高考數學選擇題的解法教案

專題一、選擇題的解法考點回顧近幾年來高考數學試題中選擇題穩(wěn)定在12題，分值60，約占總分的40%。高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數學思想和方法，體現基礎知識求深度的考基礎考能力的導向，使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區(qū)分度的基本題型。同時完成選擇題所用的時間和精力對其后的填空題和解答題具有極大的心理影響，因此能否在短時間內在選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重大,它具有它獨特的結構特點和考查功能。1．數學選擇題的特點選擇題的基本特點是：（1）概念性強,知識覆蓋面廣，題型靈活多變，經常出現一些數學背景新穎的創(chuàng)新題這些創(chuàng)新題目注重基礎性，增強綜合性，體現時代氣息；；（2）量化突出,選擇題不要求書寫解題過程，不設中間分，因此一步失誤，就會造成錯選，導致全題無分。（3）充滿思辨性,絕大多數選擇題題目屬于低中檔題因為主要的數學思想和教學方法能通過它得到充分的體現和應用，并且因為它還有相對難度（如思維層次，解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等），所以使之成為具備較佳區(qū)分度的基本題型之—。（4）形數兼?zhèn)?；?）解法多樣化；（6）評卷公平,在注重考查基礎知識、技能、方法的同時，加大了對能力考查的力度，考潛能，考應用，體現著高考數學命題改革的導向作用。2.數學選擇題的考查功能（1）能在較大的知識范圍內，實現對基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查。每道選擇題所考查的知識點一般為2--5個，以3--4個居多，故選擇題組共考查可達到近50個之多，而考生解答只需15分鐘左右。相當于解一個中等難度的解答題，但一道解答題無論如何也難以實現對三四十個考點考查。（2）能夠比較確切地測試考生對概念、原理、性質、法則、定理和公式的理解和掌握程度。（3）在一定程度上，能有效考查邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力，以及靈活和綜合地運用數學知識解決問題的能力。3.解選擇題的原則根據選擇題的題干和選擇支兩方面提供的信息，作出正確的選擇，一般要求迅速和準確為原則。選擇題得分率的高低及解題速度的快慢直接影響著每位考生的情緒和全卷的成績因此，準確、快速是解選擇題的策略準確是解高考選擇題的先決條件，這要求考生要仔細審題，認真分析，合理選擇解題方法，正確推演或判斷，謹防疏漏，確保準確；快速是結合高考數學單項選擇題的結構，題目本身提供的條件、特征或信息，以及不要求書寫解題過程的特點，靈活選用簡單、合理的解法或特殊化法，避免繁瑣的運算、作圖或推理，避免“小題大做”，給解答題（特別是中高檔題）留下充裕的時間，爭取得高分具體說來，就是要突出解題方向的探索、解題思路的分析、解題方法的選擇以及解題思維過程的展示和解題回顧反思等環(huán)節(jié)；熟練掌握各種基本題型的一般解法，在此基礎上逐步掌握解選擇題的解題思路、常用方法、規(guī)律及相關技巧；注重提高口算、心算和筆算的能力，做到“基本概念理解透徹，基本聯系脈絡清晰，基本方法熟練掌握，基本技能準確無誤”，達到“既然會解，就要解對”的地步，而且需要思維清晰、敏捷、通暢，解法合理、簡捷為此，研究和探索選擇題的解題思路、常用方法與技巧就顯得非常必要和重要。一般地，解答選擇題的策略是以直接思路肯定為主，間接思路否定為輔，準確、快捷、精巧是解選擇題的基本要求；要在巧字上做文章，配合使用多種解題方法，盡量避免“小題大做”。第一，熟練掌握各種基本題型的一般解法。第二，結合高考單項選擇題的結構（由“四選一”的指令、題干和選擇項所構成）和不要求書寫解題過程的特點，靈活運用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。第三，挖掘題目“個性”，尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇。經典例題剖析1、直接法：直接從題設條件出發(fā)，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確的結論，然后對照題目所給出的選擇支“對號入座”作出相應的選擇.涉及概念、性質的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.例1．若sinx>cosx，則x的取值范圍是（）（A）{x|2k－＜x＜2k＋，kZ}（B）{x|2k＋＜x＜2k＋，kZ}（C）{x|k－＜x＜k＋，kZ}（D）{x|k＋＜x＜k＋，kZ}解：（直接法）由sinx>cosx得cosx－sinx＜0，即cos2x＜0，所以：＋2kπ＜2x＜＋2kπ，選D.另解：數形結合法：由已知得|sinx|>|cosx|，畫出y=|sinx|和y=|cosx|的圖象，從圖象中可知選D.例2．設f(x)是(－∞，∞)是的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f等于（）（A）（B）－（C）（D）－解：由f(x＋2)＝－f(x)得f＝－f＝f＝－f＝f(－，由f(x)是奇函數，得f(－＝－f＝－，所以選B.也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f＝f(－＝－f＝－.例3．七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數是（）（A）1440（B）3600（C）4320（D）4800解一：（用排除法）七人并排站成一行，總的排法有種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數有：－2×＝3600，對照后應選B；解二：（用插空法）×＝3600.直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解.直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案.提高直接法解選擇題的能力，準確地把握中檔題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握“三基”的基礎上，否則一味求快則會快中出錯.2、特例法：用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.例4．