重慶市石柱回龍中學校2023-2024學年高二上學期9月質(zhì)量檢測數(shù)學試題

2023-2024學年度石柱回龍中學高二數(shù)學9月質(zhì)量檢測試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點是（

）A． B． C． D．2．在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，3．已知向量，，且，那么實數(shù)等于（）A．3 B．-3 C．9 D．-94．在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A．＝＋ B．＝＋＋C．＝＋－ D．＝＋5．已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關系為（

）A． B． C．與相交但不垂直 D．6．給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4B．3C．2D．17．已知，，，四點在平面內(nèi)，且任意三點都不共線，點在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．38．如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（

）

A． B． C．4 D．29．如圖，在四面體中，，，.點在上，且，為中點，則等于（

）

B．C．D．10．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．以上都不對11．在中，已知，則（

）A．B．C．D．12．如圖，在棱長為1的正方體中，點分別在線段和上．給出下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的個數(shù)有（

）個①的最小值為1②四面體的體積為③存在無數(shù)條直線與垂直④點為所在邊中點時，四面體的外接球半徑為A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題13．已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（

）A． B． C． D．14．已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中不能確定點M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．15．已知是直線l的一個方向向量，是平面的一個法向量，則下列說法正確的是（

）．A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則16．給出下列命題，其中正確的是（

）A．對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面B．若，是兩個不共線的向量，且（，，，），則構(gòu)成空間的一個基底C．若空間四個點P，A，B，C滿足，則A，B，C三點共線D．平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.若，則17．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關系的結(jié)論中，正確的是（）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且，，則（

）A． B．C． D．三、填空題19．如圖，平行六面體中，，，則線段的長度是.20．下列關于空間向量的命題中，正確的有．①若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則；②若非零向量、、滿足，，則有；③若、、是空間向量的一組基底，且，則、、、四點共面；④若向量、、是空間向量的一組基底，則、、也是空間向量的一組基底．已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為．22．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，，分別在棱，上，，．則與所成角的余弦值為．

23．已知直三棱柱，，，點為此直三棱柱表面上一動點，且，當取最小值時，的值為.四、解答題24．已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

25．設.(1)若//，求的值；(2)若，求的值．26．如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，是的中點，在上，且，則向量與向量所成角的余弦值為．

參考答案：1．B【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】點關于xOz平面的對稱點是,故選：B2．C【分析】根據(jù)不共面的三個向量即可作為空間向量的一組基底，即可得到結(jié)果.【詳解】因為向量，，不共面，所以可以作為空間向量的一組基，而其它三組向量都共面，故選：C.3．D【分析】運用空間向量共線列式計算即可.【詳解】∵，，且，∴，解得，，∴．故選：D．4．B【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以A錯誤，對于B，因為，所以B正確，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D錯誤，故選：B5．A【分析】根據(jù)面法向量與直線方向向量的線性關系判斷線面關系即可.【詳解】由題設，則，故.故選：A6．D【分析】根據(jù)空間向量的有關定義判斷可得答案.【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．故選：D.7．B【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.【詳解】因為點在外，由空間向量的共面定理可知且；由題意，所以；所以，解得.故選：B.8．C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.9．B【分析】根據(jù)空間向量線性運算直接求解即可.【詳解】連接，

.故選：B.10．C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標，逐項判斷作答.【詳解】由，，，知，即，B錯誤；又，因此，同理，AD錯誤，C正確.故選：C11．D【分析】先計算出得到，從而求出.【詳解】，因為，所以，所以.故選：D12．B【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A;由線面平行的性質(zhì)及錐體的體積公式判斷B;根據(jù)線面垂直的判定及面面平行的判定定理結(jié)合條件判斷C;利用坐標法，根據(jù)正弦定理及球的性質(zhì)結(jié)合條件可求四面體的外接球半徑判斷D.【詳解】對于A:因為是正方體，所以平面,平面,又因為平面,平面,所以,，即是與的公垂線段，因為公垂線段是異面直線上兩點間的最短距離，所以當分別與重合時，最短為1，故A正確;對于B,因為是正方體，所以平面平面，且平面所以平面，當點在上運動時，點到平面的距離不變，距離，由可知，當點在上運動時，到的距離不變，所以的面積不變，所以所以B錯誤;對于C,連接，因為平面，平面，且,所以，又平面，所以平面，當不在線段端點時，過作交于，過作交于，平面交線段于,

因為平面，平面,故平面，同理平面,又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因為點在線段上，所以存在無數(shù)條直線，故C正確;對于D,如圖,以點為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則,所以,

