高考數(shù)學文一輪復習題第二章函數(shù)導數(shù)及其應用有解析2-22

05限時規(guī)范特訓A級基礎達標1．[2014·杭州模擬]下列四個函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－eq\f(1,x＋1) D．f(x)＝－|x|解析：當x>0時，f(x)＝3－x為減函數(shù)；當x∈(0，eq\f(3,2))時，f(x)＝x2－3x為減函數(shù)；當x∈(eq\f(3,2)，＋∞)時，f(x)＝x2－3x為增函數(shù)；當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－eq\f(1,x＋1)為增函數(shù)；當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－|x|為減函數(shù)．故選C.答案：C2．[2014·三明模擬]函數(shù)y＝eq\f(2,x－1)的定義域是(－∞，1)∪[2,5)，則其值域是()A．(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2] B．(－∞，2]C．(－∞，eq\f(1,2))∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，y＝eq\f(2,x－1)在(－∞，1)上為減函數(shù)，在[2,5)上也為減函數(shù)，∴eq\f(2,x－1)∈(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2]．答案：A3．[2014·沙市中學月考]函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的單調遞增區(qū)間為()A．(3，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)解析：令u＝x2－4x＋3，原函數(shù)可以看作y＝logeq\f(1,3)u與u＝x2－4x＋3的復合函數(shù)．令u＝x2－4x＋3>0，則x<1或x>3.∴函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的定義域為(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的圖象的對稱軸為x＝2，且開口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是減函數(shù)，在(3，＋∞)上是增函數(shù)．而函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的單調遞減區(qū)間為(3，＋∞)，單調遞增區(qū)間為(－∞，1)．答案：B4．[2014·金版原創(chuàng)]已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(eq\f(1,x))＝eq\f(3,x2)，則f(x)的值域為()A．[2，＋∞) B．[2eq\r(2)，＋∞)C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)解析：由2f(x)－f(eq\f(1,x))＝eq\f(3,x2)①令①式中的x變?yōu)閑q\f(1,x)可得2f(eq\f(1,x))－f(x)＝3x2②由①②可解得f(x)＝eq\f(2,x2)＋x2，由于x2>0，因此由基本不等式可得f(x)＝eq\f(2,x2)＋x2≥2eq\r(\f(2,x2)·x2)＝2eq\r(2)，當且僅當x2＝eq\r(2)時取等號，因此其最小值為2eq\r(2)，值域為[2eq\r(2)，＋∞)．選B.答案：B5．已知函數(shù)y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x＋3)的最大值為M，最小值為m，則eq\f(m,M)的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0,x＋3≥0))得函數(shù)的定義域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋2eq\r(1－x)·eq\r(x＋3)＝4＋2eq\r(－x＋12＋4)，當x＝－1時，y取得最大值M＝2eq\r(2)；當x＝－3或1時，y取得最小值m＝2，∴eq\f(m,M)＝eq\f(\r(2),2).答案：C6．[2014·大連質檢]若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：由f(1)＝eq\f(1,9)，可知a＝eq\f(1,3)，設|2x－4|＝t，當x≥2時，t為增函數(shù)，∴f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)，選B項．答案：B7.[2014·西安中學月考]如果函數(shù)f(x)＝ax2－3x＋4在區(qū)間(－∞，6)上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是______．解析：(1)當a＝0時，f(x)＝－3x＋4，函數(shù)在定義域R上單調遞減，故在區(qū)間(－∞，6)上單調遞減．(2)當a≠0時，二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(3,2a).因為f(x)在區(qū)間(－∞，6)上單調遞減，所以a>0，且eq\f(3,2a)≥6，解得0<a≤eq\f(1,4).綜上所述，0≤a≤eq\f(1,4).答案：[0，eq\f(1,4)]8．[2014·柳州模擬]函數(shù)y＝eq\f(x,x＋a)在(－2，＋∞)上為增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：y＝eq\f(x,x＋a)＝1－eq\f(a,x＋a)，依題意，得函數(shù)的單調增區(qū)間為(－∞，－a)、(－a，＋∞)，要使函數(shù)在(－2，＋∞)上為增函數(shù)，只要－2≥－a，即a≥2.答案：[2，＋∞)9．[2014·金版原創(chuàng)]設函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，又已知f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(f－x＋fx,x)<0的解集為________．解析：因為函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，又f(1)＝0，所以f(－1)＝0，又已知f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù).eq\f(f－x＋fx,x)<0可化為xf(x)<0，所以當x>0時，解集為{x|x>1}，當x<0時，解集為{x|－1<x<0}．綜上可知，不等式的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)10．[2014·濟南月考]已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)當a＝4時，證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增；(2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解：解法一：設2≤x1<x2，則Δy＝f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)·(1－eq\f(a,x1x2))＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2).