轉(zhuǎn)化與化歸函數(shù)

第1講轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)中的應(yīng)用在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，我們研究的最多的題往往是自己不會(huì)做的題，因此解題的過程實(shí)際上是一個(gè)從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。同樣的，我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問題的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些困境：做題時(shí)總感覺這道題見過，但是按照平時(shí)常用的方式就是解不出來。此時(shí)便需要我們將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過觀察、分析等思維過程，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題（相對(duì)來說，對(duì)自己較熟悉的），通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的。轉(zhuǎn)化和化歸可使所要研究的問題化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知。通過改變思維的角度，使我們從所給問題的情境中找出我們?cè)?jīng)見過的熟悉的模型，從而迅速、準(zhǔn)確地解決問題?！緫?yīng)用一】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決不等式問題函數(shù)的不等式問題，一直是?？紗栴}，解決不等式問題我們一般的想法是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，但有的時(shí)候，題目給出的不等式中會(huì)含有不止一個(gè)變量，無法直接利用函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)就需要我們對(duì)不等式進(jìn)行變形，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的利用函數(shù)單調(diào)性求解的問題，例如下面這道小題：【例1】若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．本題是一道不等式問題，且含有兩個(gè)變量，直接運(yùn)算很難得到答案，所以我們可以對(duì)本題中所給的式子進(jìn)行變形：，接著構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)，將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題然后求解?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)題意可得，構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性分析可得，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)椋詷?gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，故，所以，對(duì)A、B：則，但無法確定與1的大小關(guān)系，故無法確定與0的大小關(guān)系，A、B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：，且在定義域上單調(diào)遞增，所以，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【思維升華】通過本題不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于多變量的不等式求解問題，我們可以對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，化難為易、化繁為簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)單調(diào)性問題，所以在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到陌生的問題，感到棘手。這時(shí)，可以想辦法把陌生的問題和學(xué)過的知識(shí)聯(lián)系起來，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進(jìn)行解答，使問題得到有效解決?！尽浚?020?新課標(biāo)Ⅱ）若，則A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】方法一：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，的大小關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷．方法二：根據(jù)條件取，，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)．【詳解】解：方法一：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，滿足，此時(shí)，，可排除．故選：．【】若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可將已知等式化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，設(shè)，由函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，；設(shè)，則，與在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，即.故選：A.【應(yīng)用二】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)最值問題函數(shù)的最值問題是一類?？碱}型，其中比較經(jīng)典的就是一次函數(shù)與二次函數(shù)的比值問題，對(duì)于這種題比較直接和容易想到的方法是求導(dǎo)，但求導(dǎo)法在計(jì)算量上還是有點(diǎn)大，所以對(duì)于此類問題我們可以將分母變形，把這種問題轉(zhuǎn)化為均值不等式的問題，比如下面這道題：【例2】當(dāng)x＞﹣1時(shí)，關(guān)于代數(shù)式，下列說法正確的是（）A．有最小值 B．不確定 C．有最大值 D．無最大值對(duì)于本題，可以看到當(dāng)x＞﹣1時(shí)x+1＞0，關(guān)于代數(shù)式可以變形為：＝，然后根據(jù)基本不等式可解決此題．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，關(guān)于代數(shù)式，然后根據(jù)基本不等式可解決此題．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，關(guān)于代數(shù)式，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)關(guān)于代數(shù)式取得最大值．故選：．【思維升華】通過本題不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于求形如一次函數(shù)/二次函數(shù)的代數(shù)式最值問題，我們可以對(duì)代數(shù)式的分母進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的基本不等式求最值問題，所以解答有些數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以通過變形，利用已經(jīng)所學(xué)過的定義、定理和公式等，達(dá)到從未知到已知的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。不僅對(duì)于一次函數(shù)/二次函數(shù)型代數(shù)式，我們可以用同樣的方法研究二次函數(shù)/一次函數(shù)型代數(shù)式的最值?！尽吭O(shè)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】對(duì)變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D【】設(shè)，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出函數(shù)得最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為.故選：C.【應(yīng)用三】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點(diǎn)問題函數(shù)的極值問題，既是重點(diǎn)題型又是難點(diǎn)題型，遇到此類題，我們一般的想法是進(jìn)行求導(dǎo)，實(shí)際上，對(duì)于已知的基本初等函數(shù)求極值的問題，也可以直接做出基本初等函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象使問題得到解決，比如下面這道題：【例3】（2018·全國(guó)Ⅰ卷）已知函數(shù)，,若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是()A.[1,0) B.[0,+∞)C.[1,+∞) D.[1,+∞)把函數(shù)零點(diǎn)的問題,轉(zhuǎn)化為方程根的問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的圖象的交點(diǎn)問題，觀察函數(shù)的解析式，可以看到是由我們熟悉的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成的，所以能很容易畫出函數(shù)圖象，接著借助函數(shù)圖象便能得到我們想要的答案?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯攘畹玫?，即等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，然后畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可求解．【詳解】解：令，即有兩個(gè)根，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，分別畫出與的圖象，如下所示：由圖可知：當(dāng)縱截距時(shí)，即時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，故，．