第5章偏微分方程數(shù)值解

第5章

偏微分方程數(shù)值解

5.1問題的提出

5.2基本離散化公式

5.3幾種常見方程的離散化計(jì)算

5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程求解實(shí)例

總目錄5.1問題的提出包含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程。從實(shí)際問題中歸納出來的常用偏微分方程可分為三大類：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程?？紤]一個(gè)動(dòng)態(tài)的傳熱過程，且不忽略縱向的熱傳導(dǎo)，就可以得到以下的偏微分方程：總目錄本章目錄5.15.25.35.4以三維空間為例，我們將離散化的應(yīng)變量表示成，它所表示的真正含義如下:對(duì)于一階偏導(dǎo)利用歐拉公式直接得出向前歐拉公式：時(shí)間的向后歐拉公式如下：5.2基本離散化公式總目錄本章目錄5.15.25.35.4以3對(duì)于二階偏導(dǎo)，我們可以通過對(duì)泰勒展開式處理技術(shù)得到下面離散化計(jì)算公式：5.2基本離散化公式總目錄本章目錄5.15.25.35.41、

波動(dòng)方程其中：為初值條件為邊值條件

5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算當(dāng)該波動(dòng)方程只提初值條件時(shí)，稱此方程為波動(dòng)方程的初值問題，二者均提時(shí)，稱為波動(dòng)方程的混合問題?？偰夸洷菊履夸?.15.25.35.4xt0(a)初值問題tx0l(b)混合問題5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算圖5-1初值問題和混合問題的定義域根據(jù)5.2節(jié)提供的公式，將上面波動(dòng)方程離散化，得到：處理后得：（5-1）（5-2）總目錄本章目錄5.15.25.35.45.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算同時(shí)將邊界條件和初始條件也離散化，得到：（5-3）由式（5-2），并結(jié)合式（5-3），就可以從n時(shí)刻的各點(diǎn)u值，計(jì)算得到下一時(shí)刻的u值，這樣層層遞推，就可以計(jì)算出任意時(shí)刻，任意位置的u值。x圖5-2層層遞推的計(jì)算過程總目錄本章目錄5.15.25.35.45.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算

實(shí)例例5.1：用數(shù)值法求解下面偏微分方程，并寫出VB程序。解：將所求的方程離散化，先假設(shè)以下各式：代入并化簡(jiǎn)得：(計(jì)算實(shí)例VB程序見課本)（5-4）總目錄本章目錄5.15.25.35.42、一維流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的混合問題一維流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的混合問題：利用5.2節(jié)中的離散化公式進(jìn)行離散化，得到其離散化公式：5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算總目錄本章目錄5.15.25.35.45.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算將上式進(jìn)行處理得到：（5-5）偏微分方程在點(diǎn)上進(jìn)行離散化，且對(duì)時(shí)間的偏微分采用向后歐拉公式得到原偏微分方程的離散化公式：（i=1,2….m）圖5-4隱式格式的計(jì)算過程ab總目錄本章目錄5.15.25.35.45.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算

例5.2請(qǐng)計(jì)算考慮縱向?qū)岬奶坠軗Q熱器內(nèi)管各點(diǎn)溫度分布微分方程：解：首先根據(jù)前面的知識(shí)，將所求的方程離散化，先假設(shè)以下各式：代入微分方程并化簡(jiǎn)得：（5-6）(計(jì)算實(shí)例VB程序見課本)總目錄本章目錄5.15.25.35.43、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程

利用化工知識(shí)，我們可以得到下面二維、三維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分方程：二維：三維：二維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分方程又稱調(diào)和方程，其方程示意圖見圖5-4所示。常見有三種邊界條件：第一類邊界條件：

第二類邊界條件：

第三類邊界條件：圖5-4方程示意圖5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算總目錄本章目錄5.15.25.35.4例下面介紹3種迭代格式：(1)同步迭代：(2)異步迭代：(3)超松弛迭代：

當(dāng)計(jì)算范圍R為矩陣區(qū)域，x方向m等分，y方向n等分，那么最佳松弛因子：

5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算總目錄本章目錄5.15.25.35.45.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算

實(shí)例例5.3：處于傳熱平衡狀態(tài)的某保溫，假設(shè)其形狀為長(zhǎng)方體，在x，y兩個(gè)方向上存在熱傳導(dǎo)，且導(dǎo)熱系數(shù)相等，已知邊界溫度分布如下圖所示：1xy10(1,1)試列出其傳熱微分方程，并求出各點(diǎn)的溫度分布（間隔以），并畫出溫度分布圖。圖5-8邊界溫度分布總目錄本章目錄5.15.25.35.4[+（）]－[＋]=05.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算

