【解析】高中數(shù)學人教新課標A版必修1 第二章 基本初等函數(shù)(I) 2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

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一、選擇題

1．已知,則（）

A．B．C．3D．

【答案】A

【知識點】對數(shù)函數(shù)的值域與最值

【解析】【解答】∵，∴.

故答案為：A.

【分析】求對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,只要將自變量代入函數(shù)式即可.

2．函數(shù)的定義域為（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．[，）

【答案】C

【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】由題意得解得1＜x＜，所以所求函數(shù)的定義域為（1，）.

故答案為：C.

【分析】求函數(shù)的定義域，就是求使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍.

3．設(shè)則f[f（2）]的值為（）

A．0B．C．2D．

【答案】C

【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；指數(shù)函數(shù)的概念與表示；對數(shù)函數(shù)的值域與最值

【解析】【解答】由題意可知，，

所以.

故答案為：C.

【分析】對于求指數(shù)對數(shù)型分段函數(shù)的多層函數(shù)值,由內(nèi)到外的原則進行.

4．設(shè)則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【解析】【解答】因為01,再得出01時，有a>，即a>1；當0綜上可知，a的取值范圍是（0，）∪（1，＋∞）．

故答案為:D.

【分析】先將不等式兩邊同底化,分類討論函數(shù)的單調(diào)性求解.

8．下圖是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象，已知a值取，，，，則圖象C1，C2，C3，C4對應的a值依次是（）

A．，，，B．，，，

C．，，，D．，，，

【答案】D

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】過（0，1）作平行于x軸的直線，與C1，C2，C3，C4的交點的坐標為（a1，1），（a2，1），（a3，1），（a4，1），其中a1，a2，a3，a4分別為各對數(shù)的底數(shù)，顯然a1>a2>a3>a4，

所以C1，C2，C3，C4對應的a值依次是，，，．

故答案為:D.

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷.

9．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)的是（）

A．y=2xB．y=2xC．y=log2xD．y=x2

【答案】D

【知識點】函數(shù)的奇偶性；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】選項A為奇函數(shù)，選項B為非奇非偶函數(shù)，選項C為非奇非偶函數(shù)，選項D為偶函數(shù).

故答案為:D.

【分析】由冪指對函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性.

10．函數(shù)的定義域是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】由，解得或.

故答案為：D.

【分析】對數(shù)型號函數(shù)的定義域是由真數(shù)大于0的不等式的解集決定的.

11．在同一直角坐標系中，當時，函數(shù)與的圖象是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當時，函數(shù)，，所以圖象過點，在其定義域上是增函數(shù)；函數(shù)的圖象過點，在其定義域上是減函數(shù).

故答案為：C.

【分析】分類討論a>1和012．已知f(x)=log3x，則的大小是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。粚?shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】由函數(shù)y=log3x的圖象可知，圖象呈上升趨勢，即隨著x的增大，函數(shù)值y也在增大，故．

故答案為:B.

【分析】由于對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3,則函數(shù)是單調(diào)遞增的,從而比較函數(shù)值的大小.

13．（2023高一上·黑龍江期中）設(shè)a=log3π，b=log2，c=log3，則（）

A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a

【答案】A

【知識點】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【解析】【解答】解：∵

∵，故選A

【分析】利用對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性進行求解．當a＞1時函數(shù)為增函數(shù)當0＜a＜1時函數(shù)為減函數(shù)，

如果底a不相同時可利用1做為中介值．

14．函數(shù)f(x)=log2(3x＋3x)是（）

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)

【答案】B

【知識點】函數(shù)的奇偶性；指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】∵3x＋3x＞0恒成立，∴f(x)的定義域為R.又∵f(x)=log2(3x＋3x)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，

故答案為:B.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性進行判斷其奇偶性.

15．已知是(∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）

A．(0,1)B．C．D．

【答案】C

【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【解析】【解答】由題意得，∴.

故答案為:C.

【分析】分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則各段函數(shù)遞減,且在分段交接處左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值.由關(guān)于a的不等式組求a的范圍.

16．已知函數(shù)f(x)=loga(x2＋2x3)，若f(2)＞0，則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A．(∞，3)B．(∞，3)∪(1，＋∞)

C．(∞，1)D．(1，＋∞)

【答案】D

【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】∵f(2)=loga5＞0=loga1，∴a＞1.由x2＋2x3＞0，得函數(shù)f(x)的定義域為(∞，3)∪(1，＋∞)．設(shè)u=x2＋2x3，則此函數(shù)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．又∵y=logau(a＞1)在(1，＋∞)上也為增函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞).

故答案為：D.

【分析】由f(2)>0求出a>1,由對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間,要注意函數(shù)的定義域.

17．已知函數(shù)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．8≤a≤6B．8【答案】C

【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】.

故答案為：C.

