矩陣及其初等變換

第二章矩陣及其初等變換矩陣將一組有序的數(shù)據視為“整體量”進行表述和運算，使得問題變得簡潔和易于了解本質，矩陣是解線性方程組的有力工具，是線性代數(shù)中的主要研究對象，矩陣理論是線性代數(shù)的基本內容.本章重點：矩陣的運算及其運算性質逆矩陣及其運算性質、存在條件、求法矩陣的分塊運算法矩陣的初等變換及初等矩陣矩陣的秩及其性質1§2.1矩陣的概念二、矩陣的定義與記號一、關于矩陣三、特殊矩陣四、矩陣舉例2一、關于矩陣1850年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣的概念.1858年卡萊（A.Cayley）建立了矩陣運算規(guī)則.矩陣的應用十分廣泛：自然科學、工程技術、社會科學等許多領域.如在觀測、導航、機器人的位移、化學分子結構的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識別，以及計算機層析X射線照相術等方面，都有廣泛的應用.3二、矩陣的定義與記號Def2.1

由個數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為行列矩陣，簡稱矩陣.

為表示這個數(shù)表是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作4這個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)位于矩陣的第i行第j列，稱為矩陣的(i,j)元.以數(shù)為(i,j)元的矩陣可簡記作或.矩陣A也記作矩陣的記號是在數(shù)表外加上括弧，與行列式的記號(在數(shù)表外加上雙豎線)是不同的，這是兩個不同的概念.矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等.元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.5同型矩陣:

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱它們是同型矩陣.矩陣相等：如果與是同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作6三、特殊矩陣行矩陣(行向量)：列矩陣(列向量)：只有一行的矩陣，記作矩陣只有一列的矩陣，記作矩陣方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣.n階矩陣A也記作7零矩陣：對角矩陣(對角陣)：單位矩陣(單位陣)：上三角矩陣：下三角矩陣：數(shù)量矩陣(純量矩陣)：元素都是零的矩陣，記作0.不同型的零矩陣是不同的，例如不在對角線上的元素都是0.這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，用表示，即從左上角到右下角的直線(叫做(主)對角線)上的元素都是1，其它元素都是0，這種矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，用

E表示，即，在n

階方陣中，若主對角線左下方所有元素全為零，這樣的方陣稱為上三角形矩陣，簡稱為上三角陣.在n

階方陣中，若主對角線左上方所有元素全為零，這樣的方陣稱為下三角形矩陣，簡稱為下三角陣.不在對角線上的元素都0，主對角線上的元素相同，這種矩陣稱為數(shù)量矩陣，又稱純量矩陣，用kE表示，

即8四、矩陣舉例例1.1某廠向三個商店發(fā)送四種產品的數(shù)量可列成矩陣其中為工廠向第i店發(fā)送第j種產品的數(shù)量.這四種產品的單價及單件重量也可列成矩陣其中為第種產品的單價，為第種產品單件重量.從兩個矩陣可以清楚看出這個廠的產品的信息.9例1.2四個城市間的單向航線如下圖所示，若令

1234則這個圖可以用矩陣表示為用矩陣表示這個圖后，就可以用計算機對這個圖進行分析和計算.10例1.3n個變量與m個變量之間的關系式稱為從變量到變量的線性變換.線性變換(1)的系數(shù)構成矩陣稱為線性變換的系數(shù)矩陣，線性變換與矩陣是一一對應的.11§2.2矩陣的基本運算一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉置五、方陣的行列式六、矩陣的共軛12一、矩陣的加法Def2.2

兩個同為的矩陣相加后得一矩陣，其元素為兩矩陣對應元素的和.即只有兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法.1314矩陣的加法運算規(guī)則交換律：結合律：設矩陣記稱為矩陣的負矩陣.