已知長方形的四個項點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射解等于反射角），設P4坐標為（的取值范圍是（）（A） （B） （C） （D）解：考慮由P0射到BC的中點上，這樣依次反射最終回到P0，此時容易求出tan=，由題設條件知，1＜x4＜2，則tan≠，排除A、B、D，故選C.另解：（直接法）注意入射角等于反射角，……，所以選C.例5．如果n是正偶數，則C＋C＋…＋C＋C＝（）（A）2（B）2（C）2（D）(n－1)2解：（特值法）當n＝2時，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；當n＝4時，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.所以選B.另解：（直接法）由二項展開式系數的性質有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.例6．等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（）（A）130（B）170（C）210（D）260解：（特例法）取m＝1，依題意＝30，＋＝100，則＝70，又{an}是等差數列，進而a3＝110，故S3＝210，選（C）.當正確的選擇對象，在題設普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，是解答本類選擇題的最佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結合特例法解答的約占30％左右.3、篩選法:從題設條件出發(fā)，運用定理、性質、公式推演，根據“四選一”的指令，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.例7．已知y＝log(2－ax)在[0，1]上是x的減函數，則a的取值范圍是（）（A）(0，1)（B）(1，2)（C）(0，2)（D）[2，+∞解：∵2－ax是在[0，1]上是減函數，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，這與x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以選B.例8．過拋物線y＝4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P和Q，那么線段PQ中點的軌跡方程是（）（A）y＝2x－1（B）y＝2x－2（C）y＝－2x＋1（D）y＝－2x＋2解：（篩選法）由已知可知軌跡曲線的頂點為(1，0)，開口向右，由此排除答案A、C、D，所以選B；另解：（直接法）設過焦點的直線y＝k(x－1)，則，消y得：kx－2(k＋2)x＋k＝0，中點坐標有，消k得y＝2x－2，選B.篩選法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多于一個時，先根據某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選擇支的范圍那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約占40％.4、代入法：將各個選擇項逐一代入題設進行檢驗，從而獲得正確的判斷.即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應選的答案.例9．函數y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是（）（A）（B）（C）2（D）4解：（代入法）f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應選B；另解：（直接法）y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，選B.例10．函數y＝sin（2x＋）的圖象的一條對稱軸的方程是（）（A）x＝－（B）x＝－（C）x＝（D）x＝解：（代入法）把選擇支逐次代入，當x＝－時，y＝－1，可見x＝－是對稱軸，又因為統(tǒng)一前提規(guī)定“只有一項是符合要求的”，故選A.另解：（直接法）∵函數y＝sin（2x＋）的圖象的對稱軸方程為2x＋＝kπ＋，即x＝－π，當k＝1時，x＝－，選A.代入法適應于題設復雜，結論簡單的選擇題。若能據題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。5、圖解法：據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.習慣上也叫數形結合法.例11．在內，使成立的的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）解：（圖解法）在同一直角坐標系中分別作出y＝sinx與y＝cosx的圖象，便可觀察選C.另解：（直接法）由得sin（x－）＞0，即2kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知選C.例12．在圓x＋y＝4上與直線4x＋3y－12=0距離最小的點的坐標是（）（A）（，）（B）(，－)（C）(－，)（D）(－，－)解：（圖解法）在同一直角坐標系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內，所以選A.直接法先求得過原點的垂線，再與已知直線相交而得.例13．設函數，若，則的取值范圍是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）解：（圖解法）在同一直角坐標系中，作出函數的圖象和直線，它們相交于（－1，1）和（1，1）兩點，由，得或.嚴格地說，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數形結合的解題策略.但它在解有關選擇題時非常簡便有效.不過運用圖解法解題一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖象反而會導致錯誤的選擇.如：例14．函數y=|x2—1|+1的圖象與函數y=2x的圖象交點的個數為（）（A）1（B）2（C）3（D）4本題如果圖象畫得不準確，很容易誤選（B）；答案為（C）。數形結合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷是高考考查的重點之一；歷年高考選擇題直接與圖形有關或可以用數形結合思想求解的題目約占50％左右.6、割補法“能割善補”是解決幾何問題常用的方法，巧妙地利用割補法，可以將不規(guī)則的圖形轉化為規(guī)則的圖形，這樣可以使問題得到簡化，從而縮短解題長度.