第五節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題講義（原卷版）

第五節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題考點(diǎn)梳理至少含有一個(gè)參變量的函數(shù)不等式恒（能）成立，求參數(shù)范圍問(wèn)題，一直以來(lái)是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).該題型靈活多變,綜合性強(qiáng)，常作為壓軸題顯現(xiàn).其常見(jiàn)解法主要有：分類(lèi)討論法（或直接求最值法）、分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法(作差法構(gòu)造或同構(gòu)法構(gòu)造）.例題分析方法一、分類(lèi)討論法（或直接求最值法）：在函數(shù)不等式恒（能）成立問(wèn)題中，有些是不能分離參數(shù)的.有些雖能分離參數(shù)，但分離后的函數(shù)不存在最值或端點(diǎn)值.這時(shí)我們只能放棄分離參數(shù)，采用直接求導(dǎo)、然后對(duì)變量或參變量分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值和最值進(jìn)行求解.例1、若對(duì)于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．點(diǎn)睛：有些恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)后的函數(shù)不存在最值或端點(diǎn)值.這時(shí)我們采用直接求導(dǎo)、然后對(duì)變量或參變量分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值和最值進(jìn)行求解.例2、（2023·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，為實(shí)數(shù)，不等式在上恒成立，則的最小值為（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1點(diǎn)睛：嘗試在中直接分類(lèi)討論，分理出能否求解？可以發(fā)現(xiàn)，此路不通.可見(jiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的復(fù)雜性和解法的多樣性.我們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中，一定要放開(kāi)思路，勇于探索，才能取得較好的效果.例3、（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.（1）若，求的最值；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例4、（2023秋·寧夏銀川一中高三?？迹┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.例5、（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)的方法一是分類(lèi)討論法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但這是解決此類(lèi)問(wèn)題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求解，是本題的最優(yōu)解法.方法二、分離參數(shù)法：先通過(guò)分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或）在上恒成立，若函數(shù)在區(qū)間上有最值（無(wú)最值時(shí)考慮端點(diǎn)值），則（1）恒成立問(wèn)題：，；，；（2）恒成立問(wèn)題：；；（3）能成立問(wèn)題：，；，.（4）能成立問(wèn)題：；.例6、已知函數(shù)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C．D．例7、（2023深圳寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處存在極值，求的值，并求出此時(shí)函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.點(diǎn)睛：本題利用，將另一參數(shù)轉(zhuǎn)化為了，這種逆向思維很關(guān)鍵啊!例8、（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．方法三、構(gòu)造函數(shù)法：1、同構(gòu)法構(gòu)造：對(duì)于等式左右兩邊結(jié)構(gòu)特征相同的問(wèn)題可利用“同構(gòu)法”構(gòu)造新函數(shù)求解（主要是“指數(shù)”“對(duì)數(shù)”同構(gòu)型函數(shù)問(wèn)題），其常見(jiàn)形式有：（1）積型：的三種構(gòu)造形式：①型，構(gòu)建函數(shù)；②型，構(gòu)建函數(shù)；③型，構(gòu)建函數(shù).（2）商型：的三種構(gòu)造形式為：①型，構(gòu)建函數(shù)；②型，構(gòu)建函數(shù)；③型，構(gòu)建函數(shù).2、作差法構(gòu)造：（1）對(duì)于含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，則只需.（2）對(duì)于含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，則只需.例9、（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例10、（2023秋·廣東中山·高三校考）對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B． C． D．例11、（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若恒成立，