廣東省廣州市2020屆高三一模文科數(shù)學試題(附答案)

./2020年高考模擬高考數(shù)學一模試卷〔文科一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z＝i〔1+i,則|z|＝〔A．B．C．1D．2．已知集合A＝{0,1,2,3},B＝{﹣1,0,1},P＝A∩B,則P的子集共有〔A．2個B．4個C．6個D．8個3．設(shè)向量＝〔m,1,＝〔2,﹣1,且⊥,則m＝〔A．﹣2B．﹣C．D．24．已知{an}是等差數(shù)列,a3＝5,a2﹣a4+a6＝7,則數(shù)列{an}的公差為〔A．﹣2B．﹣1C．1D．25．已知命題p：?x∈R,x2﹣x+1＜0；命題q：?x∈R,x2＞x3,則下列命題中為真命題的是〔A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q6．已知偶函數(shù)f〔x滿足f〔x＝x﹣〔x＞0,則{x|f〔x+2＞1}＝〔A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}7．如圖,圓O的半徑為1,A,B是圓上的定點,OB⊥OA,P是圓上的動點,點P關(guān)于直線OB的對稱點為P',角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,將|﹣|表示為x的函數(shù)f〔x,則y＝f〔x在[0,π]上的圖象大致為〔A．B．C．D．8．陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅．如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為〔A．〔7+2πB．〔10+2πC．〔10+4πD．〔11+4π9．某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為e,設(shè)地球半徑為R,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為〔A．r+RB．r+RC．r+RD．r+R10．已知函數(shù)f〔x＝x﹣alnx﹣1存在極值點,且f〔x≤0恰好有唯一整數(shù)解,則實數(shù)a的取值圍是〔A．〔﹣∞,1B．〔0,1C．〔0,D．〔,+∞11．已知F1,F2是雙曲線C：﹣y2＝1〔a＞0的兩個焦點,過點F1且垂直于x軸的直線與C相交于A,B兩點,若|AB|＝,則△ABF2的切圓的半徑為〔A．B．C．D．12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,E,F,G分別是棱AD,CC1,C1D1的中點,給出下列四個命題：①EF⊥B1C；②直線FG與直線A1D所成角為60°；③過E,F,G三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形；④三棱錐B﹣EFG的體積為．其中,正確命題的個數(shù)為〔A．1B．2C．3D．4二、填空題13．已知函數(shù)y＝f〔x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱,則f〔4＝．14．設(shè)x,y滿足約束條件,則z＝x﹣2y的最小值為．15．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成．某班級從3名男生A1,A2,A3和3名女生B1,B2,B3中各隨機選出兩名,把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,則A1和B1兩人組成一隊參加比賽的概率為．16．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若2Sn﹣an＝,則a3+a4＝,數(shù)列{an+2﹣an}的前n項和Tn＝．三、解答題17．某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的情況,從生產(chǎn)線上隨機抽取了80個零件進行測量,根據(jù)所測量的零件尺寸〔單位：mm,得到如圖的頻率分布直方圖：〔1根據(jù)頻率分布直方圖,求這80個零件尺寸的中位數(shù)〔結(jié)果精確到0.01；〔2已知尺寸在[63.0,64.5上的零件為一等品,否則為二等品．將這80個零件尺寸的樣本頻率視為概率,從生產(chǎn)線上隨機抽取1個零件,試估計所抽取的零件是二等品的概率．18．已知a,b,c分別是△ABC角A,B,C的對邊,sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．