專題28圓的方程及直線圓的位置關系（教師版）

專題28圓的方程及直線、圓的位置關系（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年全國乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關系，參數方程2023年全國乙（文科），第13題,5分根據拋物線上的點求標準方程，拋物線的定義2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分根據標準方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國乙（理科），第11題,5分2023年全國乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關系，求線段的中點坐標2023年全國乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關系向量的數量積2023年全國乙（理科），第20題,12分2023年全國乙（文科），第21題,12分1、根據離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點問題；2023年全國甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點三角形的面積問題2023年全國甲（理科），第8題,5分2023年全國甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點弦2023年全國甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點三角形2023年全國甲（理科），第20題,12分2023年全國甲（文科），第20題,12分1、根據直線與拋物線相交所得弦長求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內容為高考常考內容，常考選填題；2.考查圓的方程，判斷圓心與半徑；3.考查直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系；4.考查與圓相關的最值問題【備考策略】1.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,掌握圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想.3.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系,能根據給定兩個圓的方程判斷兩個圓的位置關系.4.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.5.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想.【命題預測】1.考查圓的方程，判斷圓心與半徑；2.考查直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系；3.考查與圓相關的最值問題知識講解一、圓的定義和圓的方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程圓心:,半徑:一般方程,即x+D22+y+E22=D2+圓心:,半徑:1.幾種特殊位置的圓的方程標準方程的設法一般方程的設法圓心在原點過原點圓心在軸上圓心在軸上與軸相切與軸相切2.以為直徑端點的圓的方程為.二、點與圓的位置關系點與圓的位置關系:1.若點在圓外,則>;

2.若點在圓上,則=;

3.若點在圓內,則<.

求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據圓的幾何性質,直接求出圓心的坐標和半徑,進而寫出方程.(2)待定系數法:①若已知條件與圓心和半徑有關,則設圓的標準方程,求出的值;②選擇圓的一般方程,依據已知條件列出關于的方程組,進而求出的值.求與圓有關的軌跡問題時,根據題設條件的不同常采用以下方法:①直接法:直接根據題目提供的條件列出方程.②定義法:根據圓與直線的定義列出方程.③幾何法:利用圓的幾何性質列出方程.④相關點代入法:找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式.把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)了數形結合以及轉化的數學思想,其中以下幾類轉化較為常見:(1)形如的最值問題,可轉化為動直線斜率的最值問題.(2)形如的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題.(3)形如的最值問題,可轉化為兩點間距離的平方的最值問題.求解形如(其中均為動點)且與圓有關的折線段的最值問題的基本思路:(1)“動化定”,把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離;(2)“曲化直”,即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決.利用已知或隱含的不等關系,先構建以待求量為元的不等式,再借助基本不等式求最值.三、判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法1.三種位置關系:相交、相切、相離.

2.兩種研究方法(1)Δ>0?(2)d<r圓與圓的位置關系設圓,圓.位置關系幾何法:圓心距與的關系代數法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離無解

