φ=2kπ+π2,k∈Z，依次利用誘導(dǎo)公式與基本關(guān)系式求得tanπω【詳解】fx=sin因?yàn)閮蓷l相鄰對(duì)稱軸之間的距離小于π，即T2<π，故T=2π因?yàn)閒x在x=π6處取得最大值，所以πω所以tanφ=所以tanπω6=1a即sinπω所以sinπω所以sinπω又sin2解得a2=3，又a>0，所以a=3，所以sin所以πω6=2kπ+π6,k∈Z，解得故答案為：13.【變式10-1】1.(多選)（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ(ω>0)是在區(qū)間π18,A．4 B．12 C．2 D．8【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-π36對(duì)稱，函數(shù)在x=-π36取得最值，可得φ=12+ω36+nπ【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=sin所以-ω?π36+φ=根據(jù)π18<x<5因?yàn)閒x=sin所以ω??122k-n因?yàn)棣?gt;0，所以2k-n=0或2k-n=1，當(dāng)2k-n=0時(shí)，0<ω≤6，當(dāng)2k-n=1時(shí)，12≤ω≤12；由于π18<π且fπ所以f1所以ω×7π72ω=82m-n根據(jù)0<ω≤6或12≤ω≤12，可得ω=4，或ω=12.故選:AB【變式10-1】2.（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2sinωx-π4+A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sinωx-π4與直線y=-22在0,2內(nèi)恰有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)令t=ωx-π4，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sin【詳解】由于fx=2sinωx-π所以方程2sinωx-π4+即y=sinωx-π4與直線令t=ωx-π4，則則y=sint與直線y=-22在令y=sint=-22，解得：t=-π4+2又ω>0，t∈-π4則2π-π故選：B.【變式10-1】3.（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知A,B,C為fx=sinωx與gx=cos【答案】62π【分析】由題意聯(lián)立函數(shù)方程組得ωx=π4+kπk∈Z，所以sinωx=±22，不妨依次設(shè)A【詳解】如下圖所示：

由題意聯(lián)立fx=sinωx與gx所以不妨依次設(shè)Ax1,22因?yàn)檫吶切芜呴L(zhǎng)AC=2×BDtan∠DAB又因?yàn)锳C=x3-x1結(jié)合ω>0,k∈Z可知當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，正數(shù)ω取最小值ω故答案為：62【變式10-1】4.（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3sinωx-π6（ω>0），當(dāng)x∈0,π4【答案】2【分析】根據(jù)x的范圍、最大值為ω可得23<ω≤3，分0<π【詳解】由題知，當(dāng)x∈0,π4因?yàn)樽畲笾禐棣?，所以?ω-π當(dāng)0<π4ω-π6轉(zhuǎn)化為方程sinπ且sinπ4×由圖可知有且只有一個(gè)ω能夠滿足.

當(dāng)83≤ω≤3時(shí)，此時(shí)函數(shù)最大值為3，即ω=3，顯然滿足條件，綜上，滿足條件的ω有2個(gè).故答案：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是fmaxx=3題型11φ相關(guān)問(wèn)題【例題11】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知fx=sinxcosx+3cos2A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】利用正余弦的二倍角公式、兩角和的正弦展開式化簡(jiǎn)得fx=sin2x+π【詳解】由已知得fx=sin∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有fx即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有sin2x+∴y=Asinωx+φ與∴A=1,ω=2①當(dāng)A=1,ω=2時(shí)，sin2x+又φ∈0,3π,∴φ=②當(dāng)A=1,ω=-2時(shí)，sin2x+又φ∈0,3π,∴φ=③當(dāng)A=-1,ω=2時(shí)，sin2x+又φ∈0,3④當(dāng)A=-1,ω=-2時(shí)，sin2x+又φ∈0,3綜上所述，滿足條件的φ的值有6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：要求學(xué)生理解三角函數(shù)及其性質(zhì)，會(huì)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定相交量的值．【變式11-1】1.（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）在函數(shù)fx=sin2x-φφ>0圖象與x軸的所有交點(diǎn)中，點(diǎn)φ【答案】π3【分析】先求出fx與x軸的所有交點(diǎn)，再結(jié)合題意得到φ2≤φ2+k2π恒成立，整理得k【詳解】因?yàn)閒x令fx=0，即sin2x-φ=0，得2x-φ=kπ,k∈Z因?yàn)槠渲悬c(diǎn)φ2,0離原點(diǎn)最近，所以不等式兩邊平方整理得kφ+當(dāng)k≥1時(shí)，φ+k2π≥0當(dāng)k≤-1時(shí)，φ+k2π≤0，即φ≤-k2當(dāng)-1<k<1，即k=0時(shí)，顯然上述不等式恒成立，綜上，由于上述分類情況要同時(shí)成立，故0<φ≤π2，所以φ可以等于故答案為：π3【變式11-1】2.（2022秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校⒑瘮?shù)f(x)=2sin2x的圖象向右平移φ(0<φ<π)個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=4的x1【答案】π3或【分析】先求解g(x)的解析式，根據(jù)|f(x1)-g(x2)|=4可知一個(gè)取得最大值一個(gè)是最小值，不妨設(shè)f(x1)【詳解】由函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向右平移φ，可得g(x)=2不妨設(shè)f(x1)∴2x1=π2可得2(∵|x1-x2∴±得φ=π3故答案為π3或2π【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，函數(shù)【變式11-1】3.