四邊形有關(guān)計(jì)算及證明（17題）

專(zhuān)題05四邊形有關(guān)計(jì)算及證明一．選擇題（共3小題）1．（2020?宜興市校級(jí)一模）下列判斷錯(cuò)誤的是A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形 C．對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)正方形、菱形，矩形以及平行四邊形的判定定理進(jìn)行判斷．【解答】解：、對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形不一定是矩形，例如：等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等，故本選項(xiàng)正確；、對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．2．（2020?崇川區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為．當(dāng)在邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)，也隨著移動(dòng)．若限定，分別在邊，上移動(dòng)，則點(diǎn)在邊上移動(dòng)的最大距離為A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分別利用當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求出的極值進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性可得，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性可得，在中，，即，解得：，所以點(diǎn)在上可移動(dòng)的最大距離為．故選：．3．（2020?崇川區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正方形中，，是的中點(diǎn)．將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是A．1 B． C．2 D．【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證；在直角中，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接，，，在和中，，，，設(shè)，則．為中點(diǎn)，，，在中，根據(jù)勾股定理，得：，解得．則．故選：．二．填空題（共5小題）4．（2020?海安市一模）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，連接，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，且點(diǎn)在正方形內(nèi)部，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線(xiàn)于點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為．【分析】過(guò)作于，則，依據(jù)△，△，即可得到，進(jìn)而得到是等腰直角三角形，再根據(jù)，即可得到，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖所示，過(guò)作于，則，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，，，而，△，，，，又，，△，，，又，是等腰直角三角形，，，，又，，，，，中，．故答案為：．5．（2020?啟東市一模）如圖，在矩形中，是的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．如果，，，那么的長(zhǎng)為．【分析】由，推出，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，故答案為．6．（2020?灌南縣一模）如圖，在中，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)，若，則．【分析】先由平行四邊形的性質(zhì)得，，從而，結(jié)合對(duì)頂角相等，可證，再利用相似三角形的性質(zhì)得比例式，然后結(jié)合已知比例式求得答案．【解答】解：四邊形為平行四邊形，又故答案為：．7．（2020?灌南縣一模）如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，若，，則圖中陰影部分的面積為5．【分析】由矩形的性質(zhì)可證明，即可求解．【解答】解：作于，延長(zhǎng)交于．則有四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，，，，，，，故答案為：5．8．（2020?亭湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，在四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，，，則．【分析】連接，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，且，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，求解即可．【解答】解：連接，、分別是、的中點(diǎn)，，且，，，，，，，即，是直角三角形，且，，故答案是：．三．解答題（共9小題）9．（2020?海安市一模）已知，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿直線(xiàn)翻折得．（1）如圖①，點(diǎn)恰好在上，求證：；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由折疊可得．證出．由．即可得出．（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，證明，得出．由勾股定理得出，求出，得出．．由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，由三角函數(shù)定義進(jìn)而得出答案．【解答】（1）證明：在矩形中，．由折疊可得：．，．．在和中，，．．（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖②所示：則，．在矩形中，．由折疊可得：，，．，．．在和中，，，．．．．在中，，，．解得：，或（舍去），．．四邊形是矩形，，，，，．．10．（2020?崇川區(qū)校級(jí)一模）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、、，且有．（1）求的值；（2）探究的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)，，則，，，由四邊形是正方形可得出，利用勾股定理可得出，再將其代入中即可求出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)與重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合可得出，，結(jié)合可得出，利用全等三角形的性質(zhì)可得出，再結(jié)合可得出．【解答】解：（1）設(shè)，，則，，，．四邊形是正方形，，，即，，；（2）的度數(shù)為定值，理由如下：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)與重合．由旋轉(zhuǎn)，可得：，，，，，，點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上．，，．在和中，，，，又，，．11．（2020?錫山區(qū)一模）如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，分別連接、、．（1）求證：；（2）若四邊形是菱形，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)可得：，因?yàn)?，所以，?wèn)題得解．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，．點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，．．在與中，，．（2）解：四邊形是菱形，．．，．．，．12．（2020?宜興市校級(jí)一模）如圖，中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)．連接、．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形是菱形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出，，由證明即可證得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，證出四邊形是平行四邊形，再由，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：四邊形為平行四邊形，．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，．．是中點(diǎn)，．在和中，，；（2）證明：，．，，四邊形是平行四邊形．，四邊形是菱形．13．（2020?無(wú)錫一模）如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）欲證明，只要證明即可．（2）結(jié)論：四邊形是矩形．只要證明四邊形是平行四邊形，再證明根據(jù)三線(xiàn)合一證明即可解決問(wèn)題．【解答】證明：（1），，是的中點(diǎn)，在和中，，（2）結(jié)論：邊形是矩形．理由：是邊上的中線(xiàn)又四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形．14．（2020?灌南縣一模）折疊矩形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．（1）求證：；（2）若，，求矩形的面積．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求出答案．（2）由折疊性質(zhì)，得，．設(shè)，則，在中，，從而可求出的值，根據(jù)，可知，所以，最后根據(jù)矩形的面積即可求出答案．【解答】（1）證明：矩形中，．．由折疊性質(zhì)，得．．．；（2）解：由折疊性質(zhì)，得，．設(shè)，則，在中，，．解得．由（1）得，．．．．15．（2020?灌南縣一模）如圖，矩形對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，，，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求和的值．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定證明即可；（2）作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．【解答】解：（1），，四邊形是平行四邊形四邊形是矩形，，四邊形是菱形，（2）菱形、均為等邊三角形作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，，，．16．（2020?亭湖區(qū)校級(jí)一模）將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)與重合，點(diǎn)落到處，折痕為．（1）求證：△；（2）連接，判斷四邊形是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)我們可以得到，，，從而利用判定△；（2）四邊形是菱形，我們可以運(yùn)用菱形的判定，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】（1）證明：由折疊可知：，，．四邊形是平行四邊形，，，．，，，即．．在和△中△．（2）解：四邊形是菱形．證明：由折疊可知：，．四邊形是平行四邊形，．．．．，．又，四邊形是平行四邊形．又，平行四邊形是菱形．17．（2020?高郵市