〔1求sinB的值；〔2若b＝2,△ABC的面積為,求△ABC的周長．19．如圖,三棱錐P﹣ABC中,PA＝PC,AB＝BC,∠APC＝120°,∠ABC＝90°,AC＝PB＝2．〔1求證：AC⊥PB；〔2求點C到平面PAB的距離．20．已知點P是拋物線C：y＝﹣3的頂點,A,B是C上的兩個動點,且?＝﹣4．〔1判斷點D〔0,﹣1是否在直線AB上？說明理由；〔2設(shè)點M是△PAB的外接圓的圓心,求點M的軌跡方程．21．已知函數(shù)f〔x＝alnx﹣,曲線y＝f〔x在點〔1,f〔1處的切線方程為2x﹣y﹣2﹣e＝0．〔1求a,b的值；〔2證明函數(shù)f〔x存在唯一的極大值點x0,且f〔x0＜2ln2﹣2．〔二選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．已知曲線C1的參數(shù)方程為〔t為參數(shù),曲線C2的參數(shù)方程為〔θ為參數(shù)．〔1求C1與C2的普通方程；〔2若C1與C2相交于A,B兩點,且|AB|＝,求sinα的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知a＞0,b＞0,且a+b＝1．〔1求+的最小值；〔2證明：＜．參考答案一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z＝i〔1+i,則|z|＝〔A．B．C．1D．解：∵z＝i〔1+i＝﹣1+i,∴|z|＝．故選：D．2．已知集合A＝{0,1,2,3},B＝{﹣1,0,1},P＝A∩B,則P的子集共有〔A．2個B．4個C．6個D．8個解：∵集合A＝{0,1,2,3},B＝{﹣1,0,1},∴P＝A∩B＝{0,1},∴P的子集共有22＝4．故選：B．3．設(shè)向量＝〔m,1,＝〔2,﹣1,且⊥,則m＝〔A．﹣2B．﹣C．D．2解：∵向量＝〔m,1,＝〔2,﹣1,且,∴＝2m﹣1＝0,解得m＝,∴實數(shù)m＝．故選：C．4．已知{an}是等差數(shù)列,a3＝5,a2﹣a4+a6＝7,則數(shù)列{an}的公差為〔A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵{an}是等差數(shù)列,a3＝5,a2﹣a4+a6＝7,∴,解得a1＝1,d＝2．∴數(shù)列{an}的公差為2．故選：D．5．已知命題p：?x∈R,x2﹣x+1＜0；命題q：?x∈R,x2＞x3,則下列命題中為真命題的是〔A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q解：x2﹣x+1＝〔x﹣2+＞0恒成立,故命題p：?x∈R,x2﹣x+1＜0為假命題,當x＝﹣1時,x2＞x3,成立,即命題q：?x∈R,x2＞x3,為真命題,則￢p∧q為真,其余為假命題,故選：B．6．已知偶函數(shù)f〔x滿足f〔x＝x﹣〔x＞0,則{x|f〔x+2＞1}＝〔A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}[分析]偶函數(shù)f〔x滿足f〔x＝x﹣〔x＞0,在〔0,+∞遞增,根據(jù)單調(diào)性判斷即可．解：偶函數(shù)f〔x滿足f〔x＝x﹣〔x＞0,在〔0,+∞遞增,且f〔2＝1,故f〔x+2＞1,即|x+2|＞2,解得{x|x＞0或者x＜﹣4},故選：A．7．如圖,圓O的半徑為1,A,B是圓上的定點,OB⊥OA,P是圓上的動點,點P關(guān)于直線OB的對稱點為P',角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,將|﹣|表示為x的函數(shù)f〔x,則y＝f〔x在[0,π]上的圖象大致為〔A．B．C．D．[分析]設(shè)PP'的中點為M,則|﹣|＝,當x∈[0,]時,在Rt△OMP中,利用三角函數(shù)可知,|PM|＝cosx,所以f〔x＝2cosx,從而得解．解：設(shè)PP'的中點為M,則|﹣|＝,當x∈[0,]時,在Rt△OMP中,|OP|＝1,∠OPM＝∠POA＝x,所以cosx＝,所以|PM|＝cosx,|﹣|＝2cosx,即f〔x＝2cosx,x∈[0,]．從四個選項可知,只有選項A正確,故選：A．8．陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅．如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為〔A．〔7+2πB．〔10+2πC．〔10+4πD．〔11+4π[分析]畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是圓柱,下部是圓錐,幾何體的表面積為：＝〔10+4π．