外切一組實數解

相交兩組不同的實數解

內切一組實數解

內含無解

1.與圓的切線有關的結論(1)過圓上一點的切線方程為;(2)過圓上一點的切線方程為;(3)過圓外一點作圓的兩條切線,切點分別為,則過兩點的直線方程為.2.直線被圓截得的弦長弦心距,弦長的一半及圓的半徑構成一直角三角形,且有.3.兩圓相交時公共弦所在直線的方程設圓,①圓.②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線的方程由①②得到,即(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0.4.常用的圓系方程(1)圓心為定點的同心圓系方程為,其中為定值,是參數.(2)半徑為定值的圓系方程為,其中為參數,是定值.(3)過圓與直線的交點的圓系方程為.(4)過圓與圓交點的圓系方程為,此圓系中不含圓.判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法:利用與的關系.(2)代數法:聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關系法:若直線恒過定點且定點在圓內,可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法,點與圓的位置關系適用于動直線問題.圓的切線方程的求法(1)幾何法:設切線方程為,利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離,然后令,進而求出.(2)代數法:設切線方程為,與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,然后令其根的判別式,進而求得.注意:若點在圓上(即為切點),則過該點的切線只有一條;若點在圓外,則過該點的切線有兩條(若通過上述方法只求出一個,則說明另一條切線的斜率一定不存在,此時另一條切線的方程為).求解圓的弦長的3種方法1.幾何法:根據半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形,求解.2.公式法:根據公式求解.3.距離法:聯(lián)立直線與圓的方程,解方程組求出兩交點的坐標,用兩點間距離公式求解.幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長.(2)利用平面內兩點間的距離公式求出圓心距和,的值.(3)比較,,的大小,寫出結論.若兩圓相交,則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去項得到.同時與兩個圓相切的直線稱為兩圓的公切線.當兩圓的位置關系不同時,公切線的條數也不同.具體情況如下表:位置關系切線條數外離4外切3相交2內切1內含0考點一、圓的標準方程與一般方程1．圓關于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓關于直線對稱的圓的圓心坐標，進而即可得到該圓的方程.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3設點關于直線的對稱點為，則，解之得則圓關于直線對稱的圓的圓心坐標為則該圓的方程為.2．與圓同圓心，且過點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據同圓心,可設圓的一般式方程為,代入點即可求解.【詳解】設所求圓的方程為，由該圓過點，得m＝4，所以所求圓的方程為.3．（2022年全國高考甲卷數學（文）試題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【分析】設出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x4與直線的交點(1,1).,的方程為.1．若圓與圓C關于直線對稱，則圓C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對稱性得出的圓C圓心坐標，進而寫出方程.【詳解】圓的標準方程為，其圓心為，半徑為因為關于直線對稱的點為，所以圓C的方程為即.2．若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.【詳解】由，得，則.3．（2022年全國高考乙卷數學（理）試題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設圓的方程為，根據所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．考點二、與圓有關的軌跡問題1．若圓與圓關于直線對稱，且過點C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用對稱求得，再根據題意給出的幾何特征建立方程化簡即可.【詳解】設圓的圓心關于直線y＝x－1的對稱點是，則由題意可得，計算可得，由題知它是圓的圓心，所以a＝2.設點P的坐標為（x，y），則有，化簡得.2．（2023年河北省模擬數學試題）點A是圓上的一個動點，點，當點A在圓上運動時，線段的中點P的軌跡方程為.【答案】【分析】設，利用中點坐標公式可用x，y表示出，再根據點A在圓上，即可得到答案．【詳解】設，又點，則，所以，，又點A在圓上，則，即，所以線段AB的中點P的軌跡方程為．3．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【分析】設動圓圓心的坐標為，半徑為，由題意可得，可得點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支．根據，，求得的值，可得點的軌跡方程．【詳解】設動圓圓心的坐標為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點的軌跡方程為．4．（20232024學年湖北省模擬考試數學試題）已知圓O的直徑，動點M滿足，則點M的軌跡與圓O的相交弦長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由距離公式化簡整理可得點M的軌跡，兩圓相減得公共弦直線方程，利用幾何關系即可求出弦長.【詳解】由題意，以線段AB的中點O為原點，以直線AB為x軸，建立平面直角坐標系，可設，，明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①，設動點，由，從而有，化簡得：，即②，由可得相交弦的方程為：，圓心到距離，所以公共弦長為.1．（2023年廣東省模擬數學試題）點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設出點坐標，得出點坐標，代入圓方程，即可得到線段的中點M的軌跡方程.【詳解】設點的坐標為，因為點是線段的中點，可得，點在圓上，則，即.2．已知兩條直線，，有一動圓（圓心和半徑都在變動）與都相交，并且被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26，24，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用點到直線距離公式與圓內弦長與半徑關系即可求解.【詳解】設動圓圓心，半徑為，則到的距離，到的距離，因為被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26，24，，化簡后得，相減得，將，代入后化簡可得.3．（2023年山東省模擬數學試題）兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立坐標系，由題意可得點M的軌跡方程，進而可得M點的軌跡長．【詳解】以點A為坐標原點，直線AB為x軸，建立直角坐標系，如圖，則，設點，由，得，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其周長為，所以M點的軌跡長為.4．已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．(1)求線段AP的中點的軌跡方程．(2)若，求線段中點的軌跡方程．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據中點坐標公式，結合相關點法即可求解，（2）根據直角三角形的性質，結合勾股定理即可由點點距離求解.【詳解】（1）設中點為，由中點坐標公式可知，點坐標為∵點在圓上，∴．故線段中點的軌跡方程為．（2）設的中點為，在中，，設為坐標原點，則，所以，所以．故線段中點的軌跡方程為．考點三、與圓有關的最值問題1．若x，y滿足，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無法確定【答案】C【分析】由為圓上的點與原點距離的平方，結合圓的性質即得.【詳解】由，可得，表示以為圓心，以為半徑的圓，設原點，，則（為圓上的點與原點距離的平方）的最小值是．2．（2020年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ））已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據圓的知識可知，四點共圓，且，根據可知，當直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據圓系的知識即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當直線時，，，此時最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關系的應用，以及圓的幾何性質的應用，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于中檔題．3．（2020年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅰ））已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，設，當過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時，根據弦長公式得最小值為.【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質，以及幾何法求弦長，屬于基礎題.4．（2018年全國卷Ⅲ理數高考試題）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．5．若圓）與圓交于A、B兩點，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析出AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，，當的坐標為時，，由余弦函數的單調性確定時，最大，此時最大，最大值為.【詳解】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當的坐標為時，，在△NAB中，，又，在上單調遞減，故為銳角，且當時，最大，又在上單調遞增，所以當最大時，取得最大值，且最大值為.1．已知點是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【分析】根據圓的標準方程，設x、y的參數方程，利用輔助角公式及正弦型函數的性質求最值即可.【詳解】由，令，則，所以當時，的最大值為.2．已知圓的方程為，點在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】將轉化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.3．（2021年北京市高考數學試題）已知直線（為常數）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，取得最小值為，解得.4．已知邊長為2的等邊三角形，是平面內一點，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標系，設，寫出的坐標，利用列式得關于的等式，可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫出直線的方程，計算和點距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計算.【詳解】以的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，設，因為，所以，得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當點距離直線距離最大時，面積最大，已知直線的方程為：，，點距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.5．已知圓：與圓：相外切，則的最大值為（）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由兩圓外切可得，要使取得最大值，則，同號，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓C1與圓C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，則，同號，不妨取，，由基本不等式，得，當且僅當時等號成立，∴ab的最大值為2．考點四、直線與圓的位置關系1．（2020年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據導數的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.2．若直線?與圓?相交于?兩點，且?(其中?為原點)，則?的值為（

