數(shù)理方程復(fù)習(xí)概要

數(shù)理方程復(fù)習(xí)綱要許志奮緒論：要點掌握兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類和化簡。練習(xí)：化以下方程為標(biāo)準(zhǔn)型：（提示：1，雙曲型不要寫成雙曲線；2，a12的系數(shù)；3，雙曲，橢圓，拋物型各怎樣作自變量變換）2u2u32u0（2）22u22u2u0（a為常數(shù)）（1）47aax2xyy2x2y2xy2u2u2u0（3）xy2yx22顛簸方程的初值問題與行波法：要點掌握以下幾個方面的問題（1）能夠推導(dǎo)并熟記一維顛簸方程的初值問題ua2ux,t0{ttxx(x),ut(x,0)(x)xu(x,0)解的D’Alembert公式：u(x,t)=1(xat)(x12at)2a

xat( )d，xat練習(xí)：P551.(1)（2）能夠運用齊次化原理求解以下初值問題utta2uxxf(x,t)x,t0{(x),ut(x,0)(x)xu(x,0)其解的表達式為：u(x,t)=1(xat)12(xat)2a練習(xí)：P55.4

xat1()dxat2a

txa(t)f(,)dd0xa(t)其次，關(guān)于半無界弦的振動問題，要能夠依據(jù)所給的定解條件，對自由項f(x,t)以及初始數(shù)據(jù)φ(x),ψ(x)作適合的奇延拓(u(0,t)=0)或偶延拓(ux(0,t)0)，進而推出其解的表達式。詳細(xì)賜教材P42P43頁。utta2uxxxt0x,t0練習(xí)：（i）u(x,0)sinx,ut(x,0)cosx0xu(0,t)0utta2uxxxt0x,t0（ii）u(x,0)sinx,ut(x,0)cosx0xux(0,t)0（3）還要注意只由端點所惹起的振動，其解為右行波的情況，即注及的情況。分別變量法:采納逐漸深入的步驟，知道以下三種狀況的辦理1）齊次方程齊，次界限條件。第一利用界限條件是確立特點函數(shù)系的，最后利用初始條件確立解的表達式中的常數(shù)的！utta2uxx0xl,t0練習(xí)u(0,t)u(l,t)0t0u(x,0)x,ut(x,0)(lx)0xl2）非其次方程，齊次界限條件。第一利用其所對應(yīng)的齊次方程，齊次界限條件來確立特點函數(shù)系，進而得其形式解u(x,t)Tn(t)sinnx或u(x,t)Tn(t)cosnxn1ln1l而后把自由項f(x,t)依據(jù)相應(yīng)的特點函數(shù)系睜開并代入到原方程中去，經(jīng)過比較系數(shù)確立Tn(t)。utta2uxxxt0xl,t0練習(xí)u(0,t)u(l,t)0t0u(x,0)x,ut(x,0)(lx)0xl（3）非其次方程，非齊次界限條件。第一要把界限條件化為齊次的，這要經(jīng)過適當(dāng)?shù)奈粗瘮?shù)代換。往常是令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),此中v(x,t)知足齊次界限條件，依據(jù)線性法簡單獲得w(x,t)。這樣把u的方程化為v的方程，它是齊次界限條件的。不然你沒法確立特點函數(shù)系。utta2uxx10xl,t0練習(xí)u(0,t)1t,u(l,t)0t0u(x,0)x,ut(x,0)(lx)0xl提示：在第三種情況下，要注意的一種穩(wěn)固的非齊次問題，即教材中的注，及例的解法，經(jīng)過一步函數(shù)代換，能夠?qū)⒎匠桃约敖缦迼l件同時化為齊次的！這也是常常要考察的內(nèi)容。調(diào)解方程與Green函數(shù)法：應(yīng)掌握以下幾個方面的知識點1）知道Green公式的推導(dǎo),而且能夠由Green公式借助Laplace方程的基本解推Green公式Laplac方程的基本解調(diào)解函數(shù)的基

導(dǎo)出調(diào)解函數(shù)的基本積分表達式二維三維(uvvu)dvu(uvvu)dVvu(uv)ds(uv)dSDCnnnnvln1ln1v1212r(xx0)2(yy0)2r2(xx0)(yy0)(zz0)u(x0,y0)1u(ln1)ln1uds111u(M)u(M0)u(M)( )dS2Cnrrn4nrMMrMMn本積分表達式（2）理解Green函數(shù)的意義及性質(zhì)，并知道半空間以及球面上的Green函數(shù)，能夠以此得出Dirichlet問題的解。（i）半空間uxxuyyuzz0z0，其111)，因三維Green函數(shù)為G(M,M0)(rM10Mu|z0f(x,y)4rM0M而可得出此方程解為u(M0)fG1z0f(x,y)dxdydS23n(xx0)2(yy0)2(zz0)22uxxuyy0y01(ln1ln1)，因此二維，其Green函數(shù)為G(M,M0)u|y0f(x)2rM0MrM1M可得出此方程解為u(x0,y0)1y02f(x)dx(xx0)2y0（ii）球域上的Green函數(shù)的作法uxxuyyuzzF(x,y,z)x2y2z2R2函數(shù)為三維，其其Greenu|x2y2z2R2f(x,y,z)G(M,M0)1(221420cos01其解的表達式P119（）

201

R)，20cosR4近似的能夠得出二維圓域上Laplace方程Dirichlet問題uxxuyy0x2y2R2u|x2y2R2f(x,y)的解為u(0,0)

1

2R220df( )222

0R02R0cos3）一般地區(qū)上Green函數(shù)的結(jié)構(gòu)，比如，四分之一平面，上半球面。4）調(diào)解函數(shù)的均勻值性質(zhì)。積分變換法：1）第一要知道傅里葉變換及其逆變換公式F( )f(t)eitdt與f(x)1F( )eixd212F[ebx24b，F(xiàn)[ex2/(4c2t)]2ctec22t（2）幾個重要公式，]( )2ebF1[1()sinat]1xat( )da2axatF1[

( )cos

at]

1((x

at)

(x

at))2(f*g