故選：C．9．某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為e,設(shè)地球半徑為R,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為〔A．r+RB．r+RC．r+RD．r+R[分析]由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離．解：橢圓的離心率：e＝∈〔0,1,〔c為半焦距；a為長半軸只要求出橢圓的c和a,設(shè)衛(wèi)星近地點,遠地點離地面距離分別為m,n,由題意,結(jié)合圖形可知,a﹣c＝r+R,遠地點離地面的距離為：n＝a+c﹣R,m＝a﹣c﹣R,a＝,c＝,所以遠地點離地面的距離為：n＝a+c﹣R＝＝．故選：A．10．已知函數(shù)f〔x＝x﹣alnx﹣1存在極值點,且f〔x≤0恰好有唯一整數(shù)解,則實數(shù)a的取值圍是〔A．〔﹣∞,1B．〔0,1C．〔0,D．〔,+∞[分析]利用導數(shù)可知函數(shù)f〔x在〔0,a單調(diào)遞減,在〔a,+∞單調(diào)遞增,再分0＜a≤1及a＞1討論即可得出結(jié)果．解：函數(shù)的定義域為〔0,+∞,且,又函數(shù)f〔x存在極值點,即y＝f′〔x有變號零點,故a＞0,故函數(shù)f〔x在〔0,a單調(diào)遞減,在〔a,+∞單調(diào)遞增,注意到f〔1＝0,x→0時,f〔x＞0,①當0＜a≤1時,顯然f〔x≤0恰好有唯一整數(shù)解x＝1,滿足題意；②當a＞1時,只需滿足f〔2＞0,即1﹣aln2＞0,解得；綜上,實數(shù)a的取值圍為．故選：C．11．已知F1,F2是雙曲線C：﹣y2＝1〔a＞0的兩個焦點,過點F1且垂直于x軸的直線與C相交于A,B兩點,若|AB|＝,則△ABF2的切圓的半徑為〔A．B．C．D．[分析]設(shè)左焦點F1的坐標,由過F1垂直于x軸的直線與橢圓聯(lián)立可得弦長AB,再由橢圓可得a的值,進而可得雙曲線的方程,及左右焦點的坐標,進而求出三角形ABF2的面積,再由三角形被切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得切圓的半徑．解：由雙曲線的方程可設(shè)左焦點F1〔﹣c,0,由題意可得AB＝＝,再由b＝1,可得a＝,所以雙曲線的方程為：﹣y2＝1,所以F1〔﹣,0,F2〔,0,所以S＝?F1F2＝＝,三角形ABF2的周長為C＝AB+AF2+BF2＝AB+〔2a+AF1+〔2a+BF1＝4a+2AB＝4+2＝6,設(shè)切圓的半徑為r,所以三角形的面積S＝＝＝3,所以3＝,解得：r＝,故選：B．12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,E,F,G分別是棱AD,CC1,C1D1的中點,給出下列四個命題：①EF⊥B1C；②直線FG與直線A1D所成角為60°；③過E,F,G三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形；④三棱錐B﹣EFG的體積為．其中,正確命題的個數(shù)為〔A．1B．2C．3D．4[分析]畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可．解：如圖；連接相關(guān)點的線段,O為BC的中點,連接EFO,因為F是中點,可知B1C⊥OF,EO⊥B1C,可知B1C⊥平面EFO,即可證明B1C⊥EF,所以①正確；直線FG與直線A1D所成角就是直線A1B與直線A1D所成角為60°；正確；過E,F,G三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形ENFGI．所以③不正確；三棱錐B﹣EFG的體積為：VG﹣EBM＝＝．VF﹣EBM＝＝．所以三棱錐B﹣EFG的體積為．④正確；故選：C．二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分．13．已知函數(shù)y＝f〔x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱,則f〔4＝2．[分析]先利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)f〔x的解析式,即可求出f〔4的值．解：由題意可知,函數(shù)y＝f〔x與函數(shù)y＝2x互為反函數(shù),∴f〔x＝log2x,∴f〔4＝log24＝2,故答案為：2．14．設(shè)x,y滿足約束條件,則z＝x﹣2y的最小值為﹣1．