（2022·安徽·南陵中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)f(x)=2sinx-1的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若對(duì)任意x1∈0,π2A．π4 B．5π12 C．7π【答案】C【分析】由題意易得gx在-π2,0上的值域包含fx【詳解】由題，gx=22sinx+φ-1-1=4sinx+φ-3，又對(duì)任意x1∈0,π2，都存在x2∈-π2,0，使得fx1=gx2，故gx在-π2,0上的值域包含fx在0,π2上的值域.又當(dāng)x1∈0,π2時(shí)，f(x1)=2sinx故選：C題型12實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例題12】（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2，將筒車抽象為一個(gè)半徑為10的圓O，設(shè)筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，以筒車的中心O為原點(diǎn)，線段OA，OB所在的直線分別為x，y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（A，B為圓O上的點(diǎn)），分別用ft，gt表示t秒后A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則

A．50 B．75 C．503【答案】A【分析】根據(jù)周期可得ω=π60rad/s，即可根據(jù)三角函數(shù)的定義求解f【詳解】由題意可知2πω=120，且ω>0所以ft=10siny=ft?gt故選：A【變式12-1】1.（多選）（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┩曹囀俏覈?guó)古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現(xiàn)有一個(gè)半徑為3米的簡(jiǎn)車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娦D(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)時(shí)間為t（單位：秒），已知cos48°≈A．d=2-3cosπ30t+θB．d=3sinπ30t+θC．大約經(jīng)過(guò)38秒，盛水筒P再次進(jìn)入水中D．大約經(jīng)過(guò)22秒，盛水筒P到達(dá)最高點(diǎn)【答案】ABD【分析】若O為筒車的軸心的位置，AC為水面，P為筒車經(jīng)過(guò)t秒后的位置，由題設(shè)知筒車的角速度ω=π30，令∠AOB=θ，易得∠POB=πt30+θ，而cos∠POB=OBOP、d=2-OB【詳解】由題意知，如圖，若O為筒車的軸心的位置，AC為水面，P為筒車經(jīng)過(guò)t秒后的位置，筒車的角速度ω=2π60=π∴cos∠POB=cos(πt∴d=2-3cosπ30t+θ，其中又d=2-3=2-2cos若θ∈-π2,0，且此時(shí)d=3=5故d=3sinπ30t+θ+2當(dāng)t≈38時(shí)，38π30=180°+48°，且sin∴d=2+3cos故盛水筒P沒(méi)有進(jìn)入水中，C錯(cuò)誤；當(dāng)t≈22時(shí)，22π30=90°+42°，且sin42故盛水筒P到達(dá)最高點(diǎn)，D正確.故選：ABD【變式12-1】2.（2021秋·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面1米，點(diǎn)O在地面上的射影為A．風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)O開始，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P的高度之和為A．5米 B．(4＋7)米C．(4＋17)米 D．(4＋19)米【答案】D【分析】以圓心O1為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閥軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)大風(fēng)車的半徑為2m，圓上最低點(diǎn)O離地面1米，12s秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可得到ft與t間的函數(shù)關(guān)系式，求出P的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)【詳解】以圓心O1建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)∠OO1∴θ＝π6t，∴f(t)＝3－2cosπ風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)O開始，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)，θ＝6π＋2π3，P(3∴點(diǎn)P的高度為3－2×-12＝4.∵A(0，－3)，∴AP＝3+16＝∴點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P的高度之和為(4＋19)米，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用,意在考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.【變式12-1】3.（2021秋·河南洛陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(33,-3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒，經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y)，其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)①R=6.ω=π30②當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6；③當(dāng)t∈[10,25]時(shí)，函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減；④當(dāng)t=20時(shí)，PA【答案】①②④【分析】求出圓的半徑，利用周期求出ω，通過(guò)三角函數(shù)的解析式求解初相，求出函數(shù)的最值以及正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷，即可求解.