三十三　雙曲線方程及性質的應用

10三十三雙曲線方程及性質的應用【基礎必會練】1.直線y=k(x+2)與雙曲線x24-y2=1有且只有一個公共點,則k的取值個數為 (A.1個 B.2個C.3個 D.4個【解析】選D.由已知可得,雙曲線的漸近線方程為y=±12x,頂點(±2,0),而直線恒過(-2,0),故有兩條與漸近線平行,有兩條切線,共4條直線與雙曲線有一個交點2.雙曲線x2-y2=1右支上一點P(a,b)到直線l:y=x的距離d=2,則a+b= ()A.-12 B.C.12或-12 D【解析】選B.由題意可知a2-b2=1成立,且|a-b|2=2,解方程組可得a3.如果橢圓x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為32,那么雙曲線xA.52 B.54 C.2 D【解析】選A.由已知橢圓的離心率為32得a2-b2a2=34所以e2=a2+b2a所以雙曲線的離心率e=524.設F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1FA.3x±4y=0 B.4x±3y=0C.3x±5y=0 D.5x±4y=0【解析】選B.如圖,作F2Q⊥PF1于Q,因為|F1F2|=|PF2|,所以Q為PF1的中點,由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因為cos∠PF1F2=45所以F1QF1F2=cos即a+c2c=45所以3a2+b2=5a,得故雙曲線的漸近線方程為y=±43x即4x±3y=0.5.(多選題)已知點F(5,0)為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點,以點F為圓心,22為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點,若MF⊥A.|MN|=4B.雙曲線C的實軸長為4C.雙曲線C的漸近線方程為y=±12D.雙曲線C的離心率e=5【解析】選AD.以點F為圓心,22為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線的交點為M,N,若MF⊥NF,則圓F與漸近線相交所得弦長|MN|=2×22=4,所以A正確;因為焦點F到漸近線的距離為b,所以2b=22,得b=2,而c=5,所以a2=c2-b2=1,得a=1,所以雙曲線C的實軸長為2,B不正確;雙曲線C的漸近線方程為y=±2x,C不正確;離心率e=5,D正確.6.(多選題)已知雙曲線C的標準方程為x2-y24=1,則 (A.雙曲線C的離心率等于半焦距B.雙曲線y2-x24=1與雙曲線C.雙曲線C的一條漸近線被圓(x-1)2+y2=1截得的弦長為4D.直線y=kx+b與雙曲線C的公共點個數只可能為0,1,2【解析】選AD.因為a=1,所以e=ca=c雙曲線x2-y24=1的漸近線為y=±2x,雙曲線y2-x24=1的漸近線為y雙曲線C的一條漸近線為y=2x,即2x-y=0,圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),故弦心距為|2-0|4+1=2由直線與雙曲線的位置關系可知D正確.7.雙曲線x2-y23=1的左、右頂點分別為A,B,右支上有一點M,且kMA=1,則△MAB的面積為【解析】直線MA的方程為y=x+1,代入x2-y23=1,解得M(2,3),故S△MAB答案:38.已知定點A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,則另一個焦點F的軌跡是__________.

【解析】因為A,B兩點在以C,F為焦點的橢圓上,所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a,所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=122+92-122+(-5答案:以A,B為焦點的雙曲線的下半支9.已知兩定點F1(-2,0),F2(2,0),點P是曲線E上任意一點,且滿足條件||-||=2.(1)求曲線E的軌跡方程;(2)若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點A,B,求k的取值范圍.【解析】(1)由雙曲線的定義可知,曲線E是以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點的雙曲線的左支,且c=2,a=1,所以b=c2故曲線E的方程為x2-y2=1(x<0);(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意建立方程組y=kx-得(1-k2)x2+2kx-2=0,已知直線與雙曲線左支交于兩點A,B,有1解得-2<k<-1.故k的取值范圍為(-2,-1).10.雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點(5,12(1)求雙曲線C的標準方程;(2)直線l過點F2且與雙曲線C交于A,B兩點,且AB的中點的橫坐標為-25,求直線l的方程.【解析】(1)由題意有5a解得a=2因此,雙曲線C的標準方程為x24-y(2)由題意知,直線l的斜率存在,設點A(x1,y1),B(x2,y2).并設直線l的方程為y=k(x-5),聯立方程x2消去y整理得(1-4k2)x2+85k2x-(20k2+4)=0,x1+x2=85k2得k=±66因此,直線l的方程為y=±66(x-5)【能力進階練】11.如圖為陜西歷史博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與直線x=0,y=4,y=-2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體,若該金杯主體部分的上口外直徑為1033,下底外直徑為A.2 B.2 C.3 D.3【解析】選B.由題意可知M(533,4N(393,-2)則(533)

