高考數(shù)學理科人教通用版核心講練大一輪復習課時分層提升練二十八平面向量的數(shù)量積及應用舉例

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時分層提升練二十八平面向量的數(shù)量積及應用舉例……25分鐘50分一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知a與b的夾角為π3,a=(1,1),|b|=1,則b在a方向上的投影為A.22 B.62 C.12【解析】選C.根據題意,a與b的夾角為π3,且|b則b在a方向上的投影|b|cosπ3=12.(2019·昆明模擬)已知平面向量a=(1,x),b=(2,1),若a⊥b,則|a+b|=()A.5 C.10 【解析】選C.a⊥b,所以a·b=2+x=0,所以x=2,所以a=(1,2),所以a+b=(1,3),所以|a+b|=10.3.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,2=+,且||=||,則向量在向量方向上的投影為 ()A.12 32 12【解析】選D.依題意知,圓心O為BC的中點,即BC是△ABC的外接圓的直徑,AC⊥AB.又AO=OB=AB=1,因此∠ABC=60°,∠ACB=30°,||=3,在方向上的投影為||cos30°=3×32=32.4.在如圖所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為線段BC上的點,則·的最小值為 ()【解析】選B.以B為坐標原點,BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,4),D(2,4),設E(x,0)(0≤x≤2),所以·=(x,4)·(x2,4)=x22x+16=(x1)2+15,于是當x=1,即E為BC的中點時,·取得最小值15.5.已知平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,若(a+mb)⊥a,則實數(shù)m的值為 () B.32【解析】選D.因為|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,所以a·b=|a||b|cos120°=3×2×-1因為(a+mb)⊥a,所以(a+mb)·a=a2+ma·b=323m=0,解得m=3.6.已知向量與的夾角為120°,||=5,||=2,若=λ+,且·=6,則實數(shù)λ的值為 ()12 B.12 110【解析】選B.因為<,>=120°,||=5,||=2,=λ+,所以·=(λ+)·()=λ+(λ1)||||cos120°+=25λ5(λ1)+4=6,解得λ=127.已知向量||=3,||=2,=m+n,若與的夾角為60°,且⊥,則實數(shù)mn的值為 ()A.16 B.1【解析】選A.因為向量||=3,||=2,=m+n,與的夾角為60°,所以·=3×2×cos60°=3,所以·=()·(m+n)=(mn)·m||2+n||2=3(mn)9m+4n=6m+n=0,所以mn=1二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2019·北京高考)已知向量a=(4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=________.

【解析】因為a⊥b,所以a·b=4×6+3m=0,所以m=8.答案:89.向量a=(3,4)在向量b=(1,1)方向上的投影為________.

【解析】因為a=(3,4),b=(1,1),所以向量a在向量b方向上的投影為|a|cosθ=|a|×=3×1+4×(-答案:210.如圖,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=23π,E,F分別是邊AB,AC上的點,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1.若線段EF,BC的中點分別為M,N,則||的最小值為__________..

【解析】連接AM,AN,·=||||cos2π3=12,=12(+)=12(λ+μ),=12(+),==12(1λ)+12(1μ),||2=14[(1λ)2(1λ)(1μ)+(1μ)2]=14(1λ)214(1λ)(1μ)+14(1μ由λ+4μ=1?1λ=4μ,可得||2=214μ232μ+14,因為λ,所以當μ=17時,||2取最小值17所以||的最小值為77.答案:7……15分鐘30分1.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且關于x的函數(shù)f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有極值,則向量a與bA.0,π6C.π3,π【解析】選C.設a與b的夾角為θ.因為f(x)=13x3+12|a|x2+a·所以f′(x)=x2+|a|x+a·b.因為函數(shù)f(x)在R上有極值,所以方程x2+|a|x+a·b=0有兩個不同的實數(shù)根,即Δ=|a|24a·b>0,所以a·b<又因為|a|=2|b|≠0,所以cosθ==12,即cosθ<12又因為θ∈[0,π],所以θ∈π32.(5分)(2019·天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則·=________.

【解題指南】可利用向量的線性運算,也可以建立坐標系利用向量的坐標運算求解即可.【解析】如圖,過點B作AE的平行線交AD于F,因為AD∥BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,因為AE=BE,故四邊形AEBF為菱形.因為∠BAD=30°,AB=23,所以AF=2,即=25.因為===25,所以·=()·=75·25=75×23×5×321210=1.答案:1【一題多解】解答本題還可以用如下方法解決:建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(23,0),D53因為AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因為AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直線BE的斜率為33,其方程為y=33(x2直線AE的斜率為33,其方程為y=3由y=33(所以E(3,1).所以·=32,52·(答案:13.(5分)(2019·全國卷Ⅲ)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a5b,則cos<a,c>=________.

【解析】因為c2=(2a5b)2=4a2+5b245a·b=9,所以|c|=3,因為a·c=a·(2a5b)=2a25a·b=2,所以cos<a,c>=QUOTEa·c|a|·|c|=2答案:24.(5分)(2018·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·=0,則點A的橫坐標為________.

【解析】因為AB為直徑,所以AD⊥BD,所以BD即B到直線l的距離,BD=|0-2因為CD=AC=BC=r,又CD⊥AB,所以AB=2BC=210,設A(a,2a),AB=(a-5)答案:35.(10分)已知向量m=3sinx4,1,n=cosx4(1)若f(x)=1,求cosx+π(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2ac)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范圍.【解析】(1)因為m=3sinx4,1所以f(x)=32sinx2+1+cosx22因為f(x)=1,所以sinx2+π所以cosx+π3=12sin2x(2)由題意知2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC,所以