第十章分子動(dòng)理論

第十章氣體動(dòng)理論氣體動(dòng)理論是熱學(xué)的微觀理論個(gè)別分子運(yùn)動(dòng)服從什么規(guī)律？微觀量如何導(dǎo)出宏觀量？宏觀量同微觀量之間的聯(lián)系是什么？

宏觀量決定于微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。統(tǒng)計(jì)規(guī)律:大量偶然事件整體遵從的規(guī)律如拋硬幣:拋大量次數(shù)，出現(xiàn)正反面次數(shù)約各1/2，呈現(xiàn)規(guī)律性。對(duì)熱學(xué)系統(tǒng)的兩種描述宏觀量:

以系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，表征其整體特征。例如：溫度、壓強(qiáng)微觀量:

以系統(tǒng)內(nèi)子系（分子）為研究對(duì)象，表征子系的特征。例如:分子直徑、分子質(zhì)量、速率一、分布函數(shù)與平均值§10-1

麥克斯韋速率分布例：某個(gè)大學(xué)某個(gè)班級(jí)男同學(xué)身高分布160165170175180185190h/cm全國大學(xué)男同學(xué)身高分布160165170175180185190h/cmΔh很小記為dh，h-h+dh區(qū)間內(nèi)人數(shù)為dNf

(h)hh+dh1、歸一化分布函數(shù)h/cmf

(h)身高在h附近單位間隔內(nèi)人數(shù)占的比例身高在h-h+dh內(nèi)人數(shù)占的比例身高在h1-h2內(nèi)人數(shù)占的比例h1h21、歸一化分布函數(shù)2、平均值hh+dhh/cmf

(h)身高在h-h+dh內(nèi)的人數(shù)為：該dN個(gè)人的身高之和為：所有人身高總和為：所有人平均身高：設(shè)任意與身高的量為：其平均值為：二、麥克斯韋分子速率分布函數(shù)

1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律。

μ—分子的質(zhì)量f(v)v理想氣體在溫度為T的平衡態(tài)下，無外力場作用時(shí)，其分子速率分布函數(shù)：意義：v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比?；蚍肿铀俾试趘附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率；

速率分布函數(shù)：麥克斯韋速率分布曲線其中:T—開氏溫度

k—玻爾茲曼常數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)：速率分布曲線分析：：速率在區(qū)間（v1-v2）分子占總分子數(shù)的比例。f(v)vv+dvvv1v2：平均速率若f(v)表示麥克斯韋速率分布函數(shù)，下列各式的物理意義為：

:速率在區(qū)間（v-v+dv）內(nèi)的分子數(shù)占的比例。三、三個(gè)統(tǒng)計(jì)速率1.平均速率2.方均根速率麥克斯韋速率分布函數(shù)：1.2.3.最概然速率(最可幾速率)f(v)vO麥克斯韋速率分布函數(shù)：即最概然速率得物理意義：最概然速率所在的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)最多。f(v)極大值所對(duì)應(yīng)的速率為最概然速率f(v)取極大值時(shí)圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問:哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？f(v)

vT1T2O

T1

<

T2由圖中知：四、速率分布與溫度的關(guān)系則可得：意義：溫度越低，在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)分子占的比例越高

例10-1:理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計(jì)方法可用于金屬中自由電子(“電子氣”模型)。設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為N0,電子速率最大值為費(fèi)米速率vF

，且已知電子速率在v－v+dv

區(qū)間概率為：（A

為常數(shù)）畫出電子氣速率分布曲線由vF定出常數(shù)A(3)求解：(1)Ovf(v)(2)根據(jù)歸一化條件(3)§10-3理想氣體壓強(qiáng)公式一、理想氣體的微觀模型1.分子線度與分子間距相比較可忽略。2.除碰撞外，分子間及分子與容器壁之間均無相互作用。

3.碰撞為完全彈性碰撞。動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒自由地?zé)o規(guī)則運(yùn)動(dòng)的彈性質(zhì)點(diǎn)群二、平衡態(tài)理想氣體的統(tǒng)計(jì)假設(shè)1.分子數(shù)密度處處相等(均勻分布).2.分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相同.*

任一時(shí)刻向各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)相同.*分子速度在各個(gè)方向分量的平方的平均值相等.—質(zhì)點(diǎn)—自由質(zhì)點(diǎn)

—彈性自由質(zhì)點(diǎn)三、平衡態(tài)理想氣體的壓強(qiáng)公式推導(dǎo)壓強(qiáng)公式的要點(diǎn)*氣體壓強(qiáng)是大量分子不斷碰撞容器壁的結(jié)果；*壓強(qiáng)等于單位時(shí)間內(nèi)器壁上單位面積所受的平均沖量；*

個(gè)別分子服從經(jīng)典力學(xué)定律；*大量分子整體服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)：如圖：設(shè)每個(gè)分子的質(zhì)量為μ，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n，分子沿x方向的速率為

?！邚椥耘鲎病嗝總€(gè)分子與右壁碰撞后,動(dòng)量改變了每個(gè)分子與右壁碰撞后,動(dòng)量改變了從0到t這段時(shí)間內(nèi)，共有個(gè)分子與右壁碰撞，因而，總動(dòng)量改變了

