2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　圓與圓的位置關(guān)系 學(xué)案

2.4圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定的圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系.2.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判定方法與幾何判定方法.3.能利用圓與圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題.素養(yǎng)要求通過圓與圓的位置關(guān)系的判定及解決相關(guān)問題，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1.思考平面內(nèi)兩個(gè)不等的圓之間有幾種位置關(guān)系？分別是什么？提示五種.分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.2.思考類比運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，如何利用圓的方程，通過定量計(jì)算判斷它們之間的位置關(guān)系？提示①幾何法：利用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷；②代數(shù)法：利用聯(lián)立兩圓的方程，所得的一元二次方程的判斷式Δ，然后再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.3.填空(1)用幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示(2)用代數(shù)法判定圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，將方程聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則①判別式Δ>0時(shí)，C1與C2相交.②判別式Δ＝0時(shí)，C1與C2外切或內(nèi)切.③判別式Δ<0時(shí)，C1與C2外離或內(nèi)含.溫馨提醒(1)利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)，當(dāng)方程無解或一解時(shí)，無法判斷兩圓的位置關(guān)系.(2)在判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，優(yōu)先使用幾何法.4.做一做(1)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離答案B解析圓心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17).由于3－2<d<2＋3.故選B.(2)兩圓x2＋y2＝r2與(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，則r的值是()A.eq\r(10) B.eq\r(5)C.5 D.eq\f(\r(10),2)答案D解析由題意可知eq\r(（3－0）2＋（－1－0）2)＝2r，∴r＝eq\f(\r(10),2).

題型一兩圓位置關(guān)系的判斷例1當(dāng)a分別為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外離？解將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，則|r1－r2|＝1，|r1＋r2|＝5.設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當(dāng)d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時(shí)，兩圓外切，此時(shí)a＝－5或a＝2；(2)當(dāng)1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25時(shí)，兩圓相交，此時(shí)－5<a<－2或－1<a<2；(3)當(dāng)d>5，即2a2＋6a＋5>25時(shí)，兩圓外離，此時(shí)a>2或a<－5.思維升華判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：(1)將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑.(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d.(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可數(shù)形結(jié)合.訓(xùn)練1(1)(多選)當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，圓x2＋y2＝1與圓N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置關(guān)系可能是()A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含答案ABC解析圓x2＋y2＝1的圓心為(0，0)，半徑為1；圓N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的圓心為(m，1)，半徑為2.所以圓心距d＝eq\r(m2＋1)≥1＝2－1，所以這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是內(nèi)含，故選ABC.(2)圓C1：x2＋y2－4x＋3＝0與圓C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值是()A.4 B.6C.16 D.36答案C解析圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝1，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴eq\r(（2＋1）2＋（0－4）2)＝1＋eq\r(a)，解得a＝16.題型二利用兩圓的位置關(guān)系求圓的方程例2求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程.解設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1.①又所求圓過點(diǎn)M的切線為直線x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3).②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.遷移將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(diǎn)(3，－eq\r(3))的圓的方程”.解因?yàn)閳A心在x軸上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，0)，設(shè)半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，又因?yàn)榕c圓x2＋y2－2x＝0外切，且過點(diǎn)(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a－1）2＋02)＝r＋1，,（3－a）2＋（－\r(3)）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.思維升華通過直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用方程思想，解決求圓的方程問題.訓(xùn)練2已知圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝1.(1)若直線l過定點(diǎn)A(4，0)，且與圓C相切，求直線l的方程；(2)若圓M的半徑為4，圓心在直線x＋y－1＝0上，且與圓C外切，求圓M的方程.解(1)由題意可知，C：(x－4)2＋(y－2)2＝1，且A(4，0)在圓C外，由分析知，所求直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，所以圓心C(4，2)到直線l：kx－y－4k＝0的距離為r＝1，所以eq\f(|4k－2－4k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3)，故所求直線l的方程為eq\r(3)x－y－4eq\r(3)＝0或eq\r(3)x＋y－4eq\r(3)＝0.(2)由題意，可設(shè)圓心M的坐標(biāo)為(t，1－t)，t∈R，則由圓C與圓M外切，得圓心距為|CM|＝5，所以eq\r(（t－4）2＋（－t－1）2)＝5，即t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1，則圓心M(4，－3)或M(－1，2).故所求圓M的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x＋1)2＋(y－2)2＝16.題型三相交弦與圓系方程問題例3已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.解(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，①,x2＋y2＋6y－28＝0②))的解.①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程.又圓C1的圓心(－3，0)，r＝eq\r(13)，∴C1到直線AB的距離d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2)，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為5eq\r(2).(2)法一解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點(diǎn)A(－1，3)，B(－6，－2).設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則eq\r(（a＋1）2＋（a－4－3）2)＝eq\r(（a＋6）2＋（a－4＋2）2)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\f(89,2)).故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.思維升華(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).訓(xùn)練3求圓心在直線x－y－4＝0上，且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程.解法一設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圓心在直線x－y－4＝0上，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq\f(1,3).所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.法二由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3.))所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，－1)，B(3，3)，線段AB的垂直平分線所在的直線方程為y－