【詳解】由題意，可得R=27+9=6,T=60=2π點(diǎn)A(33,-3)代入可得-3=6sinφ，因?yàn)橛蓎=f(t)=6sin(π30t-π6)，當(dāng)當(dāng)t∈[10,25]時(shí)，π30t-π當(dāng)t=20時(shí)，π30t-π6=所以正確的是①②④.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圖象求得函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中正確求得函數(shù)的解析式，合理利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.【變式12-1】4.（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校考階段練習(xí)）某小區(qū)有一個(gè)半徑為r米，圓心角是直角的扇形區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃照?qǐng)D將其改造出一塊矩形休閑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，然后在區(qū)域I（區(qū)域ACD），區(qū)域II（區(qū)域CBE）內(nèi)分別種上甲和乙兩種花卉（如圖），已知甲種花卉每平方米造價(jià)是a元，乙種花卉每平方米造價(jià)是3a元，設(shè)∠BOC=θ，中植花卉總造價(jià)記為fθ，現(xiàn)某同學(xué)已正確求得：fθ=ar2gθ【答案】θ-2sinθ【分析】根據(jù)Ⅰ，Ⅱ的面積均為扇形面積減去三角形面積，結(jié)合扇形的面積公式可得S1，SII，再根據(jù)fθ【詳解】S△OCE∴S∴f=ggθ在0,π6單調(diào)遞減，在∴f故答案為：θ-2sinθ題型13恒成立問(wèn)題有關(guān)三角函數(shù)綜合問(wèn)題的求解策略：1、根據(jù)題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而加深理解函數(shù)的性質(zhì).2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.【例題13】（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=acos2x-π4+6sinxA．m≥-1 B．m≥-12 C．m≥-【答案】C【分析】由三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后由對(duì)稱性求得a，再求得x1∈[0,π2]【詳解】fx=acos2x-πf(x)的圖象關(guān)于直線x=3π8所以22a-1=-3-2所以f(x)=2sin2x-2cosx1∈[0,π2]由題意存在x2∈(0,+∞)，使得m≥1x2故選：C．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題的結(jié)論：（1）?x1∈A,?x2∈B，（2）?x1∈A,?x2∈B，使得（3）?x1∈A,?x2∈B，使得【變式13-1】1.（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=acos2x-π4+6sinxA．m≥-1 B．m≥-12 C．m≥-【答案】C【分析】由三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后由對(duì)稱性求得a，再求得x1∈[0,π2]【詳解】fx=acos2x-πf(x)的圖象關(guān)于直線x=3π8所以22a-1=-3-2所以f(x)=2sin2x-2cos2x=2x1∈[0,π2]由題意存在x2∈(0,+∞)，使得m≥1x2故選：C．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題的結(jié)論：（1）?x1∈A,?x2∈B，（2）?x1∈A,?x2∈B，使得（3）?x1∈A,?x2∈B，使得【變式13-1】2.（2023春·河南許昌·高三鄢陵一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinxcosx+4cosA．12 B．32 C．2【答案】B【分析】設(shè)fx=5sin2x+φ+1，得到fx+c=5【詳解】設(shè)fx可得fx+c=5sin2x+φ+2c因?yàn)閷?shí)數(shù)a,b,c使得afx-bfx+c即5a即5a所以5由上式對(duì)任意x∈R恒成立，故必有a-bcos若b=0，則由式①知a=0，顯然不滿足式③，所以b≠0，所以，由式②知sin2c=0，則cos當(dāng)cos2c=1時(shí)，則式①，③所以cos2c=-1，由式①，③知a=-b=32故選：B.【變式13-1】3.（2021秋·重慶巴南·高三重慶市清華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若不等式mcosx-cos3x-1A．-∞,-94 B．-∞,-2 C．-∞,【答案】A【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)cos3x，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為mcosx-4cos3x+3cosx-1【詳解】解：因?yàn)閏os3x=所以mcosx-cos3x-18?0令t=cosx，則0<t<1，所以t(m+3)?4t3+18因?yàn)?t2+所以m+3?34，即所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-9故選：A【變式13-1】4.（2020·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若不等式a-|x-b|?sinx+A．22;22 B．2【答案】D【分析】設(shè)fx=a-|x-b|，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)，求得函數(shù)fx符號(hào)的變化，根據(jù)函數(shù)f【詳解】由0≤x≤2π，則π4當(dāng)π4≤x+π4≤π或2π≤x+π4當(dāng)π<x+π4<2π時(shí)，即3π所以當(dāng)0≤x≤3π4或7π4當(dāng)3π4<x<7π設(shè)函數(shù)fx=a-|x-b|，則fx在(-∞,b)且函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f(所以2b=3π4+又由f(3π4)=a-|所以sin(a+b)=sin(故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，以及函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)fx【變式13-1】5.