2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　分類加法計(jì)數(shù)原理 -　分步乘法計(jì)數(shù)原理 學(xué)案

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求1.通過(guò)實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.素養(yǎng)要求通過(guò)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).一、分類加法計(jì)數(shù)原理1.思考某全國(guó)人大代表明天要從濟(jì)南前往北京參加會(huì)議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是乘高鐵，假如這天飛機(jī)有3個(gè)航班可乘，高鐵有4個(gè)班次可乘，那么該代表從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？提示該代表共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選.2.填空分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法.(也稱“加法原理”)溫馨提醒(1)完成這件事的若干種方法可以分成n類；(2)每類方法都可以完成這件事，且類與類之間兩兩不交.3.做一做(1)從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為()A.6 B.5C.3 D.2答案B解析由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)不同的選法.(2)某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂(lè)新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有()A.24種 B.9種C.3種 D.26種答案B解析不同的雜志本數(shù)為4＋3＋2＝9，從其中任選一本閱讀，共有9種選法.二、分步乘法計(jì)數(shù)原理1.思考用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，……，B1，B2，……的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？提示編寫一個(gè)號(hào)碼要先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個(gè))不同的號(hào)碼.2.填空分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N＝m1·m2·…·mn種方法.(也稱“乘法原理”)溫馨提醒(1)完成一件事有多個(gè)步驟，缺一不可；(2)每一步都有若干種方法.3.做一做(1)現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學(xué)生參加評(píng)選會(huì)議，則不同的選法種數(shù)為()A.39 B.24C.15 D.16答案A解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再?gòu)?3名學(xué)生中任選1名，有13種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.(2)一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有__________種不同的取法.答案48解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×8＝48(種)不同的取法.題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.答案36解析法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).法二分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：個(gè)位數(shù)字是9，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，8中的一個(gè)，故共有8個(gè)；個(gè)位數(shù)字是8，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，7中的一個(gè)，故共有7個(gè)；同理，個(gè)位數(shù)字是7的有6個(gè)；……個(gè)位數(shù)字是2的有1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).遷移1(變條件)若本例條件變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè).解當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個(gè).同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個(gè)).遷移2(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))用1，2，3這3個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)________個(gè).答案15解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；第二類為兩位整數(shù)，有12，21，23，32，13，31，共6個(gè)；第三類為三位整數(shù)，有123，132，231，213，321，312，共6個(gè)，∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共可組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15(個(gè)).思維升華利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程訓(xùn)練1(1)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A.14 B.13C.12 D.10答案B解析由關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，得a＝0，b∈R或a≠0時(shí)，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1時(shí)，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝0時(shí)，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝1時(shí)，b＝－1，0，1，有3種可能；若a＝2時(shí)，b＝－1，0，有2種可能.∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.(2)設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，其中m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則滿足上述條件的橢圓個(gè)數(shù)為()A.20 B.24C.12 D.11答案A解析當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2，3，4，5，6，7，有6個(gè).當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3，4，5，6，7，有5個(gè).當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4，5，6，7，有4個(gè).當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5，6，7，有3個(gè).當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6，7，有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得6＋5＋4＋3＋2＝20(個(gè)).故選A.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)P(x，y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0，1，2，3}內(nèi)取值，則可以組成多少個(gè)不同的點(diǎn)P?解確定點(diǎn)P的坐標(biāo)必須分兩步：第一步，確定橫坐標(biāo)，從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有4種方法；第二步，確定縱坐標(biāo)，從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，也有4種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所有不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4×4＝16.故可以組成16個(gè)不同的點(diǎn)P.思維升華應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問(wèn)題：(1)明確要經(jīng)過(guò)幾步才能完成這件事.(2)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整.訓(xùn)練2(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18C.12 D.9答案B解析由題意可知E→F共有6條最短路徑，F(xiàn)→G共有3條最短路徑，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑，故選B.(2)從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的各項(xiàng)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有__________個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有__________個(gè).答案186解析一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為3×3×2＝18.當(dāng)b＝0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，故不同的偶函數(shù)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用例3現(xiàn)有高一年級(jí)的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法.所以共有不同的選法7＋8＋9＋10＝34(種).(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中任選一人當(dāng)組長(zhǎng).所以共有不同的選法7×8×9×10＝5040(種).(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法.所以共有不同的選法7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種).思維升華(1)在處理具體問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事.(2)對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們可以畫出示意圖或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、清晰.訓(xùn)練3(多選)某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且其所選的生物課在B層上，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個(gè)科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說(shuō)法正確的是()

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)答案BD解析由于生物在B層，只有第2，3節(jié)有，故分兩類：若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，其