例15．一個四面體的所有棱長都為，四個項點在同一球面上，則此球的表面積為（）（A）3 （B）4 （C）3 （D）6解：如圖，將正四面體ABCD補形成正方體，則正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一點.因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑R＝.故S球＝3.直接法（略）我們在初中學習平面幾何時，經常用到“割補法”，在立體幾何推導錐體的體積公式時又一次用到了“割補法”，這些蘊涵在課本上的方法當然是各類考試的重點內容.因此，當我們遇到不規(guī)則的幾何圖形或幾何體時，自然要想到“割補法”.7、極限法:從有限到無限，從近似到精確，從量變到質變.應用極限思想解決某些問題，可以避開抽象、復雜的運算，降低解題難度，優(yōu)化解題過程.例16．不等式組的解集是（）（A）（0，2）（B）（0，）（C）（0，）（D）（0，3）解：不等式的“極限”即方程，則只需驗證x=2，，和3哪個為方程的根，逐一代入，選C.例17．在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是（）（A）（π，π）（B）（π，π）（C）（0，）（D）（π，π）解：當正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態(tài)，此時棱錐相鄰兩側面所成二面角α→π，且小于π；當棱錐高無限大時，正n棱柱便又是另一極限狀態(tài)，此時α→π，且大于π，故選（A）.用極限法是解選擇題的一種有效方法.它根據題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案。8、估值法由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此可以猜測、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運算量，當然自然加強了思維的層次.例18．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）（A）（B）5（C）6（D）解：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，∴VF－ABCD＝·32·2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.例19．已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）

（A）π（B）π（C）4π（D）π解∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝，則S球＝4πR2≥4πr2＝π＞5π，故選（D）.估算，省去了很多推導過程和比較復雜的計算，節(jié)省了時間，從而顯得快捷.其應用廣泛，它是人們發(fā)現問題、研究問題、解決問題的一種重要的運算方法.二、練習20.直接法：設集合和都是自然數集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，則在映射下，象20的原象是（）解析：解：由映射概念可知可得.答案：故選.點評：由因導果，對照結論。按指令要求，通過推理或演算直接得出符合題意的結論，再與選擇支對照而作出判斷的解題思路稱為直接法.直接法是經常采用的一種重要方法.21. 特例法:，則（）解析：由不妨取，則答案：故選.點評：把特殊值代入原題或考慮特殊情況、特殊位置，從而作出判斷的方法稱為特例法.（也稱特殊值法）注：本題也可嘗試利用基本不等式進行變換.22.極限法：四面體的四個的面積分別是，記最大的面積為S，則的取值范圍是（）ABCD解析：顯然當四個面的面積都相等時取值為4，當最大面積的面所對的頂點無限接近這個面時，取值為2。答案：A點評：極限法其實是特例法的一種，其中的一種情況是取。23.排除法：“關于n的不等式對一切大于1的正整數n成立”的一個充分不必要條件是（）A0<a<B1<a<C1<a<D1<a<3解析：由于可排除A；若D正確則B也正確，若B正確則C也正確。答案：C點評：排除法，是從選擇支入手，根據題設條件與各選擇支的關系，逐個淘汰與題設矛盾的選擇支，從而篩選出正確答案。特別是題設中含有“充分不必要條件或必要不充分條件”這們的關鍵詞時。24.數形結合法：已知、均為單位向量，它們的夾角為60°，那么（）A、B、C、D、4解析：用三角形法則，構成三角形，再用余弦定理計算可得答案：C點評：利用函數圖像或常用結論的幾何意義，將數的問題（如解方程、解不等式、求最值，求取值范圍等）與某些圖形結合起來，利用幾何圖形的直觀性，再輔以簡單計算，確定真支，這種解法貫切了數形結合思想．每年高考均有很多選擇題（也有填空題、解答題）可用數形結合思想解決，既簡捷又迅速25.代入檢驗法（驗證法）:已知二次函數，若在區(qū)間[0，1]內至少存在一個實數c，使，則實數p的取值范圍是（）A．（1，4）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）解析：取p=1代入檢驗。顯然在[0，1]內有解.答案：C點評：將選擇支中給出的答案（尤其關注分界點），代入題干逐一檢驗，從而確定正確答案的方法為驗證法。26.特征判斷法:已知，等于（）A．B．C．D．5解析：因，可知m為定值，可排除A、B；又，排除C答案：D點評：常抓結構特征、數值特征、位置特征等27..估算法：若方程的解為x0，則x0屬于以下區(qū)間（）A、B、C、D、解析：取函數，當時，均有，而當時，有答案：C點評：估算法是一種粗略的算法，即把復雜的問題轉化為較簡單的問題，求出答案的近似值，或把有關數值擴大或縮小，從而對運算結果確定出一個范圍或作出一個估計，進而作出判斷的方法．28．逆向思維法：若正棱錐的底面邊長與側棱長相等，則該棱錐一定不是（） 三棱錐四棱錐五棱錐六棱錐解：假如是六棱錐，則這個六棱錐的底面外接圓半徑、底面邊長、側棱長都相等，這是不可能的。答案：D.點評：當問題從正面考慮比較困難時，采用逆向思維的方法來作出判斷的方法稱為逆向思維法.強化訓練29.|2x－1|+5x≥2的解集是（）A.[1/2,+)B.[3/7,+)C.[1/3,+)D.(－,1/2)答案：B30.方程lg(x+4)=10x的根的情況是()(A)僅有一根(B)有一正一負根(C)有兩負根(D)無實根答案：B31.當恒成立，則的一個可能取值是（）