第四節(jié)空間向量及其坐標(biāo)表示講義（原卷版）

第四節(jié)空間向量及其坐標(biāo)表示考點梳理一、空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo)從空間某一定點引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點叫做坐標(biāo)原點，軸、軸、軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、平面、平面.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3.空間點的坐標(biāo)空間內(nèi)的任意點和三元有序?qū)崝?shù)組構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，我們把這組數(shù)稱為點的坐標(biāo)，記做，并依次稱為點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).4.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的求法通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點相應(yīng)的一個坐標(biāo).特殊點的坐標(biāo)：原點；軸上的點的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)分別為.5.空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點，則有點關(guān)于原點的對稱點是；點關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是；點關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是；點關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是.例題分析例1、（1）（2022·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點M是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則M的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．（2）（2022·廣東佛山·高二期末）已知，記M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（

）A． B．C． D．二、空間向量的坐標(biāo)運算1、空間兩點間的距離公式若，則即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)..2、空間線段的中點坐標(biāo)設(shè)空間兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.3、向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算若，則①;②;③;例題分析例2、（2022·全國·高二課時練習(xí)）若△頂點，且，，則點C坐標(biāo)是___________.例3、（2022·廣東潮州·高二期末）（多選）已知向量，則與共線的單位向量（

）A． B． C． D．例4、（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高二期末）已知向量,,并且?共線且方向相同,則______.例5、（2022·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．例6、（2021秋·高二課時練習(xí)）點的坐標(biāo)滿足，點，則的最小值是，的最大值是.三、空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算1、若，則即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和.2、空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式若，則（1）；（2）.注意：夾角的范圍是3、空間向量平行和垂直的條件若，則（1）；（2）.規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直感悟與升華空間向量的坐標(biāo)運算的公式與法則與平面向量相應(yīng)坐標(biāo)運算的公式與法則是相同的，只是從二維空間推廣到了三維空間，多了一個豎坐標(biāo)而已.例題分析例7、（2022·江蘇·東海縣教育局教研室高二期中）已知，，則_______.例8、（2022·廣東深圳·高二期末）若向量，，則（

）A． B． C． D． 四、綜合運用能力提高例9、（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例10、（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考）在