）A．?或? B．? C．?或? D．?【答案】A【分析】根據點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由可知，圓心到直線的距離為，根據點到直線的距離公式可得.3．（2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬數學試題）已知拋物線上三點，直線是圓的兩條切線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先利用點求拋物線方程，利用相切關系求切線AB，AC，再分別聯(lián)立直線和拋物線求出點，即求出直線方程.【詳解】在拋物線上，故，即，拋物線方程為，設過點與圓相切的直線的方程為：，即，則圓心到切線的距離，解得，如圖，直線，直線.聯(lián)立，得，故，由得，故，聯(lián)立，得，故，由得，故，故，又由在拋物線上可知，直線的斜率為，故直線的方程為，即.【點睛】方法點睛：求圓的切線的方程的求法：（1）幾何法：設直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑構建關系求出參數，即得方程；（2）代數法：設直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，使判別式等于零解出參數，即可得方程.4．若直線與曲線有兩個交點，則實數的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據直線和曲線方程在平面直角坐標系中畫出圖形，數形結合分析即可.【詳解】由題意，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，，可化為其表示以為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.當與該曲線相切時，點到直線的距離，解得.設，則.由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點，則.1．已知直線經過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線經過點，且與圓相切可知，再使用點斜式即可.【詳解】直線經過點，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.2．設為實數，若直線與圓相交于M，N兩點，且，則（

）A．3 B．1 C．3或1 D．3或1【答案】C【分析】化出圓的標準方程，求出圓心和半徑，利用垂徑定理列方程求解即可.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，直線的一般方程為則由已知得，解得或.3．（2023屆廣東省二模數學試題）若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（

