海南省2021屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2020—2021學(xué)年海南省高三年級第一次模擬考試數(shù) 學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1．已知集合，，則A． B． C． D．2．A． B． C． D．3．已知雙曲線：，則“”是“直線是的一條漸近線”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4． 希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為A． B． C． D．5．在中，，，，分別是斜邊上的兩個三等分點，則A．6 B．8 C．9 D．106．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．7．等比數(shù)列中，，．則的前9項之和為A．18 B．42 C．45 D．18或428．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意，，，若，則的取值范圍為A． B． C． D．二、選擇題9．已知，則A． B． C． D．10．已知函數(shù)的最小正周期為．將該函數(shù)的圖象向左平移了個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B．是的圖象的對稱中心C．在上單調(diào)遞增 D．在上的值域為11．如圖所示，在三棱錐中，，且，為線段的中點．則A．與垂直B．與平行C．點到點，，，的距離相等D．與平面，與平面所成的角可能相等12．對于定義在上的函數(shù)和定義在上的函數(shù)，若直線同時滿足：①，，②，，則稱直線為與的“隔離直線”．若，，則下列為與的隔離直線的是A． B． C． D．三、填空題13．已知向量，，若與共線，則實數(shù)______．14．已知，則______．15．已知，為正數(shù)，且，則的最小值是______．16．粽子古稱“角黍”，是中國傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米等食材蒸制而成．因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形狀可以看成所有棱長均為的正四棱錐，則這個粽子的表面積為______，現(xiàn)在需要在粽子內(nèi)部放入一顆咸蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，則當這個蛋黃的體積最大時，其半徑與正四棱錐的高的比值為______．四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求的通項公式；否則，說明理由．問題：數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，是否存在正數(shù)使得，且______？注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．18．在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，且的面積為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的值．19．為了解國內(nèi)不同年齡段的民眾旅游消費的基本情況．某旅游網(wǎng)站從其數(shù)據(jù)庫中隨機抽取了1000條客戶信息進行分析，這些客戶一年的旅游消費金額數(shù)據(jù)如下表所示；旅游消費（千元）年輕人（人）958570506535中老年人（人）609511513011585把一年旅游消費金額滿8千元稱為“高消費”，否則稱為“低消費”．（Ⅰ）從這些客戶中隨機選一人．求該客戶是高消費的中老年人的概率；（Ⅱ）估計低消費的年輕人的平均消費；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（Ⅲ）完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為旅游消費的高低與年齡有關(guān)．低消費高消費合計年輕人中老年人合計附表及公式：，其中0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82820．如圖，三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形，且平面平面．（Ⅰ）若點是線段的中點，求證：平面；（Ⅱ）點在線段出上且滿足，求與平面所成角的正弦值．21．已知橢圓的左、右頂點分別為，，離心率為，過點作直線交橢圓于點，（與，均不重合）．當點與橢圓的上頂點重合時，．（Ⅰ）求橢圓標準方程；（Ⅱ）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．22．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減．（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若存在非零實數(shù)，滿足，，依次成等差數(shù)列．求證：．