(1)證明：若a＝4，則Δy＝eq\f(x1－x2x1x2－4,x1x2).∵2≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2－4>0，x1x2>0.∴Δy<0，即當2≤x1<x2時，f(x1)<f(x2)．∴當a＝4時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增．(2)∵x1－x2<0，x1x2>0，∴若Δy＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)<0恒成立，則x1x2－a>0恒成立，即a<x1x2恒成立．又∵2≤x1<x2，∴x1x2>4，∴a≤4，即函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上單調遞增時，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4]．解法二：f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2).(1)證明：當a＝4時，∵x∈[2，＋∞)，∴x2－4≥0，∴f′(x)≥0，∴f(x)在[2，＋∞)上單調遞增．(2)若f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，則f′(x)＝eq\f(x2－a,x2)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤4，∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，4]．11．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,|x|).(1)求證：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝a－eq\f(1,x)，設0<x1<x2，則x1x2>0，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(a－eq\f(1,x2))－(a－eq\f(1,x1))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由題意：a－eq\f(1,x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，設h(x)＝2x＋eq\f(1,x)，則a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，h(x1)－h(huán)(x2)＝(x1－x2)(2－eq\f(1,x1x2))．∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴2－eq\f(1,x1x2)>0，∴h(x1)<h(x2)，∴h(x)在(1，＋∞)上單調遞增．故a≤h(1)即a≤3，∴a的取值范圍是(－∞，3]．12．[2014·長春高三聯(lián)考]已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則eq\f(x1,x2)>1.由于當x>1時，f(x)<0，所以f(eq\f(x1,x2))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．(3)令x1＝9，x2＝3，由f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，得f(eq\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以f(|x|)<f(9)，即|x|>9，解得x>9或x<－9，因此原不等式的解集為{x|x>9或x<－9}．B級知能提升1．[2014·合肥檢測]函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是()A．(－∞，0) B．[0，eq\f(1,2)]C．[0，＋∞) D．(eq\f(1,2)，＋∞)解析：y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－xx≥0，,－x1－xx<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋xx≥0，,x2－xx<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,2)2＋\f(1,4)x≥0，,x－\f(1,2)2－\f(1,4)x<0.))畫出函數(shù)的草圖，如圖．由圖易知原函數(shù)在[0，eq\f(1,2)]上單調遞增．故選B.答案：B2．[2014·湖北八校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)．(1)若a>0，則f(x)的定義域是________；(2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：(1)當a>0且a≠1時，由3－ax≥0得x≤eq\f(3,a)，即此時函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，eq\f(3,a)]．(2)當a－1>0，即a>1時，要使f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，則需3－a×1≥0，此時1<a≤3.當a－1<0，即a<1時，要使f(x)在(0,1]上為減函數(shù)，則需－a>0，此時a<0.綜上a的取值范圍(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)(－∞，eq\f(3,a)](2)(－∞，0)∪(1,3]3．[2014·朝陽模擬]設函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(x＋|x|)，則函數(shù)f[f(x)]的值域為________．解析：先去絕對值，當x≥0時，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，當x<0時，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,0，x<0))易知其值域為[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．[2014·寶雞模擬]已知函數(shù)g(x)＝eq\r(x)＋1，h(x)＝eq\f(1,x＋3)，x∈(－3，a]，其中a為常數(shù)且a>0，令函數(shù)f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函數(shù)f(x)的表達式，并求其定義域；(2)當a＝eq\f(1,4)時，求函數(shù)f(x)的值域．解：(1)f(x)＝eq\f(\r(x)＋1,x＋3)，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函數(shù)f(x)的定義域為[0，eq