初中數(shù)學：二次函數(shù)商品利潤最大問題專練

【例一】最近，某市出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加。某農戶生產經銷一種農副產品，已知這種產品的成本價為20元每千克。經市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品每天的銷售量w（千克）與銷售量x（元）有如下的關系：w=-2x+80。設這種產品每天的銷售利潤為y（元）。（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；解：y=（x-20）w

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x-1600，

∴y與x的函數(shù)關系式為：

y=-2x2+120x-1600；

（2）當銷售價定為多少元每千克時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：y=-2x2+120x-1600

=-2（x-30）2+200，

∴當x=30時，y有最大值200，

∴當銷售價定為30元/千克時，每天可獲最大銷售利潤200元；（3）如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不得高于28元每千克，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少？解：當y=150時，可得方程：

-2（x-30）2+200=150，

解這個方程，得

x1=25，x2=35，（8分）

根據(jù)題意，x2=35不合題意，應舍去，

∴當銷售價定為25元/千克時，該農戶每天可獲得銷售利潤150元．

【例二】與某雪糕廠由于季節(jié)性因素，一年之中產品銷售有淡季和旺季，當某月產品無利潤時就停產。經調查分析，該廠每月獲得的利潤y（萬元）和月份x之間滿足函數(shù)關系式，已知3月份、4月份的利潤分別是9萬元、16萬元。（1）該廠每月獲得的利潤y（萬元）和月份x之間的函數(shù)關系式；解：把點（3，9），（4，16）代入函數(shù)關系式：

解得：a=14；b=-24

∴y=-x2+14x-24（2）該廠在第幾個月份獲得最大利潤？最大利潤為多少？解：當時，y最大=25∴7月份獲得最大利潤，最大利潤是25萬元．

（3）該廠一年中應停產的是哪幾個月份？通過計算說明。解：當y=0時，有方程：x2-14x+24=0

解得：x1=2，x2=12．

所以第二月和第十二月份無利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質，第一月份的利潤為負數(shù)，因此一年中應停產的是第一月份，第二月份和第十二月份．

【例三】某旅館有30個房間供旅客住宿。據(jù)測算，若每個房間的定價為60元/天，房間將會住滿；若每個房間的定價每增加5元/天，就會有一個房間空閑。該旅館對旅客住宿的房間每間要支出各種費用20元/天（沒住宿的不支出）。當房價定為每天多少時，該旅館的利潤最大？解：設每天的房價為60+5x元，

則有x個房間空閑，已住宿了30-x個房間．

∴度假村的利潤y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．

∴y=（30-x）?5?（8+x）

=5（240+22x-x2）

=-5（x-11）2+1805．

因此，當x=11時，y取得最大值1805元，

即每天房價定為115元∕間時，度假村的利潤最大。

【例四】某技術開發(fā)公司研制出一種新型產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買這種新型產品，公司決定商家一次性購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次性購買該種產品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元。（1）商家一次購買這種產品多少，銷售單價恰好為2600元？解：設件數(shù)為x，依題意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，

答：商家一次購買這種產品50件，銷售單價恰好為2600元；（2）設商家一次購買這種產品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤為y元，求y（元）與x（元）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；解：當0≤x≤10時，y=（3000-2400）x=600x，

當10＜x≤50時，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x2+700x

當x＞50時，y=（2600-2400）x=200x∴函數(shù)關系式為：y=600x(0≤x≤10)且x為整數(shù)y═-10x2+700x(10＜x≤50)且x為整數(shù)（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當商家一次性購買產品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，，會出現(xiàn)隨著一次購買數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況。為使商家一次購買的數(shù)量越來越多，公司所獲的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少元？（其他銷售條件不變）解：由y=-10x2+700x可知拋物線開口向下，當x=35時，利潤y有最大值，

此時，銷售單價為3000-10（x-10）=2750元，

答：公司應將最低銷售單價調整為2750元．

【例五】在長株潭建設兩型社會的過程中。為推進節(jié)能減排，發(fā)展低碳經濟，我市某公司以25萬元購得某項節(jié)能產品的生產技術后，再投入100萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工。已知生產這種產品的成本價為每件20元。經過市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品的銷售單價定為25元到30元之間較為合理，并且該產品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式為：。（年獲利=年銷售收入-生產成本-投資成本）（1）當銷售單價定為28元時，該產品年銷售量為多少萬件？解：∵25＜28＜30，y=40-x(25≤x≤30)

25-0.5x(30＜x≤35)∴把x=28代入y=40-x得，∴y=12（萬件），

答：當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為12萬件；（2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（件）之間的函數(shù)關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利,最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？解：①當

25≤x≤30時，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，

故當x=30時，W最大為-25，即公司最少虧損25萬；

②當30＜x≤35時，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100=-1/2x2+35x-625=-1/2（x-35）2-12.5故當x=35時，W最大為-12.5，即公司最少虧損12.5萬；

對比①，②得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；

答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項捐款由兩部分組成：一部分是10萬元的固定捐款；另一部分則是每銷售一件產品，就抽出一元作為捐款。若出去第一年的最大獲利（或是最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請你確定此時銷售單價的單位。解：①當

25≤x≤30時，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5，-x2+61x-862.5≥67.5，

化簡得：x2-61x+930≤0

解得：30≤x≤31，

當兩年的總盈利不低于67.5萬元時，x=30；

②當30＜x≤35時，W=（