2020—2021學(xué)年海南省高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)·答案一、單項選擇題1．答案B命題意圖本題考查集合的運算．解析．2．答案D命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的運算．解析．3．答案A命題意圖本題考查雙曲線的標準方程和基本性質(zhì)，充分條件與必要條件的判斷．解析當時，雙曲線方程為，以漸近線方程為，滿足充分性；反之，雙曲線的一條漸近線方程為時，任意的均可，不滿足必要性．4．答案A命題意圖本題考查三角形和圓的有關(guān)計算．解析由已知可得，的外接圓半徑為1．由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對應(yīng)的圓心角為，則弓形的面積為，外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，則月牙形的面積為．5．答案D命題意圖本題考查平面向量的數(shù)量積運算．解析如圖所示，以點為原點建立直角坐標系，則可設(shè)點，，所以，，．6．答案C命題意圖本題考查利用函數(shù)性質(zhì)分析函數(shù)圖象．解析因為函數(shù)在處沒有意義，且函數(shù)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于軸對稱，排除A，B．又，排除D．7．答案D命題意圖本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)．解析設(shè)公比為，則，即，所以，所以，所以或18．8．答案B命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．解析構(gòu)造函數(shù)，則．∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴．二、多項選擇題9．答案CD命題意圖本題考查不等式的性質(zhì)．解析∵，∴，逐個判斷可知C，D正確．10．答案BCD命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解析由，可得，函數(shù)的圖象向左平移個位長度后，得到的圖象，∵為奇函數(shù)，∴，∵，∴，，∴A錯誤．∵當時，∴，∴B正確．當時，，∴在上單調(diào)遞增，C正確．當時，，，D正確．11．答案AC命題意圖本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征、空間位置關(guān)系的判斷．解析過點作，垂足為，連接，可得為的中點．因為，所以，所以平面，所以，從而A正確．由條件可知，而與有交點，因而與不平行，B錯誤．點是的外心，所以到，，的距離相等，根據(jù)條件可知平面，從而平面，又因為是的外心，所以點到，，的距離相等，所以點到，，，四點的距離都相等，C正確．與平面所成的角即，與平面所成的角即，，，所以兩個角不可能相等，D錯誤．12．答案AB命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．解析根據(jù)隔離直線的定義，的圖象總在隔離直線的下方，的圖象總在隔離直線的上方，并且可以有公共點．，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，同時注意到，．，單調(diào)遞增，且．根據(jù)上述特征可以畫出和的大致圖象，如圖直線和分別是兩條曲線的切線，這兩條切線以及它們之間與直線平行的直線都滿足隔離直線的條件，所以A，B都符合直線也是曲線的切線，因此直線與曲相交，故C不符合．直線過點，斜率為，曲線在點處的切線斜率為1，明顯不滿足，排除D．三、填空題13．答案4命題意圖本題考查平面向量的坐標運算，向量共線．解析，，因為與共線，所以，解得．14．答案1命題意圖本題考查三角恒等變換的應(yīng)用．解析．15．答案4命題意圖本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用．解析因為，所以，所以，當且僅當時取等號，此時，，故的最小值為4．16．答案；命題意圖本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)計算．解析每個側(cè)面三角形的面積均為，底面正方形的面積為，所以四棱錐的表面積為；球的體積要達到最大，則需要球與四棱錐五個面都相切，正四棱錐的高為，設(shè)球的半徑為，所以四棱錐的體積，故，．四、解答題17．命題意圖本題考查數(shù)列的概念以及遞推關(guān)系的應(yīng)用．解析由題意，，兩式相減并整理，得，因為，所以，于是是公差為的等差數(shù)列．又，解得（舍去），所以．選擇條件①：因為，所以，故．選擇條件②：因為，，而，所以，與條件矛盾，故不存在滿足條件的．選擇條件③：因為，所以，故．18．命題意圖本題考查三角恒等變換和解三角形．解析（Ⅰ）因為，所以，由，得，又因為，所以．（Ⅱ）由已知及余弦定理得，即，因此．由正弦定理可得，故．19．命題意圖本題考查統(tǒng)計與概率，獨立性檢驗的應(yīng)用．解析（Ⅰ）樣本中總客戶數(shù)為1000，其中高消費的中老年人有200人，隨機選一人，則該客戶是高消費的中老年人的概率為．（Ⅱ）樣本中低消費的年輕人的平均消費為（千元）．（Ⅲ）2×2列聯(lián)表如下：低消費高消費合計年輕人300100400中老年人400200600合計7003001000，因為，所以有99%的把握認為旅游消費的高低與年齡有關(guān)．20．命題意圖本題考查空間位置關(guān)系的推理和證明，用空間向量解決問題．解析（Ⅰ）因為和都為等邊三角形，且有公共邊，所以．因為為的中點，所以，，又因為，所以平面．（Ⅱ）取的中點，連接，，由條件可得，，兩兩垂直．以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖．設(shè)，則，則點，，，，，所以，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得．設(shè)與平面所成角為，則．21．命題意圖本題考查橢圓的標準方程和性質(zhì)、橢圓和直線的位置關(guān)系．解析（Ⅰ）當點與橢圓的上頂點重合時，有，所以．①又因為離心率，②由①②解得，，所以的方程為．（Ⅱ）由題意，設(shè)直線的方程為，6分）