2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　空間向量基本定理 學(xué)案

§3空間向量基本定理及空間向量運算的坐標(biāo)表示3.1空間向量基本定理課標(biāo)要求理解空間向量基本定理及其意義并會簡單應(yīng)用.素養(yǎng)要求理解并應(yīng)用空間向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1.思考如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，在AB，AD，AA1上分別取單位向量e1，e2，e3.問題(1)e1，e2，e3共面嗎？(2)試用e1，e2，e3表示eq\o(AC,\s\up6(→))1.(3)若M為B1C1的中點，能否用e1，e2，e3表示eq\o(AM,\s\up6(→))？提示(1)不共面.(2)eq\o(AC,\s\up6(→))1＝4e1＋4e2＋4e3.(3)能，eq\o(AM,\s\up6(→))＝4e1＋2e2＋4e3.2.思考如圖，設(shè)a，b，c是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O，對于任意一個空間向量p＝eq\o(OP,\s\up6(→))，p能否用a，b，c表示呢？提示如圖，設(shè)eq\o(OQ,\s\up6(→))為eq\o(OP,\s\up6(→))在a，b所確定的平面上的投影向量，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→)).又向量eq\o(QP,\s\up6(→))，c共線，因此存在唯一的實數(shù)z，使得eq\o(QP,\s\up6(→))＝zc，從而eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋zc.在a，b確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OQ,\s\up6(→))＝xa＋yb.從而eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋zc＝xa＋yb＋zc.3.填空如果向量a，b，c是空間的三個不共面向量，p是空間任意一個向量，那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫作空間的一組基，a，b，c都叫作基向量.溫馨提醒(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一組基.基選定后，空間的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同.(2)由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個不共線的非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量.4.做一做(1)判斷正誤①空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示.(×)提示由空間向量基本定理可知，空間的任何一個向量都可用三個不共面的向量表示.②若{a，b，c}為空間的一組基，則a，b，c全不是零向量.(√)③如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基，則一定有a與b共線.(√)④任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一組基.(×)提示任何三個不共面的向量才可構(gòu)成空間的一組基，不共線的向量可能共面.(2)設(shè)向量a，b，c不共面，則下列集合可作為空間的一組基的是()A.{a－2b，3a－b，0} B.{a，b，a＋b}C.{3a＋b，a＋b，c} D.{a＋b＋c，a＋b，c}答案C解析A中由于0與任意兩個向量共面，不能作基；B中a，b，a＋b，三向量共面，不能作基；D中a＋b＋c＝(a＋b)＋c，故三向量共面，不能作基.

題型一對基的判斷例1已知{e1，e2，e3}是空間的一組基，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一組基.解假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，則存在實數(shù)λ，μ使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.∵e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1，))此方程組無解，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}可以作為空間的一組基.思維升華(1)判斷一組向量能否作為空間的一組基，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一組基.(2)判斷基時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷.訓(xùn)練1(多選)給出下列命題，其中是真命題的是()A.若{a，b，c}可以構(gòu)成空間的一組基，向量d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以構(gòu)成空間的一組基B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基C.已知A，B，M，N是空間中的四點，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一組基，則A，B，M，N四點共面D.已知{a，b，c}是空間的一組基，若m＝a＋c，則{a，b，m}不是空間的一組基答案ABC解析對A，假設(shè)向量d與a，b共面，則存在實數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，又向量d與c共線，c≠0，∴存在實數(shù)k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面，與條件矛盾，∴向量d與a，b不共面，即A是真命題.對B，根據(jù)基向量的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一組基，故B是真命題.對C，由eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一組基，知eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))共面，又eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))有公共點B，所以A，B，M，N四點共面，故C是真命題.對D，假設(shè){a，b，m}是空間的一組基，則不存在x，y滿足m＝xa＋yb，所以不存在x，y滿足a＋c＝xa＋yb，∵{a，b，c}是空間的一組基，∴不存在x，y滿足a＋c＝xa＋yb，∴假設(shè)成立，∴D是假命題.故選ABC.題型二用基表示空間向量例2如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c作為一組基，分別表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解連接BO，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－b－a＋c)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.思維升華用基表示向量的步驟(1)定基：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一組基.(2)找目標(biāo)：用確定的基(或已知基)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論：利用空間向量的一組基{a，b，c}可以表示出空間所有向量.結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.訓(xùn)練2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點.(1)用向量a，b，c作為一組基，表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求實數(shù)x，y，z的值.解(1)如圖，連接AC，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA,\s\up6(→))1＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c.(2)eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.題型三空間向量基本定理的應(yīng)用例3如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且|BE|＝eq\f(1,3)|BB1|，|DF|＝eq\f(2,3)|DD1|.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA,\s\up6(→))1，求x＋y＋z.(1)證明∵eq\o(AC,\s\up6(→))1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\f(2,3)eq\o(AA,\s\up6(→))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA,\s\up6(→))1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA,\s\up6(→))1))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))1，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，又它們有公共點A，∴A，E，C1，F(xiàn)四點共面.(2)解∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD,\s\up6(→))1－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB,\s\up6(→))1＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA,\s\up6(→))1，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA,\s\up6(→))1，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).思維升華解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(xAB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個不共線的向量來表示.訓(xùn)練3(1)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，請判斷向量eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))是否共線.(2)已知三點A，B，C不共線，對平面ABC外一點O，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，判斷點P是否與點A，B，C共面.解(1)設(shè)AC的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o