[分析]先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè)z＝x﹣2y,再利用幾何意義求最值,將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大,只需求出直線z＝x﹣2y,取得截距的最小值,從而得到z最小值即可．解：由約束條件得到如圖可行域,由目標函數(shù)z＝x﹣2y得到y(tǒng)＝x﹣z；當直線經(jīng)過A時,直線在y軸的截距最大,使得z最小,由得到A〔1,1,所以z的最小值為1﹣2×1＝﹣1；故答案為：﹣1．15．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成．某班級從3名男生A1,A2,A3和3名女生B1,B2,B3中各隨機選出兩名,把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,則A1和B1兩人組成一隊參加比賽的概率為．[分析]先設(shè)分為甲乙兩隊,求出基本事件的總數(shù),再根據(jù)A1和B1兩人組成一隊,求出符合條件的個數(shù),相比即可求解．解：設(shè)分為甲乙兩隊；則甲隊的人任選的話有：＝9種情況,乙隊去選時有：＝4種情況；故共有9×4＝36種情況；若A1和B1兩人組成一隊,在甲隊時,乙隊有＝4種情況；在乙隊時,甲隊有＝4種情況；故共有4+4＝8種情況；所以：A1和B1兩人組成一隊參加比賽的概率為：＝．故答案為：．16．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若2Sn﹣an＝,則a3+a4＝﹣,數(shù)列{an+2﹣an}的前n項和Tn＝．[分析]〔1直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．〔2利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和分組求和的應(yīng)用求出結(jié)果．解：〔1由于數(shù)列{an}滿足2Sn﹣an＝,①當n≥2時,②,①﹣②得：,整理得,所以．〔2由于,故③,所以④,③﹣④得：,所以…+,＝﹣2×〔+,＝〔﹣+〔,＝．故答案為：〔1,〔2三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟．第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.〔一必考題：共60分．17．某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的情況,從生產(chǎn)線上隨機抽取了80個零件進行測量,根據(jù)所測量的零件尺寸〔單位：mm,得到如圖的頻率分布直方圖：〔1根據(jù)頻率分布直方圖,求這80個零件尺寸的中位數(shù)〔結(jié)果精確到0.01；〔2已知尺寸在[63.0,64.5上的零件為一等品,否則為二等品．將這80個零件尺寸的樣本頻率視為概率,從生產(chǎn)線上隨機抽取1個零件,試估計所抽取的零件是二等品的概率．[分析]〔1由頻率分布直方圖中中位數(shù)兩邊頻率相等,即可求出中位數(shù)的大??；〔2計算尺寸在[63.0,64.5外的頻率,用頻率估計概率,即可得出結(jié)論．解：〔1由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：〔0.075+0.225×0.5＝0.15,0.15+0.75×0.5＝0.525,所以中位數(shù)在[63.0,63.5,設(shè)為a,則0.15+〔a﹣63.0×0.75＝0.5,解得a≈63.47,所以估計中位數(shù)為63.47；〔2尺寸在[63.0,64.5上的頻率為〔0.750+0.650+0.200×0.5＝0.8,且1﹣0.8＝0.2,所以從生產(chǎn)線上隨機抽取1個零件,估計所抽取的零件是二等品的概率為0.2．18．已知a,b,c分別是△ABC角A,B,C的對邊,sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．〔1求sinB的值；〔2若b＝2,△ABC的面積為,求△ABC的周長．[分析]〔1由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理可求cosB,然后結(jié)合同角平方關(guān)系可求sinB；〔2由已知結(jié)合三角形的面積公式可求ac,然后結(jié)合余弦定理即可求解a+c,進而可求三角形的周長．解：〔1因為sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．