第19講函數(shù)值域的六種常見求法

第19講函數(shù)值域的六中常見求法題型一：直接法解題思路：直接利用不等式的性質，由定義域的取值范圍，推出的取值范圍【精選例題】【例1】函數(shù)的定義域是，求值域?！敬鸢浮俊驹斀狻拷夥ㄒ唬簣D象法：由題意知函數(shù)是由向右平移個單位得到，畫出函數(shù)圖象易得值域為解法二：直接利用不等式性質：因為，所以，所以，所以【例2】函數(shù)的值域是（A）（B）（C）（D）【答案】B【詳解】因為，所以，所以，所以【例3】函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】又，所以函數(shù)的值域為故選：A【例4】（多選題）世界公認的三大著名數(shù)學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學王子”美譽的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知，，則函數(shù)的值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BCD【詳解】，，當時，，，，此時的取值為1；當時，，，，此時的取值為2，3．綜上，函數(shù)的值可能為．故選：BCD．【例5】已知函數(shù)的定義域為，值域為R，則（

）A．函數(shù)的定義域為RB．函數(shù)的值域為RC．函數(shù)的定義域和值域都是RD．函數(shù)的定義域和值域都是R【答案】B【詳解】對于A選項：令，可得，所以函數(shù)的定義域為，故A選項錯誤；對于B選項：因為的值域為R，，所以的值域為R，可得函數(shù)的值域為R，故B選項正確；對于C選項：令，得，所以函數(shù)的定義域為，故C選項錯誤；對于D選項：若函數(shù)的值域為R，則，此時無法判斷其定義域是否為R，故D選項錯誤.故選：B【例6】（多選題）函數(shù)的函數(shù)值表示不大于x的最大整數(shù)，當時，下列函數(shù)時，其值域與的值域相同的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【詳解】當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．所以當時，的值域為．對于A選項，，，該函數(shù)的值域為；對于B選項，，，該函數(shù)的值域為；對于C選項，，，該函數(shù)的值域為；對于D選項，，，該函數(shù)的值域為．故選：ABD．【跟蹤訓練】1.函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，因此，函數(shù)的值域是.故選：B.2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“孿生函數(shù)”共有（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】C【詳解】函數(shù)解析式為，值域為，由得，；由，得，則定義域可以為，，，，，，，，，因此“孿生函數(shù)”共有9個．故選：C3．（多選題）下列函數(shù)中，值域是的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【詳解】對于A，，值域為，A不正確；對于B，，值域為，B不正確；對于C，，值域為，C正確；對于D，，值域為，D正確.故選:CD.4．函數(shù)（）的值域為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】，由于，∴，，，于是，故函數(shù)的值域為.故選：A.題型二：配方法解題思路：一般適用求二次函數(shù)的值域，一般看開口方向和對稱軸即可【精選例題】【例1】已知，定義域為[1，3]，求其值域?！敬鸢浮俊驹斀狻坑深}意知函數(shù)的開口向上，對稱軸為，所以在上為單調遞增函數(shù)，所以，得值域為【例2】函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，且，所以，即的值域為.故選：A【例3】函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，得，設，則，所以，即函數(shù)的值域是.故選：C【例4】（多選題）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】對于A，當時，，則值域為，A正確；對于B，當時，，則值域為，B正確；對于C，當時，，則值域為，C正確；對于D，當時，，則值域為，D錯誤.故選：ABC.【例5】若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，當時，；當或時，.因此當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：C【例6】已知函數(shù)的最大值為,最小值為,則的值為_________.【答案】【詳解】函數(shù)定義域設，開口向下，對稱軸為，當時，，當時所以，所以，所以【例7】對于函數(shù),其中,若的定義域與值域相同,則非零實數(shù)a的值為_______.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，即，若，則的定義域為，但的值域，估，不合題意若，對于正實數(shù)，則的定義域為，的最大值為，估函數(shù)值域，由題意知，由于，所以【例8】已知函數(shù)，若函數(shù)與在時有相同的值域，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【詳解】由于函數(shù)，則當時，，又函數(shù)與在時有相同的值域，則函數(shù)必須能夠取到最小值，即，解得【例9】已知，在上任取三個數(shù)a，b，c，均存在以為三邊的三角形，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由于函數(shù)的對稱軸為，因為，則當時，，又即與對稱軸的距離較遠，所以當時，不妨設，，由以為三邊的三角形，由構成三角形的條件可得，解得【跟蹤訓練】1.函數(shù)定義域和值域分別為、，則=（

