數(shù)列高考題資料

2008.19．（1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列．（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；（ii）求的所有可能值．（2）求證：對于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列．解：（1）①當(dāng)n=4時(shí),中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。若刪去，則，即化簡得，得若刪去，則，即化簡得，得綜上，得或。②當(dāng)n=5時(shí),中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡得，因?yàn)?，所以不能刪去；當(dāng)n≥6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n≥6時(shí)，無論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，。（2）假設(shè)對于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡得（*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾。故與同時(shí)不為0，所以由（*）得因?yàn)?，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。于是，對于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如n項(xiàng)數(shù)列1，，，……，滿足要求。2009.17．（本小題滿分14分）學(xué)科網(wǎng)設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。學(xué)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；學(xué)科網(wǎng)（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。[解析]本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2)（方法一）=,設(shè)，則=,所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。2010.19．（16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{eq\r(Sn)}，，（1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．【答案】解：（1）∵，∴?！?。∴?！鄶?shù)列是以1為公差的等差數(shù)列。（2）∵，∴?！?。（﹡）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾。若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾?！嗑C上所述，?！?，∴。又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。若，則，于是。又由即，得?！嘀兄辽儆袃身?xiàng)相同，與矛盾。∴?！??！??！究键c(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法?！窘馕觥浚?）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。（2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。2013.19．（本小題滿分16分）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．記，，其中為實(shí)數(shù)．（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：．證：（1）若，則，，．當(dāng)成等比數(shù)列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），．(※)若是等差數(shù)列，則型．觀察(※)式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而≠0，故．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列．2014.20．(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱是“H數(shù)列”．（1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：是“H數(shù)列”；（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差．若是“H數(shù)列”，求d的值；（3）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”和，使得成立．【答案】本小題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查探究能力及推理論證能力,滿分16分.（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴是“H數(shù)列”（2）對，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）設(shè)的公差為d令，對，，對，則，且為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，令，則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，由于n與奇偶性不同，即非負(fù)偶數(shù)，因此對，都可找到，使成立，即為“H數(shù)列”．的前ｎ項(xiàng)和，令，則∵對，是非負(fù)偶數(shù)，∴即對，都可找到，使得成立，即為“H數(shù)列”因此命題得證.2015.20．設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列，（1）證明：依次構(gòu)成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由。（1）證明：設(shè)，因?yàn)椋阂驗(yàn)?，，所以依次?gòu)成等比數(shù)列。因?yàn)?，，所以依次?gòu)成等比數(shù)列。所以依次構(gòu)成等比數(shù)列。（2）假設(shè)依次構(gòu)成等比數(shù)列，那么應(yīng)該有：，因?yàn)椋浴?a)，考察(a)的解，故為的極大值，而，所以符合（a）的解。又，（因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)）。所以，解得，。所以，這與（a）矛盾。所以不存在這樣的，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列。（3）假設(shè)存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列，那么：，而…………(a)…….(b)由于，而，（且各項(xiàng)不等）所以，所以。令，，則，同理，。代入(a),(b)得：，等式兩邊取對數(shù)變