由正弦定理可得,,由余弦定理可得,cosB＝,故sinB＝；〔2∵S△ABC＝＝＝,所以ac＝3,因為,所以＝4+8＝12,所以a+c+b＝2+2．19．如圖,三棱錐P﹣ABC中,PA＝PC,AB＝BC,∠APC＝120°,∠ABC＝90°,AC＝PB＝2．〔1求證：AC⊥PB；〔2求點C到平面PAB的距離．[分析]〔1取AC的中點為O,連接BO,PO,證明PO⊥AC,BO⊥AC,推出AC⊥平面OPB,即可證明AC⊥BP；〔2在直角三角形ABC中,由AC＝2,O為AC的中點,得BO＝1,求解PO＝,結(jié)合PB＝,可得PO⊥BO,又PO⊥AC,得到PO⊥平面ABC,然后利用等體積法求點C到平面PAB的距離．[解答]〔1證明：取AC的中點為O,連接BO,PO．在△PAC中,∵PA＝PC,O為AC的中點,∴PO⊥AC,在△BAC中,∵BA＝BC,O為AC的中點,∴BO⊥AC,∵OP∩OB＝O,OP,OB?平面OPB,∴AC⊥平面OPB,∵PB?平面POB,∴AC⊥BP；〔2解：在直角三角形ABC中,由AC＝2,O為AC的中點,得BO＝1,在等腰三角形APC中,由∠APC＝120°,得PO＝,又∵PB＝,∴PO2+BO2＝PB2,即PO⊥BO,又PO⊥AC,AC∩OB＝O,∴PO⊥平面ABC,求解三角形可得PA＝,又AB＝,得＝．設(shè)點C到平面PAB的距離為h,由VP﹣ABC＝VC﹣PAB,得,解得h＝,故點C到平面PAB的距離為．20．已知點P是拋物線C：y＝﹣3的頂點,A,B是C上的兩個動點,且?＝﹣4．〔1判斷點D〔0,﹣1是否在直線AB上？說明理由；〔2設(shè)點M是△PAB的外接圓的圓心,求點M的軌跡方程．[分析]〔1由拋物線的方程可得頂點P的坐標,設(shè)直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,求出數(shù)量積?,再由題意?＝﹣4可得直線AB恒過〔0,﹣1,即得D在直線AB上；〔2設(shè)A,B的坐標,可得直線PA,PB的斜率及線段PA,PB的中點坐標,進而求出線段PA,PB的中垂線的方程,兩個方程聯(lián)立求出外接圓的圓心M的坐標,由〔1可得M的橫縱坐標關(guān)于參數(shù)k的表達式,消參數(shù)可得M的軌跡方程．解：〔1由拋物線的方程可得頂點P〔0,﹣3,由題意可得直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為：y＝kx+4,設(shè)A〔x1,y1,B〔x2,y2聯(lián)立直線與拋物線的方程：,整理可得：x2﹣4kx﹣4〔b+3＝0,△＝16k2+16〔3+b＞0,即k2+3+b＞0,x1+x2＝4k,x1x2＝﹣4〔b+3,y1y2＝k2x1x2+kb〔x1+x2+b2＝﹣4k2〔b+3+4k2b+b2＝b2﹣12k2,y1+y2＝k〔x1+x2+2b＝4k2+2b,因為＝〔x1,y1+3〔x2,y2+3＝x1x2+y1y2+3〔y1+y2+9＝﹣4〔b+3+b2﹣12k2+3〔4k2+2b+9＝b2+2b﹣3,而?＝﹣4,所以b2+2b﹣3＝﹣4,解得b＝﹣1,m滿足判別式大于0,即直線方程為y＝kx﹣1,所以恒過〔0,﹣1可得點D〔0,﹣1是否在直線AB上．〔2因為點M是△PAB的外接圓的圓心,所以點M是三角形PAB三條邊的中垂線的交點,設(shè)線段PA的中點為F,線段PB的中點為為E,因為P〔0,﹣3,設(shè)A〔x1,y1,B〔x2,y2所以F〔,,E〔,,kPA＝,kPB＝,所以線段PA的中垂線的方程為：y﹣＝﹣〔x﹣,因為A在拋物線上,所以y1+3＝,PA的中垂線的方程為：y﹣+3＝﹣〔x﹣,即y＝﹣x+﹣1,同理可得線段PB的中垂線的方程為：y＝﹣x+﹣1,聯(lián)立兩個方程,解得,由〔1可得x1+x2＝4k,x1x2＝﹣4〔b+3＝﹣8,所以xM＝﹣＝k,yM＝＝＝2k2,即點M〔k,2k2,所以xM2＝,即點M的軌跡方程為：x2＝y(tǒng)．21．已知函數(shù)f〔x＝alnx﹣,曲線y＝f〔x在點〔1,f〔1處的切線方程為2x﹣y﹣2﹣e＝0．〔1求a,b的值；〔2證明函數(shù)f〔x存在唯一的極大值點x0,且f〔x0＜2ln2﹣2．[分析]〔1求導,可得f′〔1＝a,f〔1＝﹣be,結(jié)合已知切線方程即可求得a,b的值；〔2利用導數(shù)可得,x0∈〔1,2,再構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)求其最值即可得證．解：〔1函數(shù)的定義域為〔0,+∞,,則f′〔1＝a,f〔1＝﹣be,故曲線y＝f〔x在點〔1,f〔1處的切線方程為ax﹣y﹣a﹣be＝0,又曲線y＝f〔x在點〔1,f〔