）A．[1，3] B．[1，4] C．[0，3] D．[0，2]【答案】D【詳解】要使函數(shù)有意義,則解得，故；由，所以.故.則選:D2.的最大值為_________.【答案】【詳解】解法一：均值不等式：解法二：二次函數(shù)思想：因為，開口向下，對稱軸為，當時，，所以的最大值為3.若函數(shù)的定義域和值域都是，則（

）A．1 B．3 C． D．1或3【答案】B【詳解】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且定義域和值域都是，所以，，解得或（舍），故選：B4.已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在[0,2]上單調遞減，在[2,+∞)上單調遞增，時時，函數(shù)的部分圖象及在在上的值域為，實數(shù)m的取值范圍是，故選：B.5.定義：稱為區(qū)間的長度，若函數(shù)的定義域與值域區(qū)間長度相等，則的值為（

）A． B． C．4或 D．與的取值有關【答案】A【詳解】函數(shù)的值域為，所以區(qū)間的長度為.設的解集為，所以.因為，且，所以，解得.故選：A6．定義運算，若函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【詳解】..故選：B7.求函數(shù)的值域．【答案】【詳解】由，得．∵，∴，∴．∵，∴，∴，即．又∵，∴，∴，∴函數(shù)的值域為．題型三：換元法解題思路：適用于形如，，等如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)可以化為()，接下來求解關于t的二次函數(shù)的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．【精選例題】【例1】求函數(shù)的值域?！敬鸢浮俊驹斀狻吭O，則的對稱軸為，所以在上單調遞增，所以當時，，所以的值域為【例2】求函數(shù)的值域?！敬鸢浮俊驹斀狻吭O，則，函數(shù)可化為，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調遞減，所以當時，，所以原函數(shù)的值域為【例3】求函數(shù)的值域．【答案】【詳解】令，則，由及，得，所以，則（），為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故在單調遞增因此當時，；當時，，故函數(shù)的值域為．【例4】函數(shù)的最大值為（

）．A．B．C．D．2【答案】B【詳解】因為，所以，即定義域為；設且，又因為，所以，所以，當且僅當時有最大值，當時，，所以滿足；故選B.【跟蹤訓練】1.函數(shù)，的值域為A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，則，函數(shù)可化為，對稱軸為，所以當時，函數(shù)，當時，，所以原函數(shù)的值域為2.函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，令，故，由于為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故當時，，無最小值，故函數(shù)的值域是，故選：C3．若函數(shù)的值域是，函數(shù)的值域是，則__________．【答案】【詳解】由題得，所以函數(shù)的值域為.對于函數(shù)，函數(shù)的定義域為，設，所以，所以，函數(shù)的對稱軸為，所以函數(shù)的值域為.所以.故答案為：4.函數(shù)的值域為