（多選）（2022秋·山西臨汾·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx，f'x是其導(dǎo)函數(shù)，?x∈0,πA．fπ6C．2f(π【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)gx【詳解】設(shè)gx=f當(dāng)0<x<1時(shí)，g'x<0，當(dāng)1<x<所以gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,所以gπ6>g1，即2fπ63因?yàn)?<π3<5π12所以3-1因?yàn)?<π12<π6即fπ6cosπ4所以2fπ6故選：ABD．題型14零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.【例題14】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知y=f(x)，x∈R滿足f(x+2)=f(x-2)，f(0)=0，當(dāng)x∈(0,4)時(shí)，f(x)=log2x4-x．已知g(x)=2sin(π2【答案】1326【分析】分析函數(shù)f(x)的周期性和對(duì)稱性，化簡(jiǎn)函數(shù)g(x)并求出其周期和對(duì)稱中心，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和求解.【詳解】函數(shù)y=f(x)，x∈R滿足f(x+2)=f(x-2)，即f(x+4)=f(x)，函數(shù)f(x)當(dāng)x∈(0,4)時(shí)，f(x)=log2x4-x，則即函數(shù)f(x)=log2x4-x因此函數(shù)y=f(x)，x∈R的圖象關(guān)于點(diǎn)(4k+2,0),k∈函數(shù)g(x)=-2sinπ2x的周期點(diǎn)(2,0)是y=g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，因此y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4k+2,0),k∈Z于是點(diǎn)(4k+2,0),k∈Z是函數(shù)y=f(x)，x∈R與函數(shù)由f(x)-g(x)=0，得f(x)=g(x)，因此函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)y=f(x)，x∈R與函數(shù)y=g(x)作出函數(shù)y=f(x)，y=g(x)在區(qū)間(0,4)的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)y=f(x)，y=g(x)在區(qū)間(0,4)上有3個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為3×2，于是函數(shù)y=f(x)，y=g(x)在區(qū)間(-4,0)上有3個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為3×(-2)，函數(shù)y=f(x)，y=g(x)在區(qū)間(4,8)上有3個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為3×6，因?yàn)閒(0)=0，則f(-4)=f(0)=f(4)=f(8)=0，又g(-4)=g(0)=g(4)=g(8)=0，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)在區(qū)間[-4,8]上共有3×3+4=13個(gè)零點(diǎn)，它們的和為-4+3×(-2)+0+3×2+4+3×6+8=26.故答案為：13；26【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【變式14-1】1.（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2-x+fx=0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，A．3.5,4 B．3.5,4 C．5.5,5 D．5.5,5【答案】A【分析】根據(jù)題意可知fx和sinπx都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將Fx=f【詳解】由f2-x+fx=0?fx=-f2-x=fx-2得因?yàn)閒x是奇函數(shù)，所以f0=0，且gx=sinπx的周期為T=2ππ=2，且求Fx=fx-sin

為fx與gx在-1,1區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因?yàn)閒x因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知Fx的零點(diǎn)周期為1若在區(qū)間-1,m上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為3.5,0，第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，因此3.5≤m<4.故選：A【變式14-1】2.（2023春·天津南開·高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知m>0，函數(shù)f(x)=(x-2)A．π12,5π12∪【答案】A【分析】分別求出兩段函數(shù)各自的零點(diǎn)，作出圖像利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案.【詳解】設(shè)gx=(x-2)ln求導(dǎo)g由反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知g'x在且g'12<0，g'1>0當(dāng)x∈-1,x0時(shí)，g當(dāng)x∈x0,m時(shí)，g令gx=0，解得x=0或2，可作出函數(shù)令hx=0，即3x+π4=π2+kπ,k∈Z，在作出圖像如下圖數(shù)形結(jié)合可得：π12故選：A【變式14-1】3.（2023·天津·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=2sinπ2A．-4,-32C．