15二、數(shù)與矩陣的乘法（矩陣的數(shù)乘）Def2.3

階矩陣A與一個數(shù)k相乘后得一矩陣，其元素為原矩陣對應元素乘以這個數(shù).記作矩陣A的負矩陣；純量矩陣.1617數(shù)與矩陣的乘法運算規(guī)則

矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.18三、矩陣的乘法某家電公司向三個商店發(fā)送四種產品的數(shù)量如下表：空調冰箱29``彩電25``彩電甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505019

這四種產品的售價(單位：百元)及重量(單位：千克)如下:售價重量空調3040冰箱163029``彩電223025``彩電1820問：該公司向每個商店出售產品的總售價及總重量分別是多少？20甲商店乙商店丙商店售價重量21Def2.4

設，若定義一個新的矩陣其中則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B之積，記作只有當左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，矩陣的乘積才有意義.乘積矩陣的第i行第j列元素等于左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對應元素乘積之和.兩個矩陣的乘積仍然是一個矩陣，且乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù).22特別注意-乘積不可交換AB乘積一般不可以交換，(1)AB為矩陣，但BA無意義；若則稱矩陣乘積可交換.(2)AB和BA均有意義，但AB為2階矩陣，BA為3階矩陣.(3)

由于矩陣不可交換，所以矩陣乘法分為左乘和右乘.23解:例2.1求矩陣(教材P36

例2)的乘積AB.

與A是矩陣，B是矩陣，A的列數(shù)等于B的行數(shù)，所以矩陣A與B可以相乘.乘積矩陣是矩陣.24解:與的乘積AB及BA.例2.2求矩陣(教材P37

例3)此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出25例2.3計算矩陣的乘積AB.解：上三角矩陣與上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣，下三角矩陣與下三角矩陣的乘積仍為下三角矩陣.26矩陣的乘法-運算規(guī)則

或簡寫成

純量矩陣與方陣的乘積

第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是可交換的．27方陣的冪定義設A是n階方陣，定義此定義表明，就是k個A連乘，并且顯然，只有方陣，它的冪才有意義.運算規(guī)則

特別注意

一般來說，與不相等.28稱為方陣

的次多項式.設

為數(shù)的次多項式，記同一個方陣的兩個矩陣多項式是可交換的:設是A的兩個多項式，則由此可知，方陣的多項式可以像數(shù)的多項式一樣分解因式.如方陣的多項式29當A與B可交換時，有與數(shù)類似的乘法公式.30例2.4計算矩陣乘積31例2.5求與矩陣A可交換的所有矩陣.(教材P44,Ex.4)解：設與A可交換的矩陣為32例2.6求矩陣A的冪.(教材P42,例9)解：33例2.7求矩陣AB的冪.(教材P42,例10)解：34例2.8求矩陣A的冪.(教材P44,Ex.5-(3))解：解：35§2.2矩陣的基本運算(續(xù))一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉置五、方陣的行列式六、矩陣的共軛36Def2.5

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作.即若則其中則它的轉置矩陣為設矩陣四、矩陣的轉置37對稱矩陣和反對稱矩陣設為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣.對稱陣的特點是:它的元素以對角線為對稱軸，對應相等.38設為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為反對稱矩陣，簡稱反對稱陣.反對稱陣的特點是:它的主對角線上的元素全為零，其它的元素以對角線為對稱軸，對應互為相反數(shù).39

矩陣的轉置-運算規(guī)則40例2.9已知求解法1解法2

此例驗證了矩陣的轉置運算規(guī)則441注意和

的區(qū)別證:所以H是對稱陣.例2.10設列矩陣滿足，E為E為n階單位矩陣，證明H是對稱陣，且要證明一個方陣是不是對稱陣，就是驗證它是否滿足對稱陣的條件

42例2.11設A與B是同階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是A與B是可交換矩陣.(教材P43,例11)證：因為，所以有當AB是對稱矩陣即時，有AB=BA，所以此時A與B是可交換矩陣；當A與B是可交換矩陣即AB=BA時，有所以此時AB是對稱矩陣故，AB是對稱矩陣的充分必要條件是A與B是可交換矩陣.43五、方陣的行列式Def01

