用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

用時可以刪除“高等代數(shù)選講”課程論文用矩陣的初等變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形041數(shù)本1廖丹用第三種初等行變換快速將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.關(guān)鍵詞：初等變換第三種初等陣非異陣實二次型標(biāo)準(zhǔn)形XAXndy2,其中d為實數(shù),通常的方法是采用配方法或初等變換法,然而傳統(tǒng)的方法iiii1舉求出非異陣P.定義1.1以T表示將單位矩陣的j行(列)的k倍加到i行(列),所得到的第三種初等陣.定理1.2設(shè)A是n階實對稱陣,P是有限個第三種初等陣T,i1的乘積.且PAd1a其中a是n1維行向量,A是n1階陣,則必有PAPd0.0A110A1證明：由于P是T的乘積，且i1,根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，用P右乘PA時,PA的第一列元素不變,從而PAPd1即A是實對稱的.0A1,0|(000-111)|01)||(20200((d(|||||||||||||| ( (dr0)*)),||||||)0))T,i>j,則當(dāng)把A變換成上三角陣時,(A,E)的E就同時化為P,,且使d1d)| (0)例1求非異陣P,使P,AP為對角陣,其中A(|||(0|(02-2|0-22(1|0-22-1-1011-2210020000)(1-1210(1-12100)-0)01)||||(|||0002000)0)01)0)0)0)01)0)1)|0) |1)||2|(0_2例2將實二次型2xx_6xx+2xx化為平方和.122313(0 |||10_3_3有非零數(shù),然后再用定理即可.10_31_10_31_30 |||1_211_210_30|(2 (_2|||_3000)(11(21_21_3000_21_1_22_2111011 21|——r2)|0|(|1||| ( (1_1 20_1 2120_2_261_1 23112_10)0)1)0)||3|||)6)|||則2xx_6xx+2xx=2y2_1y2+6y2.1223131223個基礎(chǔ)解系.S12Sn*r,n*rn12Sn*r,n*(n-r)n*r 素為1的列滿秩矩陣，E，表示秩為n-r的每一列有且只有一元素為1的列滿秩矩陣n*(n-r)(A)(A)BP0)|，其中Q=E，，根(n-1))n根nn根rn根(n-r)省去.iiiiiii (B)(BQ)設(shè)所求出的特征向量aaaaaa,它是一組線性無關(guān)的向量,以aij所施行的相同的初等變換求出.于是得到求正交矩陣的初等變換法||)||對B，B于是得到求正交矩陣的初等變換法||)||對B，B施行列初等變換,對B施行行1以列初等變換把a(bǔ)所在行其他元素化為0，又施以行初等變換把a(bǔ)所在列的其他元素化111aa,那么矩陣BQ即為所求的矩陣P,22nn1ilssks例1求正交矩陣P使P，AP為對角陣,其中A(||-|-||-|0| (0-2-2010-2)-2-200||||||1)|||||) (2 (2|||||) (2 (2|(12|0|||0|||-1|-2-20100)||(2001-10)210 2)|||||||||)0)00-1 (|||||||||001-10)0|2|1|1|2)-32)1 (二重)2(1||1|(B(入))|1當(dāng)入1=2時,有|(P(入))|=||||-1|00001-10)00110011-2量的向量)||||