2a所以c=a2+b則雙曲線的離心率為e=ca=2312.(多選題)已知雙曲線C:x29-y216=1,過其右焦點F的直線l與雙曲線交于兩點A,B,則A.若A,B同在雙曲線的右支,則l的斜率大于4B.若A在雙曲線的右支,則|FA|最短長度為2C.|AB|的最短長度為32D.滿足|AB|=11的直線有4條【解析】選BD.易知雙曲線C的右焦點為F(5,0),設點A(x1,y1),B(x2,y2),設直線l的方程為x=my+5,當m≠0時,直線l的斜率為k=1m聯立x=消去x并整理得(16m2-9)y2+160my+256=0.則16m2-9≠0Δ對于A選項,當m=0時,直線l⊥x軸,則A,B兩點都在雙曲線的右支上,此時直線l的斜率不存在,A選項錯誤;對于B選項,|FA|min=c-a=5-3=2,B選項正確;對于C選項,當直線l與x軸重合時,|AB|=2a=6<323對于D選項,當直線l與x軸重合時,|AB|=2a=6≠11;當直線l與x軸不重合時,由根與系數的關系得y1+y2=-160m16m2-9,y由弦長公式可得|AB|=1+m2·|y1-y2|=1+m2·(y1解得m=±394或m=±51故滿足|AB|=11的直線有4條,D選項正確.13.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,O為原點.若A為線段【解析】由題意知,F(c,0),A(a,0),因為A為線段OF的中點,所以c=2a,而b=c2-a2=4a2-a2=3a,所以ba=3答案:y=±3x14.在平面直角坐標系Oxy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上一個動點,若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實數c的最大值為__________.

【解析】直線x-y+1=0與雙曲線的漸近線x-y=0平行,這兩條直線的距離為22,又點P為雙曲線右支上的一個動點,若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則c≤22,即實數c的最大值為答案:215.某中學在體育場召開田徑運動會,體育場是由一個長60m、寬40m的長方形及兩個以長方形寬為直徑的半圓(C1,C2分別為兩個半圓的圓心)相接組成的,整個體育場關于中軸線O1O2對稱,如圖所示:(1)若兩位同學分別在左右兩個半圓弧上的點A,B處值勤,則兩位同學在圓弧的什么位置時相距最遠,最遠距離為多少?請說明理由.(2)在體育場邊界上關于中軸線對稱的兩點C,D處分別放置兩個音響,為了檢驗會場音響的聽覺效果,在(1)的情況下(即兩位同學相距最遠時),在A點的同學測得兩個音響傳來的聲音時間相差317s,求此時音響到中軸線的距離CO1.【解析】(1)最遠距離為100m.理由:連接AB,AC1,BC2,C1C2,由題意,得|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|C2B|=20+60+20=100.當A,C1,C2,B四點共線時,A,B兩點間的距離最大,此時A,B兩點分別在兩圓弧的中點,且其距離為100m.(2)以CD所在的直線為x軸,以中軸線O1O2為y軸建立平面直角坐標系,則A(-50,-20),B(50,-20).根據題意,得||AD|-|AC||=317×340=60所以A點在以C,D為焦點的雙曲線上,且實軸長2a=60,即a=30.不妨設該雙曲線方程為x2a2則2500900-400b2所以c2=a2+b2=900+225=1125,解得c=155,故音響到中軸線的距離為155m.【創(chuàng)新拓展練】16.直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A,B兩點,直線l過點P(-2,0)和線段AB的中點M,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.【解析】由y=kx+1,x得(k2-1)x2+2kx+2=0.①設直線m與雙曲線左支的兩個交點的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),所以方程①有兩個不相等的負實數根.所以Δ解得1<k<2.設M(x