則的外接圓的半徑為所以可得等腰的外接圓圓心為,設四面體的外接球球心為，則平面，所以可設四面體的外接球球心為，由，可得,解得，所以四面體的外接球的半徑為故D錯誤.故選:AC.13．AD【分析】由平行平面的法向量共線，可求解.【詳解】設平面的法向量可能為，則由題意可得，對于選項，，滿足題意；對于選項，設，無解，所以不符合題意；對于選項，設，無解，所以不符合題意；對于選項，，滿足題意．故選：AD．14．ABC【分析】利用向量四點共面的結(jié)論進行判斷即可.【詳解】設，若點與點共面，則，逐一檢驗各選項，可知只有選項D確定點M，A，B，C共面.故選：ABC.15．AD【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的關系逐一判斷即可.【詳解】若，則，得，得，A正確，B錯誤．若，則，得，得，C錯誤，D正確．故選：AD16．CD【分析】對于A選項：由四點共面的充要條件即可驗證；對于B選項：由構(gòu)成基底的條件即可判斷；對于C選項：由三點共線的充要條件即可判斷；對于D選項：若兩個平面平行，則它們的法向量也對應平行，然后由向量平行的充要條件即可判斷.【詳解】對于A選項：若P，A，B，C四點共面，由于A，B，C三點不共線，所以由平面向量基本定理有，進一步有，整理得，所以此時的系數(shù)之和恒為1，若，則有的系數(shù)之和；故A選項不符合題意.對于B選項：若，是兩個不共線的向量，且（，，，），則共面，所以不能構(gòu)成空間的一個基底；故B選項不符合題意.對于C選項：若，則有，整理得，即，所以A，B，C三點共線；故C選項符合題意.對于D選項：若，則它們對應的法向量與也平行，所以，有，即，解得；故D選項符合題意.故選：CD.17．AC【分析】對于，由不重合兩直線方向向量平行可判斷直線相互平行；對于B，要考慮直線可能在面內(nèi)；對于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，兩個不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯誤．故選：AC．18．BD【分析】利用數(shù)量積的定義和運算律，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】因為底面ABCD，所以垂直于平面內(nèi)的任何一條直線，因為四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且，所以和是等邊三角形，A.，故A錯誤；B.，故B正確；C.，故C錯誤；D.，故D正確.故選：BD19．【分析】由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可求解.【詳解】由題知，所以，所以，即，所以線段的長度是.故答案為：20．①③④【分析】利用反證法可判斷①④；利用空間向量的位置關系可判斷②；利用共面向量的基本定理可判斷可判斷③.【詳解】對于①，假設、不共線，則存在空間向量，使得當與、不共線，此時，、、能構(gòu)成空間向量的一組基底，與題設矛盾，假設不成立，所以，若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基，則，①對；對于②，若非零向量、、滿足，，則與不一定共線，②錯；對于③，若、、是空間向量的一組基，且，則，即，所以，、、、四點共面，③對；對于④，因為向量、、是空間向量的一組基底，假設、、共面，若，不妨設，設存在、，使得，，所以，，，，此時，向量、、共線，與題設矛盾；若、、共面，且、不共線，則存在、，使得，則，，所以，、、共面，與題設矛盾，故、、也是空間向量的一組基底，④對.故答案為：①③④.21．【分析】將平行四邊形分成兩個三角形，利用三角形的面積公式結(jié)合向量的夾角公式進行求解.【詳解】設的夾角為，則，故，根據(jù)夾角公式，，于是，不妨設，，以為鄰邊的平行四邊形為，連接，則，而根據(jù)三角形的面積公式，，故.故答案為：22．【分析】由題設是棱長為2的正四面體，數(shù)形結(jié)合可得、，利用向量數(shù)量積的運算律及向量夾角公式求向量與向量所成角的余弦值.【詳解】由題意，是棱長為2的正四面體，而，，所以，，又，所以.故答案為：23．/【分析】首先由可得是在以為球心半徑為4的球面上，進而得到其在平面的交線，故取值最小時，，，三點共線，利用平面幾何的運算可計算出在上的投影，進而得到答案.【詳解】由可得是在以為球心半徑為4的球面上，由于，，取值最小時，其在平面內(nèi)，其在平面的交線為如圖所示的圓弧.故取值最小時，，，三點共線，通過點往作垂線，垂足為，則，則，故，代入解得，從而，因此.故答案為：.關鍵點點睛：本題考查立體幾何中點的軌跡問題，解題關鍵是找到點在平面的運動軌跡．進而得到取值最小時，，，三點共線，然后通過點往作垂線，垂足為，進而可計算出在上的投影，進而得到答案.24．答案見解析【分析】根據(jù)空間坐標系分別寫出對應點的坐標，再利用向量的坐標運算法則即可得出結(jié)果.【