數(shù)學人教A版（2023）選擇性必修第一冊1.1.1空間向量及其線性運算課件（共36張ppt）-1

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1.1.1空間向量及其線性運算

學習目標

（1）經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，了解空間向量的概念，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)；

（2）掌握空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其表示；

（3）掌握空間向量加法、減法、數(shù)乘的運算律；

（4）借助向量的線性運算的學習，提升數(shù)學運算素養(yǎng).

人教A版2023高中數(shù)學選擇性必修第一冊

空間向量

空間向量的基本概念（重點）

空間向量的線性運算（重點）

1

2

共線、共面定理

3

情景引入

這是一個做滑翔傘運動的場景.你能想象,在滑翔過程中,

飛行員會受到來自哪些不同方向、大小各異的力嗎？

正東

正北

向上

已知F1=10N,F2=15N，F(xiàn)3=15N

這三個力兩兩之間的夾角都為90度,

它們的合力的大小為多少N

F3

F1

F2

這需要進一步來認識空間中的向量

問題1：

問題2：

如圖：已知OA=6米，

AB=6米，BC=3米，

那么OC=

空間向量的定義及相關(guān)概念

1.定義

在空間,我們把具有和的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的.

大小

方向

長度或模

探究新知

2.空間向量及其模的表示方法

空間向量用字母a,b,c,…表示.空間向量也用有向線段來表示，有向線段的長度表示空間向量的模.若向量a的起點是A,終點是B,則向量a也可以記作,其模記為.

或

A

B

a

名稱概念記法

零向量

單位向量

相反向量

共線向量或平行向量

相等向量

與向量a長度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量

3.空間向量的相關(guān)概念

長度為0的向量

模為1的向量

如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量

方向相同且模相等的向量

∥

注意：

∥

探究新知

類型空間向量的有關(guān)概念②③④1)平面向量的加法1：

C

A

B

首尾相接

探究空間向量的線性運算

平面向量的加法2：

O

A

B

C

起點相同

O

A

B

起點相同

2)平面

問題空間向量線性運算的運算律？

（1）交換律：

；

（2）結(jié)合律：

；

（3）分配律：

，

.

如何證明空間向量的加法結(jié)合律

a

c

b

在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，記

則a+(b+c)＝

(a+b)+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b)+c.

a，b，c.

練習鞏固

例如圖，E、F分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量

(1)

(2)

(3)

(4)

練習鞏固

練習用表示.

新知探索

問題：對任意兩個空間向量與，如果，與有什么位置關(guān)系？反過來，與有什么位置關(guān)系時，？

類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使.

如圖，是直線上一點，在直線上取非零向量，則對于直線上任意一點，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)，使得.

新知探索

我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量.這樣，直線上任意一點都可以由直線上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定.

共面向量

平行于__________的向量叫做共面向量．

1.定義

同一個平面

我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是

共面的，也可能是不共面的。

那么，什么情況下三個空間向量共面呢？

如圖：如果表示向量的有向線段所在的直線與

直線平行或重合，那么稱向量平行于直線.

O

A

l

如果直線平行于平面或在平面內(nèi),那么向量平行于平面.

探究思考:

對平面內(nèi)任意兩個不共線的向量由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)

的任意一個向量都可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對.

對兩個不共線的空間向量，如果，那么向量與向量有什么

位置關(guān)系？

反過來，向量與向量有什么位置關(guān)系時，？

猜想：

如果空間兩個向量不共線，

則向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使.

2.共面向量定理：

O

A

C

B

空間兩個向量不共線，向量與向量共面存在唯一的有序

實數(shù)對使.

證明：（1）必要性，如果向量與向量共面，則通過平移一定可以使它們位于同一平面內(nèi).

使得.

由平面向量基本定理可知，存在唯一的實數(shù)對

（2）充分性，如果向量滿足，則可選定一點O，

作

于是

顯然都在平面內(nèi)，故共面.

3.推論（判斷點在平面內(nèi)）：

M

α

引入空間任一點,

可變式為

空間一點位于平面內(nèi)存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使.

推論1：空間四點共面存在唯一有序?qū)崝?shù)對使

如果我們令

則,其中.

推論2：空間四點共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使

其中.

例(1)(多選)對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，能得到P，A，B，C四點共面的是

√

√

(2)(鏈接教材P5例1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A1，B，N，M四點共面.

跟蹤訓練已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：

(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面.

(2)BD∥平面EFGH.

(2)BD∥平面EFGH.

所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.

1.對于空間任意一點O，下列命題正確的是：

(A)若，則P、A、B共線

(B)若，則P是AB的中點

(C)若，則P、A、B不共線

(D)若，則P、A、B共線

2.已知點M在平面ABC內(nèi),并且對空間任意一點

O,,則x的值為()

鞏固練習

3.下列說明正確的是：(A)在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線

(B)在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線

(C)在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線

(D)在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線

4.下列說法正確的是：(A)平面內(nèi)的任意兩個向量都共線

(B)空間的任意三個向量都不共面

(C)空間的任意兩個向量都共面

(D)空間的任意三個向量都共面

鞏固練習

A

B

M

C

G

D

(2)原式

5.在空間四邊形ABCD中,點M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡

鞏固練習

A

B

C

D

D

C

B

A

6.在立方體AC1中,點E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.

E

答案:(1)x=1

(2)x=y=1/2

鞏固練習

8.已知正方體，點E是上底面的中心，

求下列各式中x、y、z的值：

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

M

N

9.平行六面體，M分成的比為，N分成的比為2，設(shè)

試用