由n階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作或特別注意方陣與行列式是兩個不同的概念，方陣是一個數(shù)表，而行列式則是一個數(shù).方陣與它的行列式又是緊密相關的，方陣的行列式是方陣按照一定方式確定的一個數(shù)，所以方陣的行列式可看作方陣的函數(shù)；同時，方陣的行列式是方陣特性的重要標志.44由A確定-運算規(guī)則注意但但45設記2n階行列式一方面，根據公式有另一方面，46474849Def02

當為復矩陣時，用表示的共軛復數(shù)，記

稱為的共軛矩陣.

由A確定-運算規(guī)則六、矩陣的共軛50§2.3逆矩陣一、逆矩陣的定義

二、逆矩陣的存在條件四、逆矩陣的運算性質三、逆矩陣的求法五、逆矩陣的應用舉例51一、逆矩陣的定義

Def2.6

對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使則稱矩陣A是可逆矩陣或者非奇異矩陣，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣.若不存在滿足上式的矩陣B，則稱A是不可逆矩陣或者奇異矩陣.此定義表明只有方陣才可能有逆陣.求逆矩陣運算可以看作矩陣乘法的逆運算.但是能進行的條件十分苛刻的.52二、逆矩陣的存在條件Thm2.1

如果矩陣A是可逆的，那么它的逆矩陣是唯一的.因此，我們把矩陣A的逆矩陣記作.證:假設矩陣A可逆，B、C都是它的逆矩陣,則因此，所以A的逆陣是唯一的.53為了討論矩陣可逆的充分必要條件，先定義一個新矩陣54Def2.7

設是n階矩陣的行列式中元素的代數(shù)余子式，則稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣，記作55這是定理的充分條件，必要性是顯然的證:根據伴隨陣的性質，有當時，有根據矩陣可逆的定義知，矩陣A可逆，且Thm2.2

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是.且如果A為可逆矩陣，則有56定理2給出了計算逆矩陣的一個方法：1）計算2）計算3）寫出根據定理2，可以將定義中的條件AB=BA=E改進一點.57推論設A，B為n階矩陣，若AB=E或者BA=E，則矩陣A，B都可逆，且此推論表明，要判斷矩陣B是否是A的逆矩陣，不必嚴格按照定義檢驗AB=BA=E，而只要檢驗AB=E或BA=E.58例3.1

設n階方陣A，B滿足A+B=AB，證明A–E可逆,并給出的表達式.(教材P51,Ex.8)解：依據推論，只需尋找到適當矩陣與A-B相乘的結果為E.所以A–E可逆，且59三、逆矩陣的求法方法一：直接依據定義，將矩陣A的逆陣的每個元素作為未知數(shù)，列出線性方程組，參看教材P45,例1.方法二：依據定理2，根據公式方法三：依據初等矩陣的性質，運用初等變換求逆.(第五節(jié)將介紹)60例3.2求二階矩陣的逆矩陣.解：所以，當時，有注意比較矩陣A與，此例的結果應作為公式記住.61例3.3求方陣A的逆陣.

解：所以存在，再計算的余子式，62四、逆矩陣的運算性質若A可逆，則亦可逆，且若A可逆，數(shù)，則亦可逆，且若A、B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且若A可逆，則亦可逆，且逆矩陣的行列式方陣的負冪次方：若A可逆，規(guī)定63五、逆矩陣的應用舉例-求解矩陣方程設A、B