【分析】由于底數(shù)小于1,則真數(shù)部分在區(qū)間上單調(diào)遞增,且在左端點處函數(shù)值大于0.

18．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足,則a的最小值是（）

A．B．1C．D．2

【答案】C

【知識點】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

【解析】【解答】由于為偶函數(shù),所以且因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以即的最小值為.

故答案為：C．

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(log2a)≤f(1),再由函數(shù)的單調(diào)性脫去f得關(guān)于a的不等式求a的范圍.

19．函數(shù)f(x)=ax2＋loga(x1)＋1(a＞0，a≠1)的圖象必經(jīng)過定點．

【答案】(2,2)

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當x=2時，f(2)=a0＋loga1＋1=2，所以圖象必經(jīng)過定點(2,2)．

故答案為:(2,2).

【分析】對于指數(shù)型函數(shù),由a0=1,對數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得過定點的情形.

20．函數(shù)y=2＋log2x(x≥1)的值域為．

【答案】[2，＋∞)

【知識點】對數(shù)函數(shù)的值域與最值

【解析】【解答】設(shè)y=2＋t，t=log2x(x≥1)，∵t=log2x在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，

∴t≥log21=0.∴y=2＋log2x的值域為[2，＋∞)．

故答案為:[2,+∞).

【分析】先求出真數(shù)部分的值域,再由底數(shù)為2即大于1得對數(shù)函數(shù)是增函數(shù),求函數(shù)的值域.

21．已知函數(shù)f(x)滿足當x≥4時；當x4時對應函數(shù)值，由已知解析式求值.

二、填空題

22．函數(shù)y＝loga（x1）+1（a>0且a≠1）的圖象恒過定點．

【答案】（2，1）

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當x1=1，即x=2時，不論a為何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.

故答案為:(2,1).

【分析】對數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得到其過定點的坐標.

23．已知，則實數(shù)x的取值范圍是．

【答案】

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；絕對值不等式

【解析】【解答】原不等式等價于或解得或.

故答案為：(1，]∪[1，+∞).

【分析】將絕對值不等式通過討論去掉絕對值，得對數(shù)不等式組，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求x的范圍.

24．若函數(shù)y=f（x）是函數(shù)（a>0，且a≠1）的反函數(shù)，且f（x）的圖象經(jīng)過點,則a=.

【答案】

【知識點】指數(shù)函數(shù)的概念與表示；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系

【解析】【解答】函數(shù)（a>0，且a≠1）的反函數(shù)是（a>0，且a≠1），

因為f（x）的圖象經(jīng)過點，所以，所以，又a>0，所以.

故答案為:2.

【分析】指數(shù)函數(shù)與相同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),函數(shù)圖象上的點關(guān)于直線y=x對稱,求出函數(shù)應過的點的坐標代入函數(shù)式中求a的值.

三、解答題

25．已知loga（2a+1）1時，原不等式等價于解得a>2.

當0綜上所述，a的取值范圍是2.

【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【分析】解同底型對數(shù)不等式時，要對底數(shù)分類，由單調(diào)性討論得到不等式組，求解,要注意真數(shù)大于0.

26．已知f（x）＝（a>0，a≠1）.

（1）求f（x）的定義域；

（2）求使f（x）>0成立的x的取值范圍.

【答案】（1）解：由>0，得21時，由>0＝loga1得>1，∴01時，所求的取值范圍為；

當0【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念與表示；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【分析】(1)求對數(shù)型函數(shù)的定義域，由真數(shù)大于0得不等式，求出定義域；

(2)對數(shù)型不等式，要對底數(shù)大于1和小于1分類討論，由函數(shù)的單調(diào)性求解.

27．若不等式2xlogax0且a≠1）的圖象恒過定點．

23．已知，則實數(shù)x的取值范圍是．

24．若函數(shù)y=f（x）是函數(shù)（a>0，且a≠1）的反函數(shù)，且f（x）的圖象經(jīng)過點,則a=.

三、解答題

25．已知loga（2a+1）0，a≠1）.

（1）求f（x）的定義域；

（2）求使f（x）>0成立的x的取值范圍.

27．若不等式2xlogax1,再得出01時，有a>，即a>1；當0綜上可知，a的取值范圍是（0，）∪（1，＋∞）．

故答案為:D.

【分析】先將不等式兩邊同底化,分類討論函數(shù)的單調(diào)性求解.

8．【答案】D

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】過（0，1）作平行于x軸的直線，與C1，C2，C3，C4的交點的坐標為（a1，1），（a2，1），（a3，1），（a4，1），其中a1，a2，a3，a4分別為各對數(shù)的底數(shù)，顯然a1>a2>a3>a4，

所以C1，C2，C3，C4對應的a值依次是，，，．

故答案為:D.

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷.