）A． B．0 C．2 D．0或2【答案】D【分析】設直線與曲線的切點為，先根據導數的幾何意義求出在切點處的切線方程，再根據直線與圓相切和圓心到直線距離的關系列式求解即可．【詳解】設直線與曲線的切點為，由，則，則，，即切點為，所以直線為，又直線與圓都相切，則有，解得或．4．已知直線l：與圓C：交于A，B兩點，O為坐標原點，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意直線l過圓心，則，當OC垂直直線l時，取得最小值得出答案.【詳解】圓的圓心，滿足，所以直線l過圓心，所以，當OC垂直直線l時，取得最小值，所以的最小值為所以的得最小值為，故的最小值為．考點五、圓與圓的位置關系1．已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．內切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓圓心和半徑，再由兩圓圓心之間的距離和兩圓半徑和及半徑差比較大小即可求解.【詳解】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因為，故這兩圓的位置關系是相交.2．設圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】先根據圓的方程求出圓心坐標和半徑，再根據圓心距與半徑的關系即可判斷出兩圓的位置關系，從而得解．【詳解】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線．3．已知圓，，則這兩圓的公共弦長為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，用垂徑定理求弦長.【詳解】由題意知，，將兩圓的方程相減，得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為.又因為圓的圓心為，半徑，所以圓的圓心到直線的距離.所以這兩圓的公共弦的弦長為.1．（2023屆廣西階段性聯(lián)合檢測數學（文）試題）圓與圓的位置關系為（

）A．相交 B．內切 C．外切 D．相離【答案】A【分析】根據兩圓的位置關系的判定方法，即可求解.【詳解】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以兩圓相交.2．已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一個公共點，則實數a等于（

）A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【答案】D【分析】根據兩圓內切或外切可得圓心距，從而可求實數a.【詳解】圓：的圓心為,圓：的圓心為,，因為圓與圓有且僅有一個公共點，故圓與圓相內切或外切，故或，從而或，所以或，解得：或所以實數a等于34或14.3．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，然后k取特值解方程組可得交點.【詳解】由，兩式相減得公共弦所在直線方程為：，分別取，得，解得，即.4．設與相交于兩點，則．【答案】【分析】先求出兩圓的公共弦所在的直線方程，然后求出其中一個圓心到該直線的距離，再根據弦長、半徑以及弦心距三者之間的關系求得答案.【詳解】將和兩式相減：得過兩點的直線方程：，則圓心到的距離為，所以.考點六、圓在情景中的應用1．古希臘數學家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【分析】直接設點P，根據可以求得點P的軌跡為圓，根據題意兩圓有且僅有一個公共點，則兩圓外切或內切，可得或．【詳解】設點P∵即整理得：∴點P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或.2．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展.提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根.若圓上有且只有一個點在橢圓的蒙日圓上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得橢圓的蒙日圓方程為，進而得該圓與已知圓相切，再根據圓的位置關系求解即可.【詳解】解：根據題意，橢圓的蒙日圓方程為，因為圓上有且只有一個點在橢圓的蒙日圓上，所以該圓與已知圓相切，又兩圓圓心間距離為，所以或（無解，舍去），解得.1．古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．內切 D．外切【答案】A【分析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關系，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.2．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得.【基礎過關】1．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：設出圓的標準方程，代入點的坐標，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立x－2y－3＝0求出圓心坐標，進而計算出半徑，寫出圓的標準方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得:,解得：故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：線段的中點坐標為，即，直線的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，所以線段AB的垂直平分線方程為，即2x＋y＋4＝0，由幾何性質可知：線段AB的垂直平分線與的交點為圓心，聯(lián)立，得交點坐標，又點O到點A的距離，即半徑為，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.2．（2023年四川省模擬數學試題）自引圓的割線ABC，則弦中點P的軌跡方程.【答案】（）【分析】設，根據⊥，利用斜率列出方程，再考慮的取值范圍.【詳解】設，則⊥，當時，有，即，整理得①，當時，此時割線ABC的中點為原點，代入①式，也成立，故弦中點P的軌跡方程為（在圓內部分），聯(lián)立，解得，故軌跡方程為（）3．過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】討論直線斜率，由相切關系及點線距離公式求斜率，進而寫出切線方程.【詳解】由圓心為，半徑為，斜率存在時，設切線為，則，可得，所以，即，斜率不存在時，顯然不與圓相切；綜上，切線方程為.4．（2022年北京市高考數學試題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．5．圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.6．已知點A（1，2）在圓C：外，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點A（1，2）在圓C：外故，即故實數m的取值范圍為或即7．若實數滿足，則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡曲線方程，判斷曲線的形狀，明確的幾何意義，結合圖像解答.【詳解】，表示以為圓心，3為半徑的圓.表示以圓上的任意一點到兩點間距離，的最大值即為8．已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定最小時直線與直線的位置關系，即可得結果.【詳解】由恒過，又，即在圓C內，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由，圓的半徑為5，所以.9．（2020年北京市高考數學試題）已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當且僅當在線段上時取得等號，【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.10．（2023屆廣東省調研數學試題）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為9.11．直線分別與x軸，y軸交于兩點，點在圓，則面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意首先求得的長度，然后確定圓上的點到直線的距離，最后確定三角形面積的取值范圍.【詳解】解：因為，所以.圓的標準方程，圓心，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的取值范圍為：，所以.12．（2020年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅱ））若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.13．已知直線與圓交于兩個不同點，則當弦最短時，圓與圓的位置關系是（