。也即沖量為壓強(qiáng)為由于三、平衡態(tài)理想氣體的壓強(qiáng)公式其中稱為氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。上式是氣體動(dòng)理論的理想氣體壓強(qiáng)公式，它把宏觀量p與微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系了起來。上述壓強(qiáng)公式不是一個(gè)力學(xué)規(guī)律，而是統(tǒng)計(jì)規(guī)律。三、平衡態(tài)理想氣體的壓強(qiáng)公式宏觀量微觀量§10-4溫度的微觀本質(zhì)由理想氣體狀態(tài)方程和壓強(qiáng)公式

理想氣體溫度T

是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度，是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的標(biāo)志。

溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是統(tǒng)計(jì)性概念，對(duì)個(gè)別分子無溫度可言。

絕對(duì)零度只能逼近，不能達(dá)到。n為單位體積內(nèi)的分子數(shù)

例10-4:兩瓶不同種類的氣體，其分子平均平動(dòng)動(dòng)能相等，但分子密度數(shù)不同。問：它們的溫度是否相同？壓強(qiáng)是否相同？解：依題意而所以然而例10-5:試求氮?dú)夥肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能和均方根速率。設(shè)(1)在溫度t=1000℃時(shí)；

(2)t=0℃時(shí)；

(3)t=-150℃時(shí)。解：依題意(1)(2)

(3)

§10-5能量均分定理理想氣體的內(nèi)能一、自由度（i）

確定一個(gè)物體在空間的位置所必需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。上面剛體的自由度是多少呢？理想氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的能量：=平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)+振動(dòng)的能量總和在平衡狀態(tài)下，分子的平均能量為多少？一、自由度（i）

確定一個(gè)物體在空間的位置所必需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。質(zhì)點(diǎn)—（x，y，z）3個(gè)自由度自由剛體i=3Oxyz

首先用三個(gè)坐標(biāo)P(x,y,z)來決定質(zhì)心位置。其次剛體的方位由其軸的取向決定，采用、

，最后，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，需要一個(gè)坐標(biāo)來描述，用

表示?！▁，y，z，

，

，

）6個(gè)自由度i=6P·單原子分子：一個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子氦、氬等雙原子分子：兩個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子氫、氧、氮等i=5多原子分子：三個(gè)以上原子構(gòu)成一個(gè)分子水蒸汽、甲烷等剛性分子i=3i=6一、自由度（i）

確定一個(gè)物體在空間的位置所必需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。

分析單原子：只有平動(dòng)i=3，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為每一個(gè)自由度上的平均能量為：推廣為能量按自由度均分原理單原子分子雙原子分子多原子分子二、能量按自由度均分原理分子的平均總動(dòng)能

在溫度為T

的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每一個(gè)自由度都具有相同的平均動(dòng)能,等于.三、理想氣體的內(nèi)能理想氣體模型：分子間無相互作用，無相互作用勢(shì)能；剛性分子，無振動(dòng)自由度。剛性分子理想氣體內(nèi)能1mol理想氣體內(nèi)能m

/Mmol理想氣體內(nèi)能內(nèi)能的改變量結(jié)論：從而，理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。例10-6:摩爾數(shù)相同的氧氣和二氧化碳?xì)怏w(視為理想氣體)，如果它們的溫度相同，則兩氣體（A）內(nèi)能相等；（B）分子的平均動(dòng)能相同；（C）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相同；（D）分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能相同。答：分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相同例10-7:指出下列各式所表示的物理意義。

(1)

(2)

(3)(4)(5)—分子在每個(gè)自由度上的平均動(dòng)能?！肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能?！?mol

氣體的內(nèi)能。

—質(zhì)量為m的氣體內(nèi)所有分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之和?！|(zhì)量為m的氣體的內(nèi)能。(6)—分子的平均動(dòng)能。作業(yè)：教材：P9210-17；指導(dǎo)：P1953，4。

§10-6真實(shí)氣體一、二氧化碳?xì)怏w的等溫線分析48.1℃時(shí)二氧化碳?xì)怏w等溫線相似于理想氣體的等軸雙曲線。而13℃、21℃和31.1℃時(shí)明顯偏離。二、對(duì)理想氣體狀態(tài)方程的修正—范德瓦爾斯方程理想氣體狀態(tài)方程對(duì)體積和壓強(qiáng)作出修正，可得范德瓦爾斯方程。獲得1910年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)§10-7氣體分子的平均自由程和碰撞頻率平衡態(tài)宏觀性質(zhì)的維持非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡依靠分子間的頻繁碰撞實(shí)現(xiàn)

不可以像討論壓強(qiáng)那樣將分子看成質(zhì)點(diǎn)不需像討論內(nèi)能那樣考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)

分子的有效直徑d

約為10-10m剛性球模型一、平均碰撞頻率平均碰撞頻率:單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)。設(shè)分子的有效直徑為d，A分子以平均速率

運(yùn)動(dòng)，其它分子都不動(dòng)。以A分子運(yùn)動(dòng)路徑（折線）為軸線，作一半徑為d

，總長度

的圓管。

凡是分子中心位于管內(nèi)的分子都將與A分子碰撞。v一、平均碰撞頻率

圓管的截面積

?t時(shí)間內(nèi)，分子走過的路程為

，相應(yīng)的圓管的體積為：

，其內(nèi)的分子數(shù)為：

。n為分子數(shù)密度。

因而可得碰撞頻率。約109s-1—1010s-1二、分子平均自由程

分子在連續(xù)兩次碰撞間通過的自由路程的平均值。常溫常壓下分子平均自由程約10-8—10-7m可以證明，平均相對(duì)