八上幾何培優(yōu)

DECFDECF第1講全等三角形的性質與判定1．能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2．全等三角形性質：①全等三角形對應邊相等，對應角相等；②全等三角形對應高、角平分線、中線相等；③全等三角形對應周長相等，面積相等；4．證明兩個三角形全等的關鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具體分析步驟是先要添加輔助線構造全等三角形，構造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉、等倍延長線中線、截取等等.A．5對B．4對C．3對D．2對AA種逐步推進的方法常用到.BB在△ABC和△DCB中⑵在△ABE和△DCE中〈EF=EF【變式題組】01．下列判斷中錯誤的是()A．有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等B．有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等D．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等ABECDABECD為真命題，并加以證明.CBDBEAEF (選擇“真”或“假”填入空格).ADOEFBC【例2】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求證：AF＝DE.和△DEF中，因而只需證明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們全等的條件.證明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CFAD∴△ABE≌△DCF(SSS)∴∠B＝∠CCEFB在△ABF和△DCE中,〈|【變式題組】ADBEABCOBOACBCCDAO()EEODCB第1題圖AAAACFBDFB(E)CDDAACFBDFB(E)CDDAGECFBBBDCFEA⑴當△DEF旋轉至如圖②位置，點B(E)、C、D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關系是________________;⑵當△DEF繼續(xù)旋轉至如圖③位置時，⑴中的結論成立嗎？請說明理由_____________.AAFOB(E)DC【解法指導】⑴∠AFD＝∠DCA∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC(|AB=DE在△ABF和△DEC中,〈|∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA【變式題組】AB點P處.若∠CDE＝48°，則∠APD等于()02．如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，下列結論中錯誤的是()A．△ABC≌△DEFB．∠DEF＝90°CCDEAPB【變式題組】F、C、D在同一條直線上.⑵若PB＝BC，找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并證明.AAAEMBDBFNDCCEF【解法指導】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察，證AP＝AQ,也就是證△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知條件BP＝AC，CQ＝AB，應該證△APB≌△QAC，已具備AAPEDF2C1BEBECFDCFMN75°45°ACBAAAMN75°45°ACBAAA/CPBODBC題圖BDAE02．如圖，在一個房間內有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時梯子的傾斜m傾斜角為45°，這間房子的寬度是()22CC03．如圖，已知五邊形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，則五邊形ABCDE的面積為__________01．(海南)已知圖中的兩個三角形全等，則∠α度數(shù)是()acacb02．如圖，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，則∠ACA/的度數(shù)是()1CDCD長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線OP，由作法得△OCP≌2△ODP的根據(jù)是()04．(江西)如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是()A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°AA1CEADDNEBCMADCBB205．有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，將它們的一個銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當A、B、D不在一條直線上時，下面的結論不正確的是()A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDDABFODCEECAECDDABFODCEECAECD第7題圖A第8題圖B第9題圖EBDAFDBCABCEBD°D.AC∥BEA.小華、小明都對B.小華、小明都不對C.小華對、小明不對D.小華不對、小明對數(shù)為_______.EAAECBPBQDCAAP.CBQDFFEACDB形，并選取其中一對加以證明.CCCEBAB1CA1DD1DAC1CEBAB1CA1DD1DAC1⑴找出圖中的全等三角形，并加以證明；DCElBEABFF對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等；對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證明它們全等(證明略)；對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；BC你將下列證明過程補充完整)BB⑵歸納與敘述：由⑴可得一個正確結論，請你寫出這個結論.ABCECDAEFABCECDAEF延長交BC于點D，則圖中全等三角形有()A．4對B．5對C．6對D．7對EEFODADAED1FDFE32BBCOCBBCMMABNC2FAOB，正確的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③A．DCB.BCC.ABD.AE＋AC04．下面有四個命題，其中真命題是()A．兩個三角形有兩邊及一角對應相等，這兩個三角形全等B．兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等C.有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等D.兩邊和第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等結論：①∠1＝∠2；②BE＝CF;③△ACN≌△ABM;④CD＝DB，其中正確的結論有___________.(填序⑵若把條件“BF＝AC”和結論“BE⊥AC”互換，這個命題成立嗎？證明你的判定.BBABEDCCCCBEAD10．(沈陽)將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝DBEB，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出(1)中結論是否仍然成立；為(1)中結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時AF、EF與DE之間的關系，BBBBBEEFACACCFFACACCFDDCBCAADCDCE倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角E形中.AAFEFBCDBC⑶問題拓展：如圖，在四邊形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，EFBECFEF的數(shù)量關系，并加以證明.AEBFEBCDABEMDFABEMDFCDEGAH12．如圖，已知△ABC.DAE積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；ABCEBBCAD、DC(或它們的延長線)于E、F.AAEBMCFNDEF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明.AABDEFNMC第2講角平分線的性質與判定1．角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.2．