）A．內切 B．相離 C．外切 D．相交【答案】D【分析】由直線過定點且定點在圓內，當弦最短時直線垂直，根據斜率乘積為求出，進而求出圓的方程，再根據圓心距與兩圓半徑的關系確定答案.【詳解】易知直線過定點，弦最短時直線垂直，又，所以，解得，此時圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，又，所以這兩圓相交.14．古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】設動點P的坐標，利用已知條件列出方程，化簡可得點P的軌跡方程，由點P是圓C：上有且僅有的一點，可得兩圓相切，進而可求得r的值．【詳解】設動點，由，得，整理得，又點是圓：上有且僅有的一點，所以兩圓相切.圓的圓心坐標為，半徑為2，圓C：的圓心坐標為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當兩圓外切時，，得，當兩圓內切時，，，得．【點睛】結論點睛：本題考查阿波羅尼斯圓，考查兩圓相切的應用，判斷圓與圓的位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系：（1）外離；（2）外切；（3）相交；（4）內切；（5）內含，考查學生的數形結合思想和邏輯推理能力，屬于中檔題．【能力提升】1．求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先計算出兩圓的交點所在直線，進而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標，再求出半徑，寫出圓的標準方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設兩圓和的交點為，則，，則，不妨設，所以線段的中點坐標為，因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為1，所以線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，故圓心坐標為，半徑，所以圓的方程為，整理得：.2．已知直線與圓相交于兩點，當變化時，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將△的面積表示出來即可求出最大值.【詳解】因為直線直線恒過點在圓內，所以直線與圓相交，圓的圓心，所以△的面積的最大值為：.3．已知為正方體表面上的一動點，且滿足，則動點運動軌跡的周長為.【答案】【分析】首先根據條件確定P點所處的平面，再建立坐標系求出動點P的軌跡方程，據此求出軌跡的長.【詳解】由可知，正方體表面上到點A距離最遠的點為，所以P點只可能在面，面，面上運動，當P在面上運動時，如圖示，建立平面直角坐標系，則,設，由得：，即，即P點在平面ABCD內的軌跡是以E（4,0）為圓心，以為半徑的一段圓弧，因為,故,所以P點在面ABCD內的軌跡的長即為同理，P點在面內情況亦為；P點在面上時，因為，,所以，所以此時P點軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，其長為，綜上述，P點運動軌跡的周長為.4．（2024屆河北省調研監(jiān)測數學試題）過圓：上一點作圓：的兩切線，切點分別為，，設兩切線的夾角為，當取最小值時，.【答案】/【分析】易得，從而可得，求出取得最小值時，的值即可.【詳解】由題意可得，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，當取最小值時，則取得最小值，，此時，又為銳角，所以，所以，即當取最小值時，.5．（2023屆湖北省調研數學試題）若兩條直線與圓的四個交點能構成矩形，則.【答案】8【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個交點構成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以.【點睛】關鍵點點睛：由圓的切線的性質將所求轉化為求的最小值是解決本題的關鍵.6．直線被圓O；截得的弦長最短，則實數m=.【答案】1【分析】求出直線MN過定點A（1,1），進而判斷點A在圓內，當時，|MN|取最小值，利用兩直線斜率之積為1計算即可.【詳解】直線MN的方程可化為，由，得，所以直線MN過定點A（1，1），因為，即點A在圓內.當時，|MN|取最小值，由，得，∴.7．已知拋物線，圓，直線與交于A、B兩點，與交于M、N兩點，若，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，設，，根據拋物線焦點弦長公式和韋達定理可求出k，根據圓的弦長公式即可求．【詳解】由得，，設，，∵，∴，∵過拋物線的焦點(1，0)，故AB為焦點弦，∴，∴，∴，解得，由圓關于x軸對稱可知，k＝1和k＝－1時相同，故不妨取k＝1，l為y＝x－1，即x－y－1＝0，圓心(2，1)到l的距離，∴﹒8．已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關系是（