故選：．【思維升華】通常研究函數(shù)零點(diǎn)問題，如果我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)值得零很難解，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，所以對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)，大部分問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想，這體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化?！尽亢瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【解析】【詳解】本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),做出兩個(gè)函數(shù)的圖像,如圖,根據(jù)圖像可得兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè),所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故選:C.【】若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意可知，關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)即為，的根的個(gè)數(shù)，可求．【詳解】解：有極值點(diǎn)，，且，有兩根，，且，即，，比較方程可得，，，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)即為，的根的個(gè)數(shù)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，，有2個(gè)實(shí)根，分別在處和，內(nèi)，有1個(gè)實(shí)根，在，內(nèi)綜上可得，方程一共有3個(gè)根．故選：．【應(yīng)用四】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想判斷大小在做題的過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到比大小問題，遇到這類題，我們的想法往往是先找一個(gè)中間值，比如比較這些數(shù)和0或1的大小，接著根據(jù)小于0的數(shù)最小，其次是01之間的數(shù)，最大的是大于1的數(shù)，得到最終結(jié)果，但有的時(shí)候，題目中出現(xiàn)的數(shù)字可能都小于0，或都在01之間，或都大于1，例如：，，，這三個(gè)數(shù)都在01之間，此時(shí)我們無法用之前的方式進(jìn)行比大小，所以需要對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)槲覀兪煜さ膯栴}然后求解，例如下面這道小題：【例4】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，．設(shè)，，，則A． B． C． D．本題是一道較難的比大小問題，因?yàn)轭}中所給的三個(gè)數(shù)，，，都在01之間，不好進(jìn)行比大小，所以我們可以把這三個(gè)數(shù)兩兩轉(zhuǎn)化為同底的數(shù)，比如：由，根據(jù)，即可得到，即，接著利用同樣的方法，即可確定，，的大小關(guān)系．【答案】A【解析】【分析】法一：利用中間值比較即可，，根據(jù)由和，得到，即可確定，，的大小關(guān)系．法二：利用作差法得到，利用指對(duì)互化得到，，由此能求出結(jié)果．【解答】解法一：由，，而，即；，，，；，，，，綜上，．解法二：，，，，，，，，，，，．故選：．【思維升華】通過本題不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)確定的對(duì)數(shù)比大小問題，如果無法法借助通常找中間值的方法求解時(shí)，可以將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)，然后比較大小。但是通過本題可以發(fā)現(xiàn)，如何轉(zhuǎn)化是一個(gè)難點(diǎn)，比如這里：為什么要乘，這么做的依據(jù)是什么？這就要求我們平時(shí)在做題的過程中多積累，多試錯(cuò)，化生為熟、化難為易。實(shí)際上在本題中乘，也是因?yàn)楦鶕?jù)已有知識(shí)可以知道54>83,利用這一關(guān)系反推出乘，這也反應(yīng)了轉(zhuǎn)化思想中的正難則反，如果正向走不通，可以進(jìn)行倒推?！尽恳阎?，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．a(chǎn)<b<c B． C． D．【答案】B【詳解】，，所以，所以又因，，所以，所以所以，故選B【】（2022·湖北武昌·高三期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的單調(diào)性可判斷，；在構(gòu)造函數(shù)，，再根據(jù)換元法和不等式放縮，可證明當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷的大小.【詳解】因?yàn)?，所以；由且，所以，所以，令，，令，則，則，等價(jià)于，；又，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以．故選：C．【應(yīng)用五】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想判解決恒成立問題新高考越來越注重對(duì)綜合素質(zhì)的考查，恒成立問題便是考查綜合素質(zhì)的很好途經(jīng)，它經(jīng)常以函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)為載體，滲透轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法。近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)知識(shí)密不可分。遇到恒成立問題，我們的第一想法大多是利用分離參數(shù)或數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，但有的時(shí)候恒成立問題中給出的函數(shù)形式雖然并不復(fù)雜，但是變量卻不止一個(gè)，此時(shí)利用分離參數(shù)無法解決，利用數(shù)形結(jié)合不易討論，所以我們可以將形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)（值域）的問題，利用代數(shù)方法進(jìn)行求解，比如下面這道題：【例5】（2022秋·北京·高三人大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．在解決本題時(shí)，我們可以把恒成立問題轉(zhuǎn)化為值域問題，也就是將：對(duì)任意的，總存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為在上值域是在上值域的子集，在這里和都是我們所熟悉的函數(shù)，所以接下來只要討論在不同取值時(shí)函數(shù)和的取值即可?！敬鸢浮緿【解析】【詳解】要使對(duì)任意的，總存在，使得成立，即在上值域是在上值域的子集，開口向上且對(duì)稱軸為，則上值域?yàn)?；?duì)于：當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?，此時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?，不滿足要求；當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?；此時(shí)，，可得；綜上，的取值范圍.故選：D【思維升華】通常研究恒成立問題，如果我們發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合不好解決時(shí)，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為值域問題，通過研究函數(shù)的值域，使問題得到解決，所以和函數(shù)零點(diǎn)問題類似，恒成立問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想。同時(shí)恒成立問題形式多樣，要會(huì)根據(jù)不同需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化?！尽恳阎瘮?shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍是.【詳解】若，，使得，故只需，其中在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【】若對(duì)于常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x，等式恒成立，則的周期為.【解析】將已知恒等式中的x換成x+m得,又將上式中的x換成x+2m得,故是以4m為周期的周期函數(shù).鞏固練習(xí)1.(2022·安徽省模擬)設(shè)函數(shù)，．若在，有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】【分析】令，函數(shù)換元為，在，有零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為在上有解，即，該問題又轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可解決．【詳解】解：由已知得，，則，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則，若在，有零點(diǎn)，即在上有解，即，即，由于函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則，即，故，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．2.（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一期中）函數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】∵，∴，即函數(shù)的定義域?yàn)?令，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值為1，當(dāng)時(shí)，或1滿足.故選：D3.（多選題）（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．