角平分線的判定定理：角的內角到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.3．有角平分線時常常通過下列幾種情況構造全等三角形.的△OBD與△OAD全等即可.證明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2D【變式題組】OB12M34PNADMMCPABNAMPDNBC12＝120°，求∠B的度數(shù)【解法指導【解法指導】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，聯(lián)想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AFD12EB60°.或者在AE上截取AM＝AD從而構造全等三角形.EB在Rt△CFA和Rt△CEA中，〈∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AEAC=AC12CEBCFDCEBCFDA∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【變式題組】FD12CEBADB條件時，有∠B＋∠D＝180°，請畫圖并證明你的結論.【例3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求證：CE＝BD2BEABCDBCCE構造全等三角形.∴△BEF≌△BEC(ASA)2∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝AED32D32CBC12【變式題組】DCEDABEDFAC()113202．如圖，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四個結論：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正確的結論個數(shù)有()個PR＝PS，下列結論：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正確的是()BAAEBARAPPDBDCEFB第1題圖CEAQSCBDCCB第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖④∠BDE＝∠CDF.其中正確的是()A．②③B．②④C．②③④D．①②③④則∠AEB的度數(shù)為()①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④點P是△ABC三條角平分線的交點.其中正確的序號是()A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④07．如圖，點P是△ABC兩個外角平分線的交點，則下列說法中不正確的是()A．點P到△ABC三邊的距離相等B．點P在∠ABC的平分線上1122AAEAKDADAPFPEQNBECBCFBCECDBBCM第6題圖第7題圖第8題圖第9題圖第10題圖等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正確的個數(shù)是()A．1個B．2個C．3個D．4個∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正確的個數(shù)有()A．3個B．2個C．1個D．4個ACBQQBCACEDBAFCAEOFBDC則可選擇的地址有()A．一處B．二處C．三處D．四處B距離為()DBcmADcmDPxcmx的范圍是__________lCAEBABl1Fl2lCDPFl2lC3APBGDCD第1題圖第3題圖第4題圖第5題圖__________的距離等于__________1求證：∠G＝(∠ACB－∠B)2AAPEPFDDCG07．如圖,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分線,P為AC上任意一點.求證:AB－AC＞DB－DCAPPBDCAQBPC第3講軸對稱及軸對稱變換軸對稱，這條直線叫對稱軸.軸上.2．線段垂直平分線平分.性質定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.3．當已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高(或垂線)、或求幾條折線段的最小值等情況時，通?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件.【例1】如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙片展開后是()【解法指導】對折問題即是軸對稱問題，折痕就是對稱軸.故選D.【變式題組】01．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后鋪平，得到的圖形是()形為()【例2】如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移兩個單位長度得到△A’B’C’，則與點點B’關于x軸對稱的點的坐標是()【解法指導】在△ABC中，點B的坐標為(－1，1)，將△ABC向右平移兩個單位長度得到△A’B’C’，由點的坐標平移規(guī)律可得B’(－1＋2，1)，即B’(1，1).由關于x軸對稱的點的坐標的規(guī)律可得點B’關于x軸對稱的點的坐標是(1，－【變式題組】01．若點P(－2，3)與點Q(a，b)關于x軸對稱，則a、b的值分別是()A．－2，3B．2，3C．－2，－3D．2，－303．已知點P(a＋1，2a－1)關于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍為【例3】如圖，將一個直角三角形紙片ABC(∠ACB＝90°)，沿線段CD折疊，使點B落在B處，若∠ACB＝70°，則∠ACD＝()11【解法指導】由折疊知∠BCD＝∠BCD.設∠ACD＝x，則∠BCD＝∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝70°＋x.又111∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋(70°＋x)＝90°，故x＝10°.故選D.【變式題組】等于()ABCABEBAC點落在BE上，此時∠CDB＝82°，則原三角形中∠B＝___________.03．⑴觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC(AB＞AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片(如圖①)；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②).小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.⑵實踐與運用：【解法指導】∵EF是AD的中垂線，則可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉化即可．△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4長是___________cm．【例5】如圖，在3×3的正方形格點圖中，有格點△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關于某直線成軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所有這樣的△DEF．③所示；若以圖案居中的豎直直線為對稱軸，所作的△DEF如圖④所示；若以圖案居中的斜線為對稱軸，所DEF示．【變式題組】C成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有___________個．成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有___________個．成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；若涂黑部分全等，則認為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙)【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問答．答．∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，【變式題組】案，圖中的實線表示輔設的管道，則鋪設的管道最短的是()01．(黃岡)如圖，△ABC與△A’B’C’關于直線l對稱，且∠A＝78°，∠C’＝48°，則∠B的度數(shù)是()．B三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是()BRC∥AD，如圖2所示，則∠C＝()CD04．