）A．外離 B．相交 C．內切 D．外切【答案】B【分析】由圓的面積被直線平分，可得圓心在直線上，求出，進而利用圓心距與半徑和以及半徑差的關系可得圓與圓的位置關系．【詳解】因為圓的面積被直線平分，所以圓的圓心在直線上，所以，解得，所以圓的圓心為，半徑為．因為圓的圓心為，半徑為，所以，故，所以圓與圓的位置關系是相交．9．已知過點的動直線l與圓C：交于A，B兩點，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點N．若動點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判斷出四點在以為直徑的圓上，求出該圓方程，進而求得方程，由點在直線上得出點軌跡為，又在圓上，進而將的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解.【詳解】易得圓心，半徑為4，如圖，連接，則，則四點在以為直徑的圓上，設，則該圓的圓心為，半徑為，圓的方程為，又該圓和圓的交點弦即為，故，整理得，又點在直線上，故，即點軌跡為，又在圓上，故的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.10．古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，根據求出點的軌跡方程，根據題意可得兩個圓有公共點，根據圓心距大于或等于半徑之差的絕對值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設，因為點，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因為在圓上存在點滿足，所以圓與圓有公共點，所以，整理可得：，解得：，所以實數的取值范圍是.11．已知：，直線：，為直線上的動點，過點作的切線，，切點為，，當四邊形的面積取最小值時，直線AB的方程為．【答案】【分析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，可得直線的方程，與的方程聯(lián)立，得到點坐標及的值，進而得到以為直徑的圓的方程，與的方程作差可得直線的方程.【詳解】：的標準方程為，則圓心，半徑．因為四邊形的面積，要使四邊形面積最小，則需最小，此時與直線垂直，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得．則,則以為直徑的圓的方程為，與的方程作差可得直線的方程為．12．（2022年全國新高考I卷數學試題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為.13．平面上兩點A、B，則所有滿足且k不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓上的動點P滿足：其中O為坐標原點，A點的坐標為.(1)直線上任取一點Q，作圓的切線，切點分別為M，N，求四邊形面積的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點并寫出該定點坐標.【答案】(1)4；(2)證明見解析，.【分析】（1）設點P的坐標為，求出點P的軌跡方程為，求出，，求出最小值即得解；（2）設，兩圓方程相減可得MN的方程為，即得解.（1）解：設點P的坐標為，根據題設條件有，所以有，化簡得.所以，由題知，當時，此時，|QM|最小，即四邊形面積取得最小值4.（2）解；設，由幾何性質，可知M，N兩點在以為直徑的圓上，此圓的方程為，而直線MN是此圓與圓的相交弦所在直線，相減可得MN的方程為，所以直線MN恒過定點.【真題感知】1．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則