授課提綱20-動(dòng)能定理

授課提綱20-動(dòng)能定理§6.剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨任選基點(diǎn)的平動(dòng)和繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。這里，以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C為基點(diǎn)，則隨質(zhì)心C的平動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)用相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，即得剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程：其投影式為：或：應(yīng)用動(dòng)量矩定理時(shí)○一般情形下，應(yīng)該以定點(diǎn)、定軸或質(zhì)心(平移系)為矩心，或取矩軸；若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)心與速度瞬心間的距離始終保持不變，則可以瞬心為矩心建立動(dòng)量矩定理?！饎?dòng)量矩定理主要應(yīng)用于分析具有轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。○對(duì)于定軸問(wèn)題，系統(tǒng)各部分對(duì)定軸的角速度必須是同一慣性參考系中的角速度，也就是絕對(duì)角速度?！鹩?jì)算動(dòng)量矩以及外力矩時(shí)，都要采用相同的正負(fù)號(hào)規(guī)則——右手定則?！蹩偨Y(jié)一、常力的功FM1M2Sαα是力F與位移之間的夾角。功的單位為焦耳（J），1J=1Nm★力的功定義二、變力的元功M1M2MFdsdryoxzr將F與dr投影到直角坐標(biāo)軸上：在一無(wú)限小位移中力所做的功稱為元功，以表示力在曲線路程中作功為（自然形式表達(dá)式）（矢量式）（直角坐標(biāo)表達(dá)式）M1M2MFdsdryoxzr質(zhì)點(diǎn)M受n個(gè)力作用合力為則合力的功即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。3.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力的功剛體平動(dòng)時(shí):剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí):當(dāng)Mz為常力偶矩時(shí)，有:

當(dāng)力偶矩與轉(zhuǎn)角同向時(shí)作正功，異向時(shí)作負(fù)功。剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí):剛體的平面運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心C的平動(dòng)與繞通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)剛體上力的功，等于力向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的力和力偶作功之和(計(jì)算方法)。

重力的功與路徑無(wú)關(guān)，而只與物體的始末位置有關(guān).★重力的功質(zhì)點(diǎn)沿軌跡由M1運(yùn)動(dòng)M2到，其重力在直角坐標(biāo)軸上的投影為

M1（x1，y1，z1）

M2（x2，y2，z2）

yoxzM（x，y，z）

P對(duì)于質(zhì)系:

重力的功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。由此可得

由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有M1（x1，y1，z1）

M2（x2，y2，z2）

yoxzM（x，y，z）

P)(2112CCzzmgW-=?(2)、彈性力的功F彈性力的功也與路徑無(wú)關(guān)萬(wàn)有引力定律為:則，萬(wàn)有引力的功為:★萬(wàn)有引力的功剛體：變形體：(3)、內(nèi)力的功光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、剛性連接，等約束的約束力作功等于零。(4)、約束力的功約束力作功等于零的約束為理想約束。正壓力N，摩擦力F作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功摩擦力的功(1)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功N=常量時(shí),W=–f′NS,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。OvOC*FN★質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能(kineticenergy)是度量質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)效應(yīng)的特征量之一。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能1)平移剛體的動(dòng)能——?jiǎng)傮w各點(diǎn)的速度相同，可以用質(zhì)心的速度表示

平移剛體的動(dòng)能相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能?！镔|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)于定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度平方乘積的一半。當(dāng)剛體繞固定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)的速度為★質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為繞通過(guò)速度瞬心并與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)能可寫為3)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體跟隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心平移系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。

例：動(dòng)能計(jì)算一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理§12-2動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)上合力的元功

質(zhì)點(diǎn)從某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置，其動(dòng)能改變量等于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力所作之功二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部主動(dòng)力和非理想約束力所作的元功的和。

例：兩均質(zhì)圓輪如圖所示，在重物C的作用下，輪A與水平面間只滾不滑，求重物C由靜止開始下降了距離h時(shí)A輪質(zhì)心的加速度aA。CABm1，r1m2，r2m3解：①研究整體，不要拆開；②只畫主動(dòng)力，不畫約束反力；③根據(jù)各部分的運(yùn)動(dòng)形式，寫出系統(tǒng)初始和末了的動(dòng)能T1和T2；m1g

m3g

m2g

系統(tǒng)初始靜止，PωAωBv3將動(dòng)能整理成同一個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的函數(shù)，即建立各運(yùn)動(dòng)參數(shù)間的關(guān)系：④計(jì)算系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功；⑤代入動(dòng)能定理：此式即可求出vA，要求加速度aA，直接將此式對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)即可：而∴即為所求輪心A的加速度。討論：等效質(zhì)量等效力動(dòng)能定理的最后表達(dá)式一般為：求一階導(dǎo)數(shù)后即為加速度，一般具有如下形式：作業(yè)：12-2，3§4.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用4、動(dòng)能定理涉及系統(tǒng)的始末位置，不涉及約束反力。5、注意綜合應(yīng)用。一、正確掌握各定理特征：1、動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理只涉及系統(tǒng)的外力，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)；2、動(dòng)量定理揭示質(zhì)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),反映系統(tǒng)移動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì);3、動(dòng)量矩定理反映系統(tǒng)繞某定點(diǎn)或某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)；二、根據(jù)題目的要求，聯(lián)系各定理的特征，決定所采用的方法：1、如果給出了系統(tǒng)的始末位置，求v、ω、a、ε，而不涉及約束反力時(shí)，用動(dòng)能定理；（若涉及反力，也可先由動(dòng)能定理求出v、ω、a、ε，后用其他方法求反力）2、求反力或繩子內(nèi)力用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；3、對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體可用動(dòng)量矩定理或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程；4、對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程；C

求：1、圓輪滾動(dòng)到任意位置時(shí)，質(zhì)心的加速度；2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動(dòng)所需要的最小摩擦因數(shù)。CCCCCCC半徑為r的均質(zhì)圓輪，在傾角的斜面上，從靜止開始向下作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。練習(xí)題：

解：受力分析

CW＝mgFN1、圓輪質(zhì)心加速度:W＝mg－圓輪所受重力；F－滑動(dòng)摩擦力；

FN－斜