第24講 圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問題（原卷版）

第24講圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】1．弦長(zhǎng)公式設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得;（2）若所在直線方程為，代入化簡(jiǎn)，得（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時(shí)，;（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為，判別式為，時(shí)，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單．（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．2.三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或圖4-6-2（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．證明：直線的方程為，到它的距離為，則四邊形或多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)（尤其是有平行條件的時(shí)候），可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計(jì)算量．特殊的，對(duì)角線互相垂直的四邊形，面積=對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半．面積的最值問題或者取值范圍問題：一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積，盡可能降低計(jì)算量．【題型目錄】題型一：求弦長(zhǎng)題型二：弦長(zhǎng)的范圍問題題型三：三角形四邊形面積問題題型四：三角形四邊形面積范圍問題【典型例題】題型一：求弦長(zhǎng)【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)1)，直線經(jīng)過且與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)求此時(shí)直線的方程；【例4】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過作兩直線交橢圓于四點(diǎn)，若，求證：為定值．【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．2．（2022·云南·巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓經(jīng)過點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).3．（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角60°的直線，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則______．題型二：弦長(zhǎng)的范圍問題【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若是上兩點(diǎn)，直線與圓相切，求的取值范圍．【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，，分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓E上.(1)求橢圓E的離心率；(2)過左焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，求取最大值時(shí)直線l的方程.【例3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，若橢圓的離心率為，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是_________【題型專練】1．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)（理））已知橢圓C：，圓O：，若圓O過橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點(diǎn)A，B，D，E，試求的取值范圍．2．（2022安徽高三開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．題型三：三角形四邊形面積問題【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與橢圓具有共同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在橢圓上，，______．在下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并作答．①橢圓過點(diǎn)；②橢圓的短軸長(zhǎng)為10；③橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的面積．【例2】（2022·廣東·開平市忠源紀(jì)念中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，，且右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過橢圓左焦點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積．【例3】（2022·湖南師大附中三模）若橢圓與橢圓滿足，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似”，相似比為m.如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，橢圓的離心率為，橢圓與橢圓相似比為.(1)求橢圓與橢圓的方程；(2)過橢圓左焦點(diǎn)F的直線l與、依次交于A、C、D、B四點(diǎn).①求證：無論直線l的傾斜角如何變化，恒有.②點(diǎn)M是橢圓上異于C、D的任意一點(diǎn)，記面積為，面積為，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：＋＝1，過A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求四邊形ABNM的面積.【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，由E的上?下頂點(diǎn)，左?右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形.(1)求E的方程；(2)過E的右焦點(diǎn)F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點(diǎn)A，B，C，D，若由點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形的面積是，求，的方程.【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、，且是線段的中點(diǎn)，是橢圓左焦點(diǎn)，求的面積．2．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數(shù)）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，直線與圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．5．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：離心率以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)且點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為求的面積．6．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，的左?右焦點(diǎn)分別為，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若的面積是，求直線的方程.題型四：三角形四邊形面積范圍問題【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)______，面積最大，并且最大值為______.記，當(dāng)面積最大時(shí)，_____﹐_______.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，______.【例2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求（O為原點(diǎn)）面積的最大值．【例3】（2022·浙江·溫嶺中學(xué)高二期末）已知橢圓，已知點(diǎn)，橢圓上有兩點(diǎn)，且在線段上，(1)求的最小值；(2)若是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線軸于點(diǎn)，求面積的取值范圍.【例4】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.【例5】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P，Q為橢圓C上任意兩點(diǎn)，且，若的周長(zhǎng)為8，面積的最大值為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C內(nèi)切于矩形ABCD（橢圓與矩形四條邊均相切），求矩形ABCD面積的最大值．【題型專練】1．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，且經(jīng)過點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)且交橢圓于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記的面積為S，求S的最大值.2．（2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習(xí)）已知橢圓的C：經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程：(2)過橢圓C上的點(diǎn)的直線l與x，y軸的交點(diǎn)分別為M和N，且，過原點(diǎn)O的直線m與t平行，且與C交于B，D兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值3．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，求面積的最大值．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，一動(dòng)圓過橢圓右焦點(diǎn)，且與直線相切．(1)求橢圓的方程及動(dòng)圓圓心軌跡的方程；(2)過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．5．（2022·山東·東營市第一中學(xué)高二期中）已知的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線（不與x軸重合）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作，垂足為D．