為可逆矩陣，左乘兩邊右乘兩邊左乘兩邊右乘兩邊64例3.4設矩陣X滿足其中矩陣解：由得由于得故可逆，且65于是，用左乘、右乘的兩邊，得66例3.5設矩陣求矩陣X，使之滿足AXB=C.(教材P49,例5)解：由知A，B都是可逆矩陣，且用左乘，以右乘AXB=C，得67例3.6已知可逆矩陣求其伴隨矩陣的逆矩陣.(教材P50,例6)解：若按照常規(guī)方法，計算量較大68例3.7設n階方陣A的伴隨矩陣為，證明(教材P48,例4)證：(1)當時,(2)當時,下面用反證法，證明若，則可逆，又因為所以從而得這與矛盾！故當時,69§2.4分塊矩陣在處理較高階數(shù)的矩陣時，對于求逆矩陣或者其他需要，常把一個大矩陣看成是由若干個小矩陣組合而成，這些小矩陣可稱為大矩陣的子塊或者子陣.用子陣來表示矩陣的方法稱為矩陣的分塊表示，這樣不僅使原矩陣顯得結構簡單又清晰，而且可以簡化運算過程.一、分塊矩陣二、分塊矩陣的運算三、常用的分塊法70一、分塊矩陣Def2.8

一個矩陣A被縱線和橫線按一定需要分成若干個低階矩陣，每一個低階矩陣稱為矩陣A的子塊，以所生成的子塊為元素的矩陣稱為矩陣A的分塊矩陣.以這些子塊為元素，于是，得到A的按照這種分法的分塊矩陣：得到4個子塊：一個矩陣可以按照不同的方法進行分塊，不同的場合采用不同的分塊方法;一個以數(shù)為元素的矩陣也可以看作其本身的分塊矩陣.矩陣分塊后，能夠使得運算變得簡潔.71二、分塊矩陣的運算1.分塊矩陣的加法設矩陣A與B為同型矩陣，采用相同的分法，有那么分塊矩陣的加法，采用相同分法，對應子塊相加.722.分塊矩陣的數(shù)乘設為數(shù)，對矩陣A分塊后，得分塊矩陣為那么分塊矩陣的數(shù)乘，數(shù)乘每一個子塊.733.分塊矩陣的乘法設A為矩陣，B為矩陣，

對A的列的分法與對B的行的分法相同，分塊成則的列數(shù)分別等于的行數(shù)，那么74其中分塊矩陣的乘法，對左矩陣的列的分法與對右矩陣的行的分法相同，再按普通矩陣的乘法.75例4.1設

求AB.解:把A、B分塊成

76則因此在計算兩個分塊乘積時，可以把子塊看作“數(shù)”；此例把4階矩陣的乘積化為了2階矩陣的乘積，簡化了計算.77例4.2設A為n階矩陣，矩陣，(1)求證為矩陣A的第j列；(2)若，求證.(教材P55,例2)

證:

(1)將A按列分塊，設為A的第j列，則(2)將A按列分塊，則,于是如此類推，可得784.分塊矩陣的轉置設對矩陣A分塊后，得分塊矩陣為那么分塊矩陣的轉置，把行寫成同序號的列，并且每個子塊轉置.795.分塊矩陣的行列式(只能考慮特殊矩陣)(1)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，這樣的分塊矩陣稱為分塊對角陣.則有80(2)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，這樣的分塊矩陣稱為分塊上三角陣.則有81(3)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，這樣的分塊矩陣稱為分塊下三角陣.則有82特別注意用分塊法求方陣的行列式只能針對特殊矩陣：設則836.分塊矩陣的逆陣(也只能考慮特殊矩陣)(1)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若，則有84(2)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若則有(3)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若則有85(4)設A為n階矩陣，可分塊成為都是方陣，若，則有注意中的排列順序.分塊副對角陣86例4.3設求解:87例4.4設求解:因此88例4.5求矩陣A的逆矩陣，其中(教材P58,例5)89三、常用的分塊法1.按列分塊稱為A的列向量組.2.按行分塊稱為A的行向量組.903.“最粗”的分塊一個矩陣本身看作一個子塊，從形式上看就是矩陣.4.“最細”的分塊將矩陣中的每個元素看作一個子塊.