如圖，陰影部分組成的圖案既是關于x軸成軸對稱的圖形又是關于y軸成軸對稱的圖形，若點A的坐標是(1，3)，則點M和點N的坐標分別是()A．M(1，－3)，N(－1，－3)B．M(－1，－3)，N(－1，3)C．M(－1，－3)，N(1，－3)D．M(－1，3)，N(1，－3)05．點P關于x軸對稱的對稱點P’的坐標是(－3，5)，則點P關于y軸對稱的對稱點的坐標是()06．已知M(1－a，2a＋2)關于y軸對稱的點在第二象限，則a的取值范圍是()A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a＞1D．a＞－107．如圖，鏡子中號碼的實際號碼是___________．08．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為___________cm2.09．已知點A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)關于x軸對稱，則a＋b＝___________.C45°，求∠BAC和∠ACB的度數(shù)．AN＝MC．出的兩個圖案不能全等)1211212111212212132324 1111112222221111112222221122對稱圖案，請你仿照舉例在下面方框中再設計兩種不同的栽樹方案．于AB邊的對稱點為C’，若S＝1，求S．△ABC△A’B’C’在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長a厘米，并關于直線l對稱，在圖中P處有一粒跳棋1子，P距A點b厘米、與直線l的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P點以A為對稱中心跳11223342233441Ppxp_時，△PAB的周長最短；MNxyMmNn)，使四邊形ABMNm_____，n＝___________(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由．31231221兩個底角相等(即等邊對等角)；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(即等腰三角形三線合一)2．等腰三角形的判定手，證明一個三角形有兩個角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對等邊．3．構造等腰三角形的常用方法⑴角平分線＋平行線＝等腰三角形⑵角平分線＋垂線(或高)＝等腰三角形⑶線段中垂線構造等腰三角形⑷將2倍角轉化為相等角構造等腰三角形(1)(2)(3)(4)【例1】等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，則這個等腰三角形的底角為【解法指導】若問題中涉及到三角形的高，則要分別考慮三角形的高是在三角形的外，三角形內的時，∠ACD＝400，∴∠A＝500如圖2，當一腰上的高在三角形外時，∠ACD＝400，∠DAC＝500DACBACB2∠BADADBCBC圖2【變式題組】三角形的底邊長為()AB.11C.7或11D．7或1002.(黃岡)在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，則∠B＝___________度．B3B3xA多，可利用等腰三角形的性質，用方程的思想求角的度數(shù)．解：設∠A＝x,AD∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，DBDxBDBC∠C＝∠BDC＝2x，B∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°BC【變式題組】A的點B一共有()個明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∠B是坐標軸上的點．要考慮x軸與y軸兩種情況．yyB1OB2AxB5yB4OB6yyBOxAB87【變式題組】有()02．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(1，0),點B的坐標是(0，V3)，點C在坐標平面內．若以ABC三角形，且底角為30度，則滿足條件的點C有_________個．DAEDPBCG折疊，使點B落在紙片中的點H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個數(shù)為()D合)，點P是點A關于BE的對稱點．在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有 ()BMDMDCAECAE2【變式題組】EACBCOAOBOC等的線段；⑵請選一組你寫出的相等線段給予證明．．⑴請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；1212腰三角形解決問題．解：⑴如：平行四邊形、等腰梯形等⑵答：與∠A相等的角是∠BOD(或∠COE)，四邊形DBCE是等對邊四邊形；⑶答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE．EBCEBC2G∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，可證△BDF≌△CEG，2∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，CF＝CE，∴BD＝CE，【變式題組】01．如圖，在?ABC中，∠B＝2∠C，AD為∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD.002．已知等腰三角形的兩邊分別為6和3，則此等腰三角形周長為()AC于點E，則?BEC的周長為()【變式題組】01．已知一個等腰三角形兩內角的度數(shù)之比為1:4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為()數(shù)是()ABCD．1080的是()A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF列結論：①?BDF和?CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③?ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF.其中正確的有()A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.如圖，已知O是四邊形ABCD內一點，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,則∠DAO＋∠DCO的大小是()ABC長為x，則x的取值范圍是____________.寫下了四個等式：AAECDB同一條直線上，連結DC．⑴請找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說明：結論中不得含有未標識的字母)；DABECADQBCP點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；G，下列結論：①GA＝GP;②?????:?????=??:??;③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正確的判斷有()A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④02．如圖，點A是5×5網(wǎng)格圖形中的一個網(wǎng)格圖形中的一個格點(小正方形的頂點)，圖中每個小正方形的的個數(shù)是()03．如圖，在?ABC中，AB＝BC,MN＝NA,∠BAM＝∠NAC,則∠MAC＝_________.FABCE08.有一等腰鈍角三角形紙片，若能從一個頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，求等腰三角形紙片的ADABG的面積分別為S和S，如果存在點P，能使得S=S,求∠C的取值范圍.ABCABGABCABGCFEPAHB1．等邊三角形及其性質：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60．等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線或底邊上的高、中線所在直線；2．等邊三角形的判定：三邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有3．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，反之也成立．賞析(1)求證：△ACE≌△DCB;(3)判斷△CMN的形狀【解法指導】根據(jù)等邊三角形的性質，利用全等三角形中邊角的關系可解決問題．∴∠ACE＝∠DCBE(AC=DC|F∴在△ACE