高考數(shù)學(xué)（北師大版理科）一輪復(fù)習(xí)攻略核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析9-5空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運(yùn)算

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1.在空間四邊形ABCD中,若=(3,5,2),=(7,1,4),點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),則的坐標(biāo)為 ()A.(2,3,3) B.(2,3,3)C.(5,2,1) D.(5,2,1)2.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0,2),B(1,3,1),點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,則M的坐標(biāo)是________________.

3.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn).用AB,AD,AA1表示OC1,則為正四面體ABCD外接球的球心,則=x+y+z,x,y,z分別是 ()A.14,14,14 B.13C.12,12,12 D.13【解析】1.選B.因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),所以=,=12(+),=12(+).所以=12(+)12(+)=12(+)=12=122.設(shè)M(0,y,0),則MA=(1,y,2),MB=(1,3y,1),由題意知|MA|=|MB|,所以12+y2+22=12+(3y)2+12,解得y=1,故M(0,1,0).答案:(0,1,0)3.因?yàn)镺C=12AC=12(AB+AD),所以O(shè)C1=OC+CC1=12(AB+AD)+答案:12AB+14.選A.取BC的中點(diǎn)M,△BCD的中心為O,則=34,=13+23,=12+12,=14+14+14,即x=y=z=14.用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量來表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則,向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.考點(diǎn)二共線向量定理、共面向量定理及其應(yīng)用

【典例】1.已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,則實(shí)數(shù)λ等于 ()A.627 B.637 C.6472.如圖,已知M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3.求證:B,G,N三點(diǎn)共線. 導(dǎo)學(xué)號【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1因?yàn)閍,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程組可求參數(shù)值.2要證B,G,N三點(diǎn)共線,只要證BN=λBG即可,想到選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄糠謩e表示BN和BG.【解析】1.選D.因?yàn)橄蛄縜,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得xa+yb=c,所以2x-y=7,2.設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則BG=BA+AG=BA+34AM=a+14(a+b+c)=34a+14bBN=BA+AN=BA+13(AC+AD)=a+13b+13c=43BG.所以BN∥BG證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面PA=λPB且同過點(diǎn)PMP=xMA+yMB對空間任一點(diǎn)O,OP=OA+tAB對空間任一點(diǎn)O,OP=OMxMA+yMB1.e1,e2是平面內(nèi)不共線兩向量,已知AB=e1ke2,CB=2e1+e2,CD=3e1e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則k的值是 ()【解析】選A.BD=CDCB=e12e2,又A,B,D三點(diǎn)共線,設(shè)AB=λBD,所以1=λ-k2.如圖,已知平行六面體ABCDA'B'C'D',E,F,G,H分別是棱A'D',D'C',C'C和AB的中點(diǎn),求證E,F,G,H四點(diǎn)共面.【證明】取ED'=a,EF=b,EH=c則HG=HB+BC+CG=D'F+2ED=ba+2a+12(AH+HE+EA'=b+a+12(baca)=32b1所以HG與b,c共面.即E,F,G,H四點(diǎn)共面.考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、利用數(shù)量積求線段長度、夾角大小以及證明垂直問題.(2)考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.怎么考:常見命題方向:證明線線垂直,求空間角.3.新趨勢:以柱、錐、臺體為載體,利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算解決求值問題.學(xué)霸好方法1.(1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑:一是根據(jù)數(shù)量積的定義,利用模與夾角直接計(jì)算;二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.(2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題.①a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0;②|a|=a2③cos<a,b>=a·2.交匯問題:與立體幾何知識聯(lián)系,考查證明垂直,求空間角等問題.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【典例】1.在棱長為1的正四面體ABCD中,E是BC的中點(diǎn),則·= () B.12 122.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2)且ka+b與2ab互相垂直,則k=___________. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】1.選D.·=12·=12=12122.由題意得,ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2).所以(ka+b)·(2ab)=3(k1)+2k2×2=5k7=0,解得k=75答案:7數(shù)量積的應(yīng)用【典例】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積.(2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量a的坐標(biāo). 導(dǎo)學(xué)號【解析】(1)由題意可得:AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=AB=-2+3+614×14=714=12,所以sin<所以以AB,AC為邊的平行四邊形的面積為S=2×12|AB|·|AC|·sin<AB,AC>=14×32=7(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x解得x=1,所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(1,1,1).1.已知向量a=(1,0,1),則下列向量中與a成60°夾角的是 ()A.(1,1,0) B.(1,1,0)C.(0,1,1) D.(1,0,1)【解析】選B.經(jīng)檢驗(yàn),選項(xiàng)B中向量(1,1,0)與向量a=(1,0,1)的夾角的余弦值為12,即它們的夾角為2.如圖所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長.(2)求證:AC1⊥BD.(3)求BD1與AC夾角的余弦值.【解析】(1)記=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=12||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×12所以||=6,即AC1的長為6.(2)因?yàn)?a+b+c,=ba,所以·=(a+b+c)·(ba)=a·b+b2+b·ca2a·ba·c=b·ca·c=|b|·|c|cos60°|a||c|cos60°=0.所以⊥,所以AC1⊥BD.(3)=b+ca,=a+b,所以||=2,||=3,·=(b+ca)·(a+b)=b2a2+a·c+b·c=1.所以cos<,>=