（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域是，令，則，，所，因為，所以，所以原函數(shù)的值域為．故選：D.5.函數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【詳解】∵，∴，即函數(shù)的定義域為.令，則，∴，∴，當且僅當時有最大值為1，當時，或1滿足.故選：D6.已知函數(shù)，其中m為實數(shù)．(1)求的定義域；(2)當時，求的值域；(3)求的最小值．【答案】(1)；(2)[2，2]；(3)當時，的最小值為2；當時，的最小值為【詳解】(1)由解得．所以的定義域為．(2)當時，．設，則．當時，取得最大值8；當或時，取得最小值4．所以的取值范圍是[4，8]．所以f（x）的值城為[2，2]．(3)設，由（2）知，，且，則．令，,若，，此時的最小值為；若，．當時，在[2，2上單調遞增，此時的最小值為；當，即時，，此時的最小值為；當，即時，，此時的最小值為所以，當時，f（x）的最小值為2；當時，f（x）的最小值為題型四：分離常數(shù)法，反解法（利用函數(shù)有界性）分離常數(shù)法：將形如()的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為：，再結合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.【精選例題】【例1】求函數(shù)的值域【答案】【詳解】分離常數(shù)法：設，因為，所以，所以原函數(shù)的值域為方法二：反解法：由，可得，所以當時，所以原函數(shù)的值域為【例2】求函數(shù)的值域【答案】【詳解】方法一：分離常數(shù)法：，因為，所以原函數(shù)的值域為方法二：反解法：由，可得，所以，因為，所以，解得，所以原函數(shù)的值域為【例3】求函數(shù)的值域【答案】【詳解】方法一：分離常數(shù)法：，因為，所以原函數(shù)的值域為方法二：反解法：由，可得，所以，因為，所以，解得，所以原函數(shù)的值域為【跟蹤訓練】1.求函數(shù)的值域【答案】【詳解】由題意，函數(shù)可化為，可得定義域為，所以，可得，所以值域為.2．設，函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，例如，，若函數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】，因為，所以，所以，當時，；當時，；當時，；當時，，所以函數(shù)的值域為，故選：C.題型五：判別式法解題思路：適用于函數(shù)，化為關于的一元二次方程，方程有實數(shù)解，判別式【精選例題】【例1】函數(shù)的值域為______.【答案】【詳解】方法一：分離常數(shù)法：，當時，，當時，，當時，所以，當時，所以，原函數(shù)的值域為方法二：判別式法：設，可得，因為函數(shù)的定義域為，當時，即時，得，滿足題意，當當時，，解得，所以原函數(shù)的值域為【例2】若函數(shù)的定義域為，值域為，求的值.【答案】【詳解】判別式法：設，得，因為函數(shù)的定義域為，所以，即，由知，關于的一元二次方程的兩個根分別為和，由根與系數(shù)的關系得，解得【跟蹤訓練】1.函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，可知關于的方程有解，分、兩種情況討論，結合已知條件可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】設，則有，當時，代入原式，解得．當時，，由，解得，于是的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．故選：B.2已知函數(shù)的值域為，則常數(shù)______．【答案】7或【詳解】因為，所以，，即，因為函數(shù)的值域為，所以是方程的兩個根，所以，，解得或，所以7或.故答案為：7或.3．函數(shù)的值域是___________.【答案】【詳解】解：，因為，所以函數(shù)的定義域為令，整理得方程：，當時，方程無解；當時，，不等式整理得：，解得：所以函數(shù)的值域為.故答案為：題型六：圖像法（畫出函數(shù)的圖像，直接求出定義域）【例1】函數(shù)的值域為_____.【答案】【詳解】原函數(shù)化為，其圖象如圖，原函數(shù)值域為【例2】高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則對函數(shù)的值域【答案】【詳解】由于，所以，由此畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，的值域為.【例3】定義為中的最小值，設，則的最大值是_____．【答案】2【詳解】本題若利用的定義將轉為分段函數(shù)，則需要對三個式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進行數(shù)形結合，將三個解析式的圖像作在同一坐標系下，則為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結合可得的最大值點為與在第一象限的交點，即，所以．【題型專練】1.對任意，函數(shù)，則的最小值為()A.2 B.3C.4 D.5【答案】A【詳解】畫出圖像可知：在處取最小值，因為，所以2.若函數(shù)與的值域相同，但定義域不同，則稱和是“同象函數(shù)”，已知函數(shù)，，則下列函數(shù)中，與是“同象函數(shù)”的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【詳解】當時，單調遞增，所以，即，當時，單調遞減，所以，即，所以A選項正確；當時，單調遞減，此時，所以，B選項錯誤；當時,的