-4,-72【答案】C【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)可以畫出函數(shù)f(x)的圖像，關(guān)于x的方程fx【詳解】由題意可知，函數(shù)f(x)的圖像如下圖所示：根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)f(x)在-∞,-1,且x=±1時(shí)取最大值2，在x=0時(shí)取最小值0，y=3令f(x)=t，則關(guān)于x的方程fx2此時(shí)關(guān)于t的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（其他情況不合題意），設(shè)t1顯然，有以下兩種情況符合題意：①當(dāng)t1∈(0,32②當(dāng)t1=2,t2綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈(-4,-7故選：C.【變式14-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)fx，當(dāng)x≥0時(shí)滿足fx=4cosxsin(x+π【答案】-【分析】根據(jù)題意，作出fx的圖象，設(shè)t=fx，得到方程t2+2at+2=0，設(shè)gt【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)0≤x≤π6=23因?yàn)?≤x≤π6，可得π6≤2x+π6≤又由x>π6時(shí)，f(x)=(因?yàn)楹瘮?shù)fx是R上的偶函數(shù)，畫出函數(shù)f

設(shè)t=fx，則方程fx2由圖象可得：當(dāng)t=2時(shí)，方程t=fx當(dāng)32<t<2時(shí)，方程當(dāng)1<t<32時(shí)，方程當(dāng)t=1時(shí)，方程t=fx要使得fx設(shè)t1,t2是方程t2①t2=232<t1此時(shí)方程為t2-3t+2=0，解得t1②1<t1<32綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3故答案為：-3題型15與數(shù)列相關(guān)問(wèn)題【例題15】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，P1是一塊半徑為1的圓形紙板，在P1的左下端前去一個(gè)半徑為12的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個(gè)更小半圓（其直徑為前一個(gè)前掉半圓的半徑）得圖形P3，P4,?,A．L3=C．Ln=π【答案】ABD【分析】觀察圖形，分析剪掉的半圓的變化，紙板Pn相較于紙板Pn-1n≥2剪掉了半徑為12n-1的半圓，再分別寫出【詳解】根據(jù)題意可得紙板Pn相較于紙板Pn-1n≥2剪掉了半徑為12n-1的半圓，故Ln=Ln-1-12n-1×2+12π×22n-1，即L又Sn=Sn-1-又S1=π2，S2-S1=-π23，故選：ABD【變式15-1】1.（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知fx=sinx+lnx，將y=f(x)的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列A．甲正確，乙正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤【答案】A【分析】將函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象判斷命題甲，結(jié)合函數(shù)圖像利用極限思想判斷命題乙.【詳解】函數(shù)fx=sinx+ln令f'x=0所以函數(shù)fx的極值點(diǎn)為函數(shù)y=cosx在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y=cosxx>0如圖所示，由圖可知，在區(qū)間n-1π,nπn∈N*內(nèi)，函數(shù)函數(shù)y=cosx所以命題甲正確；因?yàn)閤n+1>x所以-1xn所以隨著n的增大，xn與2n-1所以數(shù)列xn故選：A.

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有極值點(diǎn)的定義，余弦函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，利用圖象研究方程的根等，考查數(shù)形結(jié)合，極限等數(shù)學(xué)思想，屬于綜合題.【變式15-1】2.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）將關(guān)于x的方程2sin2x+tπ=1（t為實(shí)常數(shù)，0<t<1）在區(qū)間0,+∞上的解從小到大依次記為x1,x2【答案】0,【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的周期性得出x1,x【詳解】由2sin2x+tπ=1得sin2x+tπ=

因?yàn)楹瘮?shù)y=sin2x+tπ所以x1,xx2,x所以T20=x令2x+tπ=kπ因?yàn)閤∈0,+∞，所以由函數(shù)y=sin2x+tπ圖象的對(duì)稱性知，x1與x2因?yàn)?<t<1，所以當(dāng)0<tπ≤π6，即0<t≤16時(shí)，可知x1與當(dāng)π6<tπ≤5π6，即16<t≤5所以12當(dāng)5π6<tπ<π，即56<t<1綜上，0<t≤16或故答案為：0,1【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及同一函數(shù)的不同自變量值對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)求解.【變式15-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列an滿足tanan=1n2+n+1，an∈【答案】π【分析】將1n2+n+1化為n+1-n1+n+1n，構(gòu)造數(shù)列b【詳解】由已知，tana令tanbn=n，b∵an∈0,π2∴an的前n項(xiàng)和S又∵tanb1=1，b∵bn+1∈0,又∵Sn∴k的范圍為π4故答案為：π4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：合理構(gòu)造數(shù)列，使用裂項(xiàng)相消法求和，是本題解題的關(guān)鍵所在.【變式15-1】4.（2021·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎猣x=tanx，數(shù)列an滿足：對(duì)任意n∈N*，an∈0,π【答案】298【分析】先求出f'x=1cos2x確定tan2an是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出