9．【答案】D

【知識點】函數(shù)的奇偶性；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】選項A為奇函數(shù)，選項B為非奇非偶函數(shù)，選項C為非奇非偶函數(shù)，選項D為偶函數(shù).

故答案為:D.

【分析】由冪指對函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性.

10．【答案】D

【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】由，解得或.

故答案為：D.

【分析】對數(shù)型號函數(shù)的定義域是由真數(shù)大于0的不等式的解集決定的.

11．【答案】C

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當時，函數(shù)，，所以圖象過點，在其定義域上是增函數(shù)；函數(shù)的圖象過點，在其定義域上是減函數(shù).

故答案為：C.

【分析】分類討論a>1和012．【答案】B

【知識點】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】由函數(shù)y=log3x的圖象可知，圖象呈上升趨勢，即隨著x的增大，函數(shù)值y也在增大，故．

故答案為:B.

【分析】由于對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3,則函數(shù)是單調(diào)遞增的,從而比較函數(shù)值的大小.

13．【答案】A

【知識點】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【解析】【解答】解：∵

∵，故選A

【分析】利用對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性進行求解．當a＞1時函數(shù)為增函數(shù)當0＜a＜1時函數(shù)為減函數(shù)，

如果底a不相同時可利用1做為中介值．

14．【答案】B

【知識點】函數(shù)的奇偶性；指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】∵3x＋3x＞0恒成立，∴f(x)的定義域為R.又∵f(x)=log2(3x＋3x)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，

故答案為:B.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性進行判斷其奇偶性.

15．【答案】C

【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【解析】【解答】由題意得，∴.

故答案為:C.

【分析】分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則各段函數(shù)遞減,且在分段交接處左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值.由關(guān)于a的不等式組求a的范圍.

16．【答案】D

【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】∵f(2)=loga5＞0=loga1，∴a＞1.由x2＋2x3＞0，得函數(shù)f(x)的定義域為(∞，3)∪(1，＋∞)．設(shè)u=x2＋2x3，則此函數(shù)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．又∵y=logau(a＞1)在(1，＋∞)上也為增函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞).

故答案為：D.

【分析】由f(2)>0求出a>1,由對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間,要注意函數(shù)的定義域.

17．【答案】C

【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】.

故答案為：C.

【分析】由于底數(shù)小于1,則真數(shù)部分在區(qū)間上單調(diào)遞增,且在左端點處函數(shù)值大于0.

18．【答案】C

【知識點】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

【解析】【解答】由于為偶函數(shù),所以且因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以即的最小值為.

故答案為：C．

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(log2a)≤f(1),再由函數(shù)的單調(diào)性脫去f得關(guān)于a的不等式求a的范圍.

19．【答案】(2,2)

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當x=2時，f(2)=a0＋loga1＋1=2，所以圖象必經(jīng)過定點(2,2)．

故答案為:(2,2).

【分析】對于指數(shù)型函數(shù),由a0=1,對數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得過定點的情形.

20．【答案】[2，＋∞)

【知識點】對數(shù)函數(shù)的值域與最值

【解析】【解答】設(shè)y=2＋t，t=log2x(x≥1)，∵t=log2x在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，

∴t≥log21=0.∴y=2＋log2x的值域為[2，＋∞)．

故答案為:[2,+∞).

【分析】先求出真數(shù)部分的值域,再由底數(shù)為2即大于1得對數(shù)函數(shù)是增函數(shù),求函數(shù)的值域.

21．【答案】

【知識點】指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用；對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

【解析】【解答】.

故答案為：

【分析】當當x4時對應函數(shù)值，由已知解析式求值.

22．【答案】（2，1）

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當x1=1，即x=2時，不論a為何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.

故答案為:(2,1).

【分析】對數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得到其過定點的坐標.

23．【答案】

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；絕對值不等式

【解析】【解答】原不等式等價于或解得或.

故答案為：(1，]∪[1，+∞).

【分析】將絕對值不等式通過討論去掉絕對值，得對數(shù)不等式組，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求x的范圍.

24．【答案】

【知識點】指數(shù)函數(shù)的概念與表示；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系

【解析】【解答】函數(shù)（a>0，且a≠1）的反函數(shù)是（a>0，且a≠1），

因為f（x）的圖象經(jīng)過點，所以，所以，又a>0，所以.

故答案為:2.

【分析】指數(shù)函數(shù)與相同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),函數(shù)圖象上的點關(guān)于直線y=x對稱,求出函數(shù)應過的點的坐標代入函數(shù)式中求a的值.

25．【答案】解：當a>1時，原不等式等價于解得a>2.

當0綜上所述，a的取值范圍是2.

【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【分析】解同底型對數(shù)不等式時，要對底數(shù)分類，由單調(diào)性討論得到不等式組，求解,要注意真數(shù)大于0.

26．【答案】（1）解：由>0，得21時，由>0＝lo