91矩陣A與對角陣的乘積：對角陣右(左)乘A的結果是A的每一列(行)乘以對角陣中與該列(行)對應的對角元.92證:把A按列分塊為，則因為所以例4.6設為實矩陣，證明A=0.特別地，有而93由和為實數(shù)，得因此94§2.5矩陣的初等變換和初等矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的一元運算，它源于線性方程組消元過程中的同解變換.很多問題的解決都需要運用這種運算，所以才說這是一種重要的運算.一、矩陣的初等變換二、初等矩陣1.1矩陣的初等變換的定義和記號1.3矩陣的等價關系1.2初等變換的逆變換1.4階梯形矩陣-矩陣初等變換的目標2.1初等矩陣的定義2.2初等矩陣的類型與記號2.3初等矩陣的性質2.4初等矩陣的逆矩陣2.5初等變換求解矩陣方程95一、矩陣的初等變換1.1矩陣的初等變換的定義和記號12342131234②-2①

96(1)交換A的第i行與第j行的位置，記為把上述的定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義.記號分別為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.(2)以數(shù)乘以A的某一行各元素,記為(3)將A的第i行各元素的k倍加到第j行對應的元素上，記為Def2.10

設A是矩陣下面三種變換稱為矩陣的初等行變換，記號與是有區(qū)別的.97變換的逆變換為變換的逆變換為變換的逆變換為(或記為).1.2初等變換的逆變換981.3矩陣的等價關系如果矩陣A經有限次初等列變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B列等價，記作AB.性質:

(1)反身性AA;Def2.11

如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B等價，記作AB.(2)對稱性如果AB，那么BA;(3)傳遞性若AB，BC，則AC.如果矩陣A經有限次初等行變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B行等價，記作AB；99Thm2.3

任意非零矩陣都與形如的矩陣等價.矩陣稱為矩陣A的標準形.1001.4階梯形矩陣-矩陣初等變換的目標行階梯形矩陣其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0;每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，稱為首非零元.行階梯形矩陣:自上而下，每個非零行的首非零元前面的零的個數(shù)依次增加；零行在最下方.101行最簡形矩陣其特點是:是階梯形矩陣；非零行的第一個非零元（首非零元）為１；首非零元所在的列的其它元素都為０．對于任何矩陣A，總可經過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣．行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的(只用初等行變換).102例5.1下列四個矩陣中，哪些是行最簡形？解:

矩陣和是行最簡形矩陣.103例5.2設，把化成行最簡形.解:將元化為1104將元化為1這已是階梯形矩陣,再化為行最簡形

特別要注意將元素化為零的先后順序.105§2.5矩陣的初等變換和初等矩陣(續(xù))矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的一元運算，它源于線性方程組消元過程中的同解變換.很多問題的解決都需要運用這種運算，所以才說這是一種重要的運算.一、矩陣的初等變換1.1矩陣的初等變換的定義和記號1.3矩陣的等價關系1.2初等變換的逆變換1.4階梯形矩陣-矩陣初等變換的目標1001001000*二、初等矩陣2.1初等矩陣的定義2.2初等矩陣的類型與記號2.3初等矩陣的性質2.4初等矩陣的逆矩陣2.5初等變換求解矩陣方程106二、初等矩陣Def2.12

由單位矩陣E經過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等矩陣.2.1初等矩陣的定義1072.2初等矩陣的類型與記號(1)交換兩行(或兩列)：1001將E的第i行(列)與第j行(列)交換，108(2)以數(shù)乘某行(或列):以數(shù)乘E第i行(或第i列)，109(3)將某行(列)的k倍加到另一行(列)上將E的第j行的k倍加到第i行(或是將E的第i列的k倍加到第j列)，110將E的第i行與第j行交換將E的第i列與第j列交換以數(shù)乘E第i行以數(shù)乘E第i列將E的第j行的k倍加到第i