實(shí)例解：取某一微元進(jìn)行能量衡算，由于已達(dá)傳熱平衡狀態(tài)，故可得傳導(dǎo)入熱量-傳導(dǎo)出熱量=0圖5-9導(dǎo)熱分析化簡(jiǎn)得：(計(jì)算實(shí)例VB程序見課本)總目錄本章目錄5.15.25.35.4計(jì)算結(jié)果：

x

y00.20.40.60.81.003040.873.2127.2202.83000.284104.53134.89178.09234.133000.4138158.45183.73216.13255.653000.6192207.54225.46247.06272.343000.8246254.26263.5274.3286.663001.03003003003003003005.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算

實(shí)例總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程求解實(shí)例5.4.1基本設(shè)定及假設(shè)

5.4.2流體傳熱模型的建立

5.4.3吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立

5.4.4吸附器壁面溫度軸向分布方程

5.4.5吸附器內(nèi)/外無因子化方程5.4.6模型的離散化

5.4.7模型的數(shù)值求解及計(jì)算機(jī)程序介紹總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.1基本設(shè)定及假設(shè)1.吸附器結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)定2.吸附床外流體傳熱的一些基本假設(shè)：(1)忽略流體在環(huán)隙寬度δ上的溫度梯度；(2)忽略熱損失；(3)忽略吸附器壁厚δb上的溫度梯度，用集中參數(shù)法求取吸附器壁面溫度。圖5-11吸附器結(jié)構(gòu)示意圖總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.1基本設(shè)定及假設(shè)３.吸附床內(nèi)傳熱傳質(zhì)的一些基本假設(shè):(1)吸附床內(nèi)的吸附質(zhì)氣體處于氣滯狀態(tài)；(2)忽略蒸發(fā)器、冷凝器和吸附床之間的壓力差；(3)吸附床內(nèi)各計(jì)算微元內(nèi)達(dá)到吸附平衡。吸附量可利用回歸方程計(jì)算；(4)吸附熱利用微分吸附熱，隨吸附量和吸附溫度的改變而改變；熱采用有效比熱，亦隨溫度改變，但在計(jì)算微元內(nèi)，可認(rèn)為是常數(shù)；(5)床層活性炭導(dǎo)熱系數(shù)采用當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，其具體數(shù)值利用實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。

總目錄本章目錄5.15.25.35.4在軸方向上取一環(huán)隙微元，見圖，作能量分析如下：(1)流體通過流動(dòng)流入環(huán)隙微元的能量其中

f

為流體的密度uf

為環(huán)隙的流體速度，

Sf為環(huán)隙的橫截面積，Cpf

為流體的比熱。(2)流體通過流動(dòng)流出環(huán)隙微元的能量圖5-12流體傳熱微元模型

5.4.2流體傳熱模型的建立總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.2流體傳熱模型的建立(3)流體熱傳導(dǎo)在x

處的熱量導(dǎo)入(4)流體熱傳導(dǎo)在x+

x處的熱量導(dǎo)入(5)微元體傳遞給吸附床的熱量qt

總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.2流體傳熱模型的建立(6)微元體內(nèi)的能量變化率(7)總能量平衡方程其中，

為流體的橫截面積?？偰夸洷菊履夸?.15.25.35.4吸附床內(nèi)的熱量傳遞主要以熱傳導(dǎo)為主，既有經(jīng)向的熱傳導(dǎo)，也有軸向的熱傳導(dǎo)，為了便于建模分析，我們選取如圖5-8的吸附床微元體，具體分析如下：(1)軸向熱量導(dǎo)入5.4.3吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立

圖5-13吸附床內(nèi)傳熱傳質(zhì)微元體x+

x

r

r+

r

xx總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.3吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立(2)軸向熱量導(dǎo)出

(3)徑向熱量導(dǎo)入(4)徑向熱量導(dǎo)出

總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.3吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立(5)微元體內(nèi)的能量變化率其中，為吸附床層內(nèi)的有效比熱。(6)總能量平衡方程

其中

總目錄本章目錄5.15.25.35.4和前面的分析方法一樣，通過微元能量平衡方程并作適當(dāng)化簡(jiǎn)可得：

其中為吸附器壁面的橫截面積。

5.4.4吸附器壁面溫度軸向分布方程總目錄本章目錄5.15.25.35.4對(duì)變量作以下無因子化處理：5.4.5吸附器內(nèi)/外無因子化方程通過以上的無因子化處理，可得吸附器內(nèi)、外無因子化傳熱傳質(zhì)方程如下：（5-7）（5-8）（5-9）總目錄本章目錄5.15.25.35.45.4.5吸附器內(nèi)/外無因子化方程其中：初始條件為邊界條件總目錄本章目錄5.15.25.35.4對(duì)前面偏微分方程作以下離散化處理：

5.4.6

模型的離散化總目錄本章目錄5.15.25.35.4將以上的離散化表達(dá)式代入方程(5-7)～(5-9)，可得：5.4.6

模型的離散化對(duì)初始條件及邊界條件亦作以下離散化處理：（5-10）（5